Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Доступные файлы (5):

Лекции1часть1.doc	720kb.	16.02.2007 18:00	скачать
Лекции1часть2.doc	1678kb.	04.02.2006 18:20	скачать
Лекции1часть3.doc	749kb.	04.02.2006 19:25	скачать
Лекции1часть4.doc	1180kb.	04.02.2006 21:23	скачать
Лекции1часть5.doc	976kb.	04.02.2006 22:11	скачать

Лекции1часть2.doc

Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления)

можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений

(нули) и

(полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену

, то получаем

, называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).
Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя

можно изобразить на плоскости.

Комплексная плоскость корней

Отсюда:

1. Корень

расположен в правой полуплоскости, то есть ReS_e0.

2. Корень

расположен в левой полуплоскости, то есть ReS_k0 .

3. Углы наклона векторов

таковы, что _k_e, причем

.

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

^

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.
^ Минимально фазовые звенья:

Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);
Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);
Идеальное дифференцирующее звено;
Реальное дифференцирующее звено;
Идеальное интегральное звено;
Идеальное формирующее звено;
Звенья второго порядка:

Апериодическое;
Колебательное;
Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

Звено чистого запаздывания;
Квазипериодическое звено;
Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции

;

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как

;

;

Фазовая частотная характеристика ФЧХ звена:

;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ:

;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена:

.

Переходная характеристика

ℒ

.

Весовая функция

.
Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

Реальное усилительное звено

Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение:

; соответствующая ему передаточная функция:

; частотные характеристики:

- АФЧХ;

- ВЧХ;

- МЧХ; причем

.

Следовательно,

(АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости. Кроме того

(выполнили деление). Если подставить

, то получим

, откуда после преобразований:

; 

.

Имеем окружность радиусом

, сдвинутую на

вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:

Амплитудно-частотная характеристика реального усилительного звена имеет вид:

Фазово-частотная характеристика:

, причем

.

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования.
а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

.
б) Зона высокой частоты. В.Ч.

;

;

Наклон характеристики в области высоких частот

Определим погрешность в точке  = 1/T.

.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в

раз. Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить обратное преобразование Лапласа:

ℒ

.

Весовая функция реального усилительного звена:

.

По переходной характеристике h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).

Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена

Идеальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид:

;

.

ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:

;

.

Ниже представлены графики этих зависимостей:

Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

ℒ

;

Примеры дифференцирующих звеньев:

1)
2) .			y = I_c; x = U_c .
3) ; .			y = U_L; x = I_L .

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!
^

Реальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид:

.

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:

с передаточной функцией

.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена:

;

ВЧХ и МЧХ:

Причем, при

. Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.

АЧХ:

; ЛАХ:

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Н.Ч.:

;

В.Ч.:

ФЧХ:

Переходная характеристика:

ℒ

;

Весовая функция:

Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

^

Интегрирующее звено

Данному звену соответствует интегральное уравнение

и передаточная функция

.

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

АФЧХ:

; ВЧХ:

; МЧХ:

; АЧХ:

; ФЧХ:

;

ЛАХ:

.

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:

Форсирующее звено

Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

АФЧХ:

; ВЧХ:

;

МЧХ:

; ФЧХ:

;

; при

.

АЧХ:

ЛАХ:

;
Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

НЧ:

;

;

ВЧ:

;

Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:

.
^

Квазиинерционное звено

Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями

. В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ:

.

Соответственно ВЧХ и МЧХ:

.

АЧХ:

(такая же, как у инерционного звена).

ФЧХ:

, причем

, а

. Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.
Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

- получили уравнение окружности. А так как

, то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:

Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.

АФЧХ:

;

ВЧХ:

; МЧХ:

; ФЧХ:

Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

;

АЧХ:

- совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.
^

Звенья второго порядка. Передаточные функции

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением

и передаточной функцией

.

В зависимости от величины коэффициентов

это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем:

;

. Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:

и передаточную функцию:

.

где постоянные времени

.
Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

;

, то можно получить передаточную функцию:

где

.

В зависимости от постоянных времени Т_м и Т_я двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:
Если

, то звено апериодическое 2 порядка;

Если

, - колебательное звено;

Если

, - граничный случай.
Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:

где

;

.

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции):

, корни которого:

Если постоянные таковы, что , то корни . Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду: .
Если , тогда корни - движение колебательное.
Если - граничный случай: .
Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. Звено теряет свойство диссипативности. При этом .

Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где

- частота собственных, недемифированных колебаний (при

, откуда

- коэффициент затухания.

1) 0 < <1 - звено колебательное.

2)  > 1 - апериодическое звено.
^

Частотные характеристики звеньев второго порядка

АФЧХ:

ВЧХ:

; МЧХ:

;

АЧХ:

;

ЛАХ:

.
Ниже приводится изображение частотных характеристик

Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:

Н. Ч.

;

.

В. Ч.

;

симптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1 она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).

ФЧХ:

при  < 1/T₁,

при  > 1/T₁.

ЛФХ: Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):

Переходная характеристика звена:

ℒ^-1

.

Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.

Звено чистого запаздывания

.

Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;

2) если r = 0, то

;

если r = l, то

.

Передаточная функция:

.

В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:

;

.

 - время чистого запаздывания.

Другим примером являются длинные линии.

;

Чистое запаздывание имеет место в тиристорных преобразователях. Здесь

. m -пульсность управления. Характеризует число пульсаций или гармоник на периоде сетевого напряжения. Пусть

. Тогда при частоте

.

Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.

1)

- коэффициент передачи тиристорного преобразователя.

- информационная постоянная времени системы управления (постоянная входного фильтра).

Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.

2)

где

. Получается в результате разложения

в ряд Тейлора:

. Если учесть только один член разложения, тогда

.

3)

- тиристорный преобразователь представляется пропорциональным звеном.
Решение уравнения

дает бесконечное число нулей и полюсов.

Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.
Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.

;

Одному и тому же значению А() соответствует несколько _k. Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.
Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика

ℒ^-1