Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом - файл 1.doc


Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом
скачать (77 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc77kb.19.12.2011 09:31скачать


1.doc

Решение систем линейных дифференциальных уравнений матричным методом

М.В. Дубина (МГПУ им. И.П. Шамякина)

Научный руководитель – В.В. Шепелевич, доктор ф.-м. наук, профессор

Часто в физике при решении определенных задач приходится сталкиваться с системами из 3 или 4 линейных дифференциальных уравнений. При решений таких систем удобно использовать матричный метод решения систем линейных дифференциальных уравнений. Часто матрица коэффициентов этих систем уравнений имеет симметричный вид.

Использование этого метода сводится к следующему алгоритму:

1.Приведение системы уравнений к виду:

2.Нахождение собственных значений матрицы .

3.Осуществляем спектральное разложение , составляем систему матричных уравнений относительно и решаем ее.

4.Решение в общем виде имеет вид:

В частных случаях компоненты матрицы можно выразить в отдельности и избежать решения системы матричных уравнений.

В физических задачах зачастую матрица коэффициентов имеет симметричный вид.

Теорема 1: Если матрица симметрична, то симметрична и матрица , где произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где порядок матрицы. При получаем .

Теорема 2: Если матрица симметрична, то симметрична и матрица , где произвольные числа.

Доказательство: Для элементов матрицы имеем:

где порядок матрицы.

При получаем (поскольку и ), отсюда .

Лемма 1: Если матрица коэффициентов системы 2,3 или 4 дифференциальных уравнений симметричная, то и компоненты матрицы будут также симметричными матрицами.

Доказательство: Выразив каждый компонент матрицы отдельно, для всех возможных случаев, получим либо:, либо . Тогда согласно теореме 1 лемма 1 является верной.

1. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука,1982. – С.148 – 174.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: - С.124 – 133.

3. Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. 5-е изд., доп. – СПб.: Лань,2003 – С.653 – 782.


Скачать файл (77 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации