Лекции по теоретической механике

Лекции по теоретической механике
скачать (3107.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc

3108kb.

18.12.2011 18:19

скачать

содержание

1.doc

1 2 3 4

Министерство образования и науки Украины

Донецкий национальный технический университет

Методическое пособие

по подготовке к модульным

контрольным работам и сборник

заданий модульных задач по

дисциплине «Теоретическая механика»

(раздел «Кинематика»)

Донецк – 2005 г.

Методическое пособие является вспомогательным материалом для изучения раздела «Кинематика» курса теоретической механики для студентов университета, подготовки их для выполнения модульных контрольных работ, подготовки к зачетам или экзаменам, а так же может быть использовано студентами заочной формы обучения. Это пособие должно способствовать более глубокому усвоению основ теоретической механики и применению ее методов к изучению общетехнических и специальных дисциплин.

Составили: В.И. Тарасевич,

к. т. н., доцент

В.Г. Гураль,

доцент

А. П. Стегниенко,

к. т. н., доцент

Ответственный В.И. Тарасевич,

за выпуск к. т. н., доцент

Оглавление

Предисловие.................................................................................................................4

Введение в кинематику..........................................................................................5
Кинематика точки...................................................................................................5

2.1 Способы задания движения точки.......................................................................5

2.2 Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения........6

2.3 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения.7

2.4 Скорость точки при естественном способе задания движения........................8

2.5 Естественные координатные оси.........................................................................8

2.6 Разложение вектора ускорения по естественным координатным осям. Частные случаи при различных видах движения точки.........................................9

2.7 Контрольные задачи по разделу « Кинематика точки» (задача К-1)............11

3. Кинематика твердого тела...................................................................................16

3.1 Поступательное движение твердого тела........................................................17

3.2 Вращательное движение твердого тела...........................................................17

3.2. 1Уравнение вращательного движения, угловая скорость и угловое ускорение..................................................................................................................18

3.2.2 Равномерное и равнопеременное вращение твердого тела........................19

3.2.3 Скорость и ускорение точки вращающегося твердого тела.......................19

3.3 Контрольные задачи по разделу «Поступательное и вращательное движение твердого тела» (задача К-2).....................................................................................21

4. Сложное движение точки....................................................................................22

4.1 Теорема о сложении скоростей (параллелограмм скоростей).......................25

4.2 Теорема о сложении ускорений в случае поступательного переносного движения....................................................................................................................26

4.3 Теорема о сложении ускорений в случае вращательного переносного движения....................................................................................................................27

4.4 Контрольные задачи по разделу «Сложное движение точки» (задача К-3).28

5. Составное (сложное) движение твердого тела..................................................30

5.1 Сложение двух поступательных движений.....................................................30

5.2 Сложение поступательного и вращательного движений...............................33

5.3 Сложение вращений вокруг двух параллельных осей..................................33

5.3.1 Вращения направлены в одну сторону.........................................................34

5.3.2 Вращения направлены в разные стороны.....................................................34

5.4 Сложение вращательных движений вокруг пересекающихся осей..............35

6. Плоскопараллельное движение твердого тела..................................................36

6.1 Разложение плоского движения на поступательное и вращение вокруг полюса.......................................................................................................................37

6.2 Определение скоростей точек тела при плоском движении.........................38

6.3 Теорема о проекциях скоростей двух точек тела...........................................39

6.4 Мгновенный центр скоростей ( М Ц С ).........................................................39

6.5 Определение ускорений точек тела.................................................................40

6.6 Контрольные задачи по разделу «Плоское движение тела» (задача К-4)....43

Список рекомендованной литературы...................................................................49

Вопросы к модульному контролю.........................................................................50

Предисловие
Кинематика является одним из разделов курса теоретической механики, дисциплины, значение и методы при решении задач которой позволяют мыслить абстрактными механическими образами, оперировать с ее моделями, видеть за каждой формулой, ее буквой определенный физический смысл, объект; она учит мыслить логически, позволяет всегда по любому вопросу подготовить алгоритм решения поставленной задачи.

Для изучения кинематики необходимо иметь соответствующую математическую подготовку, совершенно свободно уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с естественными координатными осями, знать основы теории кривых второго порядка, изучаемых в аналитической геометрии, широко использовать векторную алгебру, уметь проецировать на координатные оси векторы, дифференцировать векторы и т. п.
Предлагаемое методическое пособие содержит краткие основные сведения теоретического курса по, практически, всем главным параграфам , приводимых в ряде учебников полного курса теоретической механики раздела кинематики; в конце отдельных глав приводится перечень вопросов для самоконтроля знаний теории, а также примеры решения отдельных задач, в которых используются знания рассмотренных и усвоенных теоретических вопросов, приводятся повариантно контрольные задания для самостоятельной работы студентов, их самоподготовки.

Изучать материал рекомендуется по темам, с параллельным рассмотрением изучаемого вопроса в рекомендованных учебниках, в которых приводится полное изложение рассматриваемой темы. В последующем целесообразно дать письменные ответы на вопросы самоконтроля; только после усвоения теоретического курса темы, рассмотреть примеры решенных задач, а затем начать решение предложенных контрольных заданий (условия их приводятся в таблицах). После твердого усвоения темы и приобретения навыка в решении задач студент будет свободнее владеть материалом и выбирать пути решения задач, может быть, не совпадающие с тем путем, который приведен в методическом пособии.

При составлении методического пособия авторы его руководствовались и использовали материалы учебников и методических указаний, список которых приведен в конце пособия.

^ Введение в кинематику

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором механическое движение изучается только с его геометрической стороны, без учета взаимодействий, определяющих это движение.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве в функции времени. Положение тела обычно определяется по отношению к некоторой системе отсчета, неизменно связанной с др. телом, например, землей.

Время, как и пространство, существует объективно, независимо от нашего сознания. Время непрерывно и бесконечно; в классической механике оно принимается универсальным, т.е. одинаковым для всех систем отсчета.

Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t₀= 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени выражает собой число секунд, прошедших от начального момента времени до данного. Число секунд между двумя последовательными моментами времени называется промежутками времени.

В кинематике рассматриваются две основные задачи:

установление математических способов задания движения точки (тела) относительно выбранной системы отсчета, или установление закона движения точки (или тела);
определение по заданному закону движения тела всех кинематических характеристик этого движения (траекторий, скорости и ускорения точки или линейных скоростей и ускорений точек тела, угловых скоростей и угловых ускорений тела).

Кинематика делится на две части: кинематика точки и кинематика твердого тела.

^ 2.Кинематика точки
Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией точки. Если траектория – прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория кривая линия – то криволинейным.

^ 2.1.Способы задания движения точки

Движение считается заданным, если указан способ, позволяющий определить ее положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

1. Естественный способ. При этом способе необходимо иметь заданными траекторию движущейся точки и уравнение движения по траектории в виде S=f(t). Помимо этого должны быть заданными начало отсчета (точка 0) криволинейной координаты «S», положительное и отрицательное направления отсчета этой координаты.

Совокупность этих данных полностью определяет положение точки в пространстве в любой момент времени.

2. ^ Координатный способ. В этом случае задаются уравнения движения точки в координатной форме: X = f₁(t), Y = f₂(t), Z = f₃(t). Приведенные уравнения представляют собой параметрические уравнения траектории точки, в которых роль параметра играет время «t». Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из них исключить параметр «t»

3. ^ Векторный способ. При этом способе положение движущейся точки определяется в каждый момент времени концом переменного радиуса-вектора, заданного векторным уравнением движения точки, т.е.

(t). Очевидно, что траектория точки представляет собой геометрическое место точек концов радиуса-вектора

.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем состоит основная задача кинематики точки?

2. В чем различие понятий «путь» и «дуговая координата» ?

3. Какие существуют способы задания движения точки?

4. Чем является траектория точки при векторном способе задания движения точки?

5. Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить ее траекторию?
^ 2.2. Скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения
С

корость точки – это величина, характеризующая как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Поскольку она определяет направление перемещения точки, скорость является величиной векторной. Пусть за время Δt радиус-вектор точки М изменился на величину Δ

. Тогда средней скоростью называется векторная величина

(2.1)

Этот вектор направлен так же, как и

. Предельное значение

, при стремящемся к нулю

, определит мгновенное значение скорости в данный момент времени

(2.2)

При стремлении

к нулю хорда ММ₁, а значит и вектор

поворачивается вокруг точки М, приближаясь к касательной к траектории в точке М и в пределе, совпадая с ней. Поэтому вектор

направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

В общем случае криволинейного движения вектор скорости изменяется по величине и направлению в функции времени. Следовательно, за время

вектор

можно представить в виде

. Ускорение точки в криволинейном движении характеризует быстроту изменения вектора

по величине и направлению. Тогда средняя величина ускорения определится

, а мгновенное значение

, или

(2.3)

^ 2.3. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения
Пусть заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

. Положение точки можно определить и через радиус-вектор

. Он может быть представлен с помощью единичных векторов и координат в виде

(2.4)

Производная по времени от (2.4) будет

(2.5)

Следовательно,

(2.6)

Модуль скорости определяется формулой

(2.7)

Направление вектора скорости устанавливается согласно направляющих косинусов

(2.8)
Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки. По

аналогии, ускорение

(2.9)

Установлено, что ускорение точки есть производная от скорости по времени или вторая производная от радиуса-вектора

по времени. Поэтому

(2.10)

Модуль ускорения вычисляется по формуле

(2.11)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами

(2.12)
^ 2.4. Скорость точки при естественном способе задания движения
При заданной траектории точки и законе движения ее по этой траектории в виде

, численная величина средней скорости будет равна

(2.13)

П

ереходя к пределу, найдем значение скорости точки в данный момент времени «t»

(2.14)

Таким образом, величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния «S» (криволинейной координаты) по времени «t». Формула (2.14) определяет значение «

» с определенным законом: если

>0, то вектор скорости направлен в положительном направлении отсчета расстояния «S», а если

<0, то в отрицательную сторону. Следовательно, величина скорости определяет одновременно модуль вектора скорости и сторону, в которую он направлен. Направлен вектор скорости по касательной к траектории.
^ 2.5. Естественные координатные оси
Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость – плоскость, проходящую через касательную к кривой в данной ее точке М и другую, бесконечно близкую к ней точку кривой.

В

случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех ее точек является плоскость, в которой лежит сама кривая. Из рис. 2.3 следует:

плоскость, перпендикулярная к касательной, называется нормальной плоскостью;
п
Рис 2.3
иния пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется главной нормалью кривой;
отрезок, перпендикулярный к главной нормали, называется бинормалью кривой.

Приведенные понятия и рис. 2.3 позволяют дать определение естественным координатным осям.

^ Естественными координатными осями называются три взаимноперпендикулярных оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты (т.е. положительного отсчета «S»); главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали так же, как и ось OZ направлена по отношению к осям OX и OY.

Естественные координатные оси имеют начало в точке М кривой и при движении точки М по этой кривой перемещаются вместе с ней, оставаясь взаимноперпендикулярными, но изменяя свое направление в пространстве.
^ 2.6. Разложение вектора ускорения по естественным координатным осям. Частные случаи при различных видах движения точки
Вектор полного ускорения точки М разложим на составляющие по естественным осям координат

. Для соприкасающейся плоскости = 0, так как

= 0. Поэтому

(2.15)

Так как вектор скорости точки М всегда направлен по касательной к траектории, то

(2.16)

Здесь

- величина переменная (модуль постоянный, равен 1, а направление переменное, т.к.

всегда касательный к кривой). Возьмем производную по времени для выражения (2.16)

(2.17)

или (приводится зависимость без доказательства)

(2.18)

Здесь

- радиус кривизны кривой траектории в момент времени «t». Первое слагаемое есть не что иное как составляющая полного ускорения точки по координатной оси «касательная» и называется вектором касательного (тангенциального) ускорения

(2.19)

По модулю вектор касательного ускорения равен абсолютному значению производной от скорости по времени, т.е.

(2.20)

Вектор касательного ускорения всегда направлен по касательной к траектории движения точки в сторону вектора скорости (ускоренное движение точки), или в противоположную сторону (замедленное движение точки).

Второе слагаемое

представляет собой составляющую полного ускорения точки, направленного по оси «главная нормаль» к центру кривизны и называется нормальным ускорением. По величине это ускорение равно

(2.21)

Следовательно, полное ускорение точки в криволинейном движении есть геометрическая сумма касательного и нормального ускорений. Значит

или

(2.22)

Вектор

всегда лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Частные случаи

1. Прямолинейное движение точки.

1 2 3 4

Скачать файл (3107.5 kb.)

Лекции по теоретической механике - файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc