Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Примеры решения задач - файл 1.doc


Примеры решения задач
скачать (1062 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1062kb.19.12.2011 06:29скачать

содержание

1.doc

  1   2   3   4   5


Примеры решения задач

Задача 1. СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА


Два стальных стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р .Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения F, второй длину a и площадь 2F.




Требуется найти:

1) величину нормальный напряжений, действующих в стержнях.

2) абсолютную и относительную деформации стержней.

Исходные данные: Р = 130 кН, с = 1,5 м, а = 2 м, F = 12 см^2.

Решение.

Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (точках В , С и А ). Шарниры предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. Нагрузка Р приложена в узле А . Поэтому стержни будут испытывать только продольные (растягивающие или сжимающие) усилия, т.е. в поперечных сечениях стержней возникает только один внутренний силовой фактор - продольная сила N .

1. Для определения усилий используем метод сечений . Рассечем стержни, отбросим часть, содержащую опорные точки. Заменяя действие отброшенной части, приложим в сечениях неизвестные продольные усилия N 1 и N 2 .Полагая оба стержня растянутыми, направим усилия N 1 , и N 2 так, как показано на рис. (1.2).

Уравновесим отсеченную часть. Для сходящейся плоской системы сил можно составить два независимых уравнения равновесия - в виде сумм проекции всех сил на две оси х и у (рис. 1.2).

Тогда уравнения равновесия представятся в виде:



Для определения и рассмотрим стержневую систему (рис.1.1). Из точки А опустим перпендикуляр А D на прямую ВС , получим два прямоугольных треугольника ABD и АDC .



Из треугольника ABD определим AD :

м.

Из треугольника AD С получим:

,

.

Теперь определим неизвестные усилия N 1 , и N 2 из системы двух линейных уравнений (1.1). Перепишем уравнения в следующем виде:

(1.2)

Решим систему (1.2), используя, например, метод Крамера.







 

2. Определим нормальные напряжения, действующие в стержнях.

Напряжения в стержнях определяются по формуле



Для первого стержня

МПа,

для второго стержня

МПа,

3. Найдем абсолютную и относительную деформации стержней.

Абсолютная деформация стержня длиной l определяется из закона Гука:



Абсолютная деформация первого стержня

м.

Абсолютная деформация второго стержня

м.

Относительную деформацию определим из закона Гука

.

Относительная деформация первого стержня

,

относительная деформация второго стержня

.

Литература: 1 § 1.2 – 8.2


^

Задача 2. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ СТЕРЖНЕВАЯ СИСТЕМА


Абсолютно жесткий брус шарнирно закреплен на неподвижной опоре и поддерживается двумя стержнями (рис. 2.1).



Требуется найти:

1)  усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу ;

2)  допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению = 160 МПа;

3)  предельную грузоподъемность системы Q пр и допускаемую нагрузку [ Q пр ], если предел текучести т = 240 МПа и запас прочности n = 1,5;

4) сравнить величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ].

Исходные данные: а = 2,1 м, b = 2,4 м, с = 1,5 м, F = 12см 2 .

Решение.



1. Рассечем стержни АА 1 и ВВ 1 , усилия N 1 , и N 2 в стержнях АА 1 , и ВВ 1 , направим вдоль осей стержней как показано на рис.2.2. Реакция опоры К имеет горизонтальную составляющую Н К , и вертикальную составляющую R К , так как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точки К бруса.

Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.2), а независимых уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима

Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилия N 1 и N 2 , a в определении реакций Н К и R К нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакция Н К и R К . Таким является уравнение суммы моментов всех сил относительно шарнира К :



где (м).

Подставляя в уравнение значения h , b и с , получим

(2.1)

Геометрическая сторона задачи . Под действием внешней силы абсолютно жесткий брус повернется вокруг точки К . Шарниры А и В после деформации переходят в положение А 2 и В 2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины1 и 2 (рис.2.3).



Из подобия треугольников AA 2 К и ВВ 2 К находим

(2.2)

Выразим укорочение стержня АА 1 и удлинение стержня В B 1 , через перемещения 1 и 2 .

frame1

откуда



или с учетом равенства (2.2)

(2.3)

Физическая сторона задачи . Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим деформации стержней через усилия



(2.4)




Подставим выражения (2.3) в условие (2.4)






после сокращения получим



Решаем совместно уравнения статики (2.1) и уравнение (2.5):





Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:

Па,

Па.

2. Найдем допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее по модулю напряжение допускаемому напряжению = 160 МПа.

,

откуда

Н.

3. Найдем нагрузки предельную - Q пр и допускаемую - [ Q пр ], если предел текучести Т = 240 МПа и запас прочности n = 1,5.

При увеличении нагрузки Q c верх значения [ Q ] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величины Q > [ Q ] напряжение 2 во втором стержне достигают предела текучести Т , а усилие N 2 - предельного значения N 2 пр = Т · F . При этом напряжение 1 сжатия в первом стержне остается меньше Т . При дальнейшем увеличении нагрузки, напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не достигают Т , усилие N 1 при этом равно

N 1 пр = – Т ·2 F . Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину силы Q , вызываюшую предельное состояние, обозначают Q пр и называют предельной силой.

Для вычисления Q пр подставим в уравнение (2.1) значения предельных продольных усилий, возникающих в стержнях N 1 = N 1 пр , N 2 = N 2 пр :



откуда






Н.




4. Сравним величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ]

= 1,38.

Литература: 1, §9.2.


^

Задача З. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ


Элементарный параллелепипед, находящийся в произвольном месте стальной конструкции подвергается действию системы напряжений, лежащих в одной плоскости (рис.3.1).



^ Требуется найти:

1) главные напряжения и направление главных площадок;

2)  максимальные касательные напряжения;

3)  главные деформации 1 , 2 , 3 ;

4)  эквивалентное напряжение по четвертой (энергетической) теории прочности;

5)  относительное изменение объема;

6)  удельную потенциальную энергию деформации.

Исходные данные: х = 90 МПа, у = 80 M П a , х y = 50 МПа.

Решение.

При выполнении этой задачи необходимо руководствоваться следующим правилом знаков для нормальных и касательных напряжений: нормальное напряжение положительно, если оно направлено по внешней нормали к плоскости сечения, то есть оно является растягивающим, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор до совмещения с внешней нормалью следует повернуть против часовой стрелки.

Расставим знаки напряжений на рис. (3.1).

Получим: х = -90 МПа, у = -80 M П a , х y = 50 МПа, =-50 МПа

1. Найдем главные напряжения

(3.1)

Главные напряжения обозначают 1 , 2 и 3 при этом индексы расставляют так, чтобы выполнялось неравенство:

. (3.2)

В задаче рассматривается плоское напряженное состояние, т.е. одно из трех главных напряжений равно нулю, поэтому из формулы (3.1) и правила (3.2) следует:




МПа,



МПа.

Направление главных площадок относительно заданных площадок, определяется по формуле:










Отрицательный угол 0 откладывается по часовой стрелке от площадки с большим нормальным напряжением (в данном случае х , рис. 3.2). Можно также пользоваться правилом: для определения положения главной площадки с напряжением max необходимо площадку с большим (в алгебраическом смысле) нормальным напряжением повернуть на угол 0 в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего по этой же площадке, стремится вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

2. Найдем максимальные касательные напряжения. Они равны наибольшей полуразности главных напряжений:

МПа.

3. Найдем главные деформации 1 , 2 и 3 из обобщенного закона Гука, приняв коэффициент Пуассона равным V= 0,5:







4. Найдем эквивалентное напряжение



5. Найдем относительное изменение объема:



6. Найдем удельную потенциальную энергию деформации:



В данной задаче .



Литература: 1; §1.3-§9.3


^

Задача 4. КРУЧЕНИЕ


К стальному валу приложены скручивающие моменты: М 1 , M 2 , M 3 , M 4 (рис. 4.1).



Требуется

1)  построить эпюру крутящих моментов;

2)  при заданном значении [ ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшего большего значения из данного ряда диаметров 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3)  построить эпюру углов закручивания;

4)  найти наибольший относительный угол закручивания.

Исходные данные: М 1 = М 3 = 2 кНм, М 2 = М 4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, [] = 80 МПа,[ ]=0,3.

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются с помощью метода сечений. Крутящие моменты в произвольных поперечных сечениях бруса численно равны алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Рассекая последовательно участки вала, получим:

I участок ( КD ):

кНм.

II участок ( DC ):

кНм.

III участок ( СВ ):

кНм,

IV участок ( ВА ):

кНм.

По значениям этих моментов строим эпюру М к в выбранном масштабе. Положительные значения М к откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (рис.4.2).



2. При заданном значении [ ] определим диаметр вала из расчета на прочность. Условие прочности при кручении имеет вид:



где - абсолютная величина максимального крутящего момента на эпюре М к (рис. 4.2).

кНм;

frame2

frame3Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания вала.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле



где GJ р - жесткость сечения вала при кручении.

Модуль сдвига для стали

Н/м 2

м 4 .

J p - полярный момент инерции круглого вала

Вычислим углы закручивания сечений В , С , D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А )



рад

 

рад,

 

рад,

 

рад.

 
  1   2   3   4   5



Скачать файл (1062 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации