Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по ТАУ - файл Лекции1часть2.doc


Лекции по ТАУ
скачать (890.8 kb.)

Доступные файлы (5):

Лекции1часть1.doc720kb.16.02.2007 18:00скачать
Лекции1часть2.doc1678kb.04.02.2006 18:20скачать
Лекции1часть3.doc749kb.04.02.2006 19:25скачать
Лекции1часть4.doc1180kb.04.02.2006 21:23скачать
Лекции1часть5.doc976kb.04.02.2006 22:11скачать

Лекции1часть2.doc

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья



Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления) можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений (нули) и (полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену , то получаем , называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).
Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

Комплексная плоскость корней и :



Отсюда:

1. Корень расположен в правой полуплоскости, то есть ReSe0 .

2. Корень расположен в левой полуплоскости, то есть ReSk0 .

3. Углы наклона векторов и таковы, что ke, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

^

Типовые звенья. Характеристики звеньев



Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.
^ Минимально фазовые звенья:

  1. Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

  2. Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);

  3. Идеальное дифференцирующее звено;

  4. Реальное дифференцирующее звено;

  5. Идеальное интегральное звено;

  6. Идеальное формирующее звено;

  7. Звенья второго порядка:

  • Апериодическое;

  • Колебательное;

  • Консервативное.


Не минимально фазовые звенья:

  1. Звено чистого запаздывания;

  2. Квазипериодическое звено;

  3. Квазиколебательное звено.



^

Идеальное усилительное звено




Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции : ;

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как ; ;

Фазовая частотная характеристика ФЧХ звена: ;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика .

Весовая функция .
Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:



^

Реальное усилительное звено



Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение: ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:

- АФЧХ;

- ВЧХ; - МЧХ; причем , .

Следовательно, (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того (выполнили деление). Если подставить в , то получим , откуда после преобразований:

;  ;  .

Имеем окружность радиусом , сдвинутую на вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:



Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид:

Фазово-частотная характеристика: , причем , .

На графиках представлены все полученные зависимости:



Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования.
а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

, .
б) Зона высокой частоты. В.Ч.

, ; ;

Наклон характеристики в области высоких частот .



Определим погрешность в точке  = 1/T.

.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа: .

Весовая функция реального усилительного звена: .

По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).



Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена


^

Идеальное дифференцирующее звено



Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: ; .

ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:

; ; ; ; .

Ниже представлены графики этих зависимостей:





Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

; .



Примеры дифференцирующих звеньев:


1)







2) .





y = Ic ; x = Uc .

3) ; .





y = UL ; x = IL .

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!
^

Реальное дифференцирующее звено



Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид: .

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:



с передаточной функцией .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена: ;

ВЧХ и МЧХ:

Причем, при , . Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.



АЧХ: ; ЛАХ:

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Н.Ч.: ;

В.Ч.: .



ФЧХ:



Переходная характеристика:

;

Весовая функция:.



Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

^

Интегрирующее звено


Данному звену соответствует интегральное уравнение и передаточная функция .

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

АФЧХ:; ВЧХ: ; МЧХ: ; АЧХ: ; ФЧХ: ;

ЛАХ: .

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:


^

Форсирующее звено



Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

АФЧХ: ; ВЧХ: ;

МЧХ: ; ФЧХ: ; ; при .

АЧХ: .



ЛАХ: ;
Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

НЧ: ; ;

ВЧ: ; .

Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:

.
^

Квазиинерционное звено



Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями и . В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ: .

Соответственно ВЧХ и МЧХ: , .

АЧХ: (такая же, как у инерционного звена).

ФЧХ: , причем , а . Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.
Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

, , ,

, - получили уравнение окружности. А так как и , то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:


Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.

АФЧХ: ;

ВЧХ: ; МЧХ: ; ФЧХ:



Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

; ; .



АЧХ: - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.
^

Звенья второго порядка. Передаточные функции



Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией .

В зависимости от величины коэффициентов это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем: ; ; . Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме: и передаточную функцию:

.

где постоянные времени .
Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения



Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

, ; , то можно получить передаточную функцию:

где .

В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:
Если , то звено апериодическое 2 порядка;

Если , - колебательное звено;

Если , - граничный случай.
Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:

где ; .

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого: .

  1. Если постоянные таковы, что , то корни . Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду: .

  2. Если , тогда корни - движение колебательное.

  3. Если - граничный случай: .

  4. Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. Звено теряет свойство диссипативности. При этом .


Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где - частота собственных, недемифированных колебаний (при ).

, откуда , - коэффициент затухания.

1) 0 < <1 - звено колебательное.

2) > 1 - апериодическое звено.
^

Частотные характеристики звеньев второго порядка


АФЧХ:

ВЧХ: ; МЧХ: ;

АЧХ: ;

ЛАХ: .
Ниже приводится изображение частотных характеристик



Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:

Н. Ч. ; .

В. Ч. ; ; .



Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).

ФЧХ: ,

,

при  < 1/T1,

при  > 1/T1.

ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):


Переходная характеристика звена:

-1.

Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.


^

Звено чистого запаздывания



.

Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;

2) если r = 0, то ;

если r = l, то .

Передаточная функция: .

В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:





; .

 - время чистого запаздывания.



Другим примером являются длинные линии.




; .


Чистое запаздывание имеет место в тиристорных преобразователях. Здесь . m -пульсность управления. Характеризует число пульсаций или гармоник на периоде сетевого напряжения. Пусть . Тогда при частоте .

Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.

1) .

- коэффициент передачи тиристорного преобразователя.

- информационная постоянная времени системы управления (постоянная входного фильтра).

Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.

2) где . Получается в результате разложения в ряд Тейлора: . Если учесть только один член разложения, тогда .

3) - тиристорный преобразователь представляется пропорциональным звеном.
Решение уравнения дает бесконечное число нулей и полюсов.



Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.
Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.

; ; ; .



Одному и тому же значению А() соответствует несколько k. Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.
Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика

-1-1.

Весовая функция .









Скачать файл (890.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации