Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по теоретической механике - файл 1.doc


Лекции по теоретической механике
скачать (3535 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc3535kb.20.12.2011 08:43скачать

содержание

1.doc

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Предмет теоретической механики. Основные понятия
Механикой называется наука о простейшей форме движения ма­терии — о механическом движении. Простейшими являются дви­жения, сводимые к перемещениям во времени физических тел из одного положения в пространстве в другое.

Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механи­ческого движения. Она не учитывает индивидуальные свойства физи­ческих тел, за исключением двух: свойства протяженности и свой­ства гравитации (свойства частиц материи тяготеть друг к другу или обладать весом).

К числу основных понятий относится механическая сила. Меха­ническая сила есть движение, в механической форме передаваемое от одного тела к другому при их взаимодействии.

Многочисленные наблюдения показали, что сила характеризуется величиной, направле­нием и точкой приложения. Сила относится к векторным величинам.

По своему построению теоретическая механика напоминает геометрию: в ее основе также лежат определения, аксиомы и тео­ремы.

Теоретическую механику принято делить на статику, кинема­тику и динамику.

^ В статике изучаются методы преобразования сил, приложенных к материальной точке и абсолютно твердому телу, а также условия их равновесия.

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение без учета действующих сил.

Изучением механического движения мате­риальной точки, системы и абсолютно твердого тела с учетом дей­ствующих сил занимается динамика.
^ АКСИОМЫ СТАТИКИ. СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. ТРЕНИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ

§ 1. Краткие сведения о развитии статики

Научные основы статики заложены сиракузским механиком и математиком Архимедом (287 — 212 гг. до н. э.). Он предложил тео­рию равновесия рычага, находящегося под действием параллельных сил. Им создано учение о центре тяжести. Исследовав равновесие плавающих в жидкости тел, Архимед заложил основы гидростатики. В своих исследованиях по механике он подвел итоги существовавших до него знаний в области статики и привел их в строго логическую систему. В период средневековья в статику ничего нового не было внесено. Эпоха Возрождения ознаменовалась развитием, как статики, так и динамики. Большой вклад в геометрическую статику внес фран­цузский ученый — современник Ньютона — П. Вариньон (1654 — 1722). В завершении геометрической статики решающую роль сыграл французский ученый Л. Пуансон (1777—1859).

Основоположником аналитической статики был великий 'фран­цузский ученый Ж. Лагранж (1736 — 1813). Дальнейшее развитие аналитической статики связано с именем великого русского мате­матика и механика М. В. Остроградского (1801 — 1861). В обоснова­нии аксиоматики статики большую роль сыграли Н. Е. Жуковский (1847—1921), С. А. Чаплыгин (1869— 1942) и В. Г. Имшенецкий (1832-1892).

§ 2 АКСИОМЫ СТАТИКИ

Статика означает равновесие, приложенных к твердому телу. В статике рассматриваются две основные задачи:

  1. замена дополнительной системы сил приложенных к твердому телу другой системой сил ей эквивалентной;

  2. вывод общих условий, при которых твердое тело под действием приложенных к нему сил остаются в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного поступательного движения.

Тело называется абсолютно твердым если расстояние между любыми его точками не меняется.

^ Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Совокупность тел, в том числе и материальных точек, каким то образом связанных между собой называют системой тел. Силы взаимодействия между телами, входящими в данную систему, называют внутренними, а силы, которые действуют на данную систему другие тела – внешними.

Равнодействующей силой данной системы сил называется сила, механически эквивалентная этой системе сил. Силы, входящие в состав системы сил, называются составляющими силами. В даль­нейшем равнодействующую силу будем обозначать буквой R. Урав­новешивающая сила по величине равна равнодействующей силе, но направлена по той же прямой в противоположную сторону.

В статике, решая вопрос о замене системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, другой, ей эквивалентной, или вопрос о равновесии сил, пользуются геометрическими свойствами векторов сил. Отсюда становится понятным термин «геометрическая статика». Аналитическая статика, основанная на принципе возможных перемещений, будет изложена в динамике.

Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводятся из нескольких основных положений применяемых без доказательств, но подтвержденных опытами, называются аксиомами статики.

Аксиома I (аксиома инерции, или первый закон Ньютона) Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения то какие-нибудь силы не выведут тело из этого состояния.

Способность тела сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, называется инерцией или инертностью. Инертность есть одно из основных свойств материи.

Аксиома II (аксиома взаимодействия, или третий закон Ньютона) Если одно тело действует на другое тело с некоторой силой, то второе тело одновременно действует на первое с силой равной по модулю, по противоположной по направлению.

Аксиома III (условие равновесия двух сил) Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома IV Равновесие (как любой другое механическое состояние твердого тела не нарушится, если к нему приложить или удалить систему уравновешенных сил.

Аксиома V (аксиома параллелограмма сил) Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.

§ 3. Связи и их реакции

В теоретической механике различают свободную материальную точку, свободную систему и свободное твердое тело, а также несво­бодную материальную точку, несвободную систему, несвободное твердое тело.

Если на движение материальной точки, системы или твердого тела не наложены наперед заданные ограниче­ния, то материальная точка, система или твердое тело называются свободными.

В противном случае материальная точка, система или твердое тело называются несвободными. Физические условия, ограничиваю­щие свободу движения указанных материальных объектов, назы­ваются связями.

В статике встречаются простейшие связи, осуществляемые раз­
личными твердыми или гибкими телами.

Сила, с которой связь действует на рассматриваемую точку, систему или твердое тело, называется реакцией связи.

^ Виды связей и их реакции.


Связью может быть нить, шнур, веревка, цепь, трос и т. д. В теоретической механике принимают, что такие связи являются невесомыми, гибкими и
нерастяжимыми. Реакции этих связей направлены соответственно: по нити, веревке и т. д. В отличие от стержня, здесь Рис. 4 известна не только линия действия реакции, но и ее направле­ние. Реакции нити, веревки и других гибких связей будем обозначать буквой Т.

Однако существуют такие связи, линии действия которых
наперед нельзя указать. К числу таких связей относится, напри­мер, неподвижный цилиндрический шарнир.

Он состоит из неподвижного цилиндрического болта (пальца), на который надевается втулка (рис. 4), имеющая цилиндрическое отверстие с диаметром, немного превышающим диаметр болта. Если тело скрепить с втулкой, то оно сможет только вращаться вокруг оси шарнира. В идеальном шарнире, в котором пренебрегают трением между поверх­ностями пальца и втулки, возникает только препятствие для пере­мещения втулки в направлении, перпендикулярном к поверхностям пальца и втулки. Поэтому реакция в идеальном шарнире направлена по нормали, т. е. по радиусу болта. В зависимости от действу­ющих сил втулка может прижиматься к болту в любой точке. Поэтому направление реакции неподвижного цилиндрического шарни­ра наперед указать нельзя. Об этой реакции известно только то, что она расположена в плоскости, перпендикулярной к оси, шарнира. Схематически неподвижный шарнир изображают двумя стержнями, соединенными общим шарниром. При решении задач реакцию шарнира определяют аналитически, раскладывая ее по направлениям координатных осей. Величину проекций реакции определяют из уравнений равновесия. Аналогично поступают и в других случаях, когда направление реакции какой-то связи наперед указать нельзя.
§ 3. Система сходящихся сил.

Способы нахождения равнодействующей системы

сходящихся сил

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точ­ке, называется системой сходящихся сил.

Система сходящихся сил либо приводится к равнодействующей, либо находится в равновесии.

Теорема. Равнодействующая системы сходящихся сил равна век­торной сумме этих сил.



Действительно, пусть к абсолютно твердому телу приложена система сил F1, F2, ..., Fn, линии действия которых пересекаются в некоторой точке О (рис. 9). Мы могли бы складывать последова­тельно эти силы по аксиоме о параллелограмме сил. Однако этот путь очень длинен. Пользуясь правилом геометрического сложения векторов, сразу построим многоугольник сил F1, F2, ...,Fn, замыкающая сторона которого и будет равнодействующей силой R.

Изложенный способ определения равнодействующей является геометрическим. Однако равнодействующую силу R можно определить и аналитически, по проекциям на неподвижные оси декартовой системы координат, выбрав за начало координат точку О пересечения линий действия системы сходящихся сил.
^ Равновесие системы сходящихся сил.

Условия равновесия системы сходящихся сил

Если система сходящихся сил находится в равновесии, механи­ческим условием равновесия является равенство нулю равнодейст­вующей силы. Получим

или R = 0



Так как векторная сумма сил равна нулю, то многоугольник сил является замкнутым (начало первого вектора силы и конец по­следнего совпадают).

Таким образом, при равновесии системы сходящихся сил много­угольник сил является замкнутым (условие равновесия в геометри­ческой или графической форме).

В аналитической форме условия равновесия системы сходящихся сил заключаются в следующем.

Если пространственная система сходящихся сил находится в рав­новесии, то алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из трех координатных осей должна равняться нулю (на две оси, если система сходящихся сил расположена на плоскости).

Поскольку в случае равновесия указанной системы сил их рав­нодействующая равна нулю (R = 0), то равны нулю и ее проекции на оси координат, т. е. Rх = 0, Rу = 0, Rг = 0. На основании (1.10) получим


Для плоской сходящейся системы сил имеем


Условия (1.13) и (1.14) в аналитической форме называются также уравнениями равновесия. Для статической определенности задачи число неизвестных не должно превышать числа уравнений равно­весия.


^ Момент силы относительно точки и оси. Главный вектор и главный момент. Пара сил. Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на силу. Итак, по определению (рис. 12),



Обозначая длину перпендикуляра, опущенного из центра момента на линию действия силы, через h (величину h в дальнейшем будем называть плечом), можно модуль вектора Мо (F) представить в виде произведения Fh, т. е.

|М0(F)| =М0(F) = Fh.

Таким образом, момент силы относительно точки — это вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей силу и точку, в ту часть пространства,.



Для аналитического определения момента силы относительно точки выберем произвольную систему координат Оxyz с началом в точке О (рис. 13) и обозначим проекции радиуса-вектора г и силы F на координатные оси Оx, ОY, Оz, соответственно через х, у, z и X, У, Z. Заметим, что проекции х, у, z радиуса-вектора г точки прило­жения силы одновременно означают координаты этой точки. Тогда, спроектировав обе части векторного равенства (1.15) на оси координат, получим выражение момента силы относительно точки в анали­тической форме в виде трех его проекций на координатные оси:



,

.
Теорема о моменте равнодействующей системы

сходящихся сил (теорема Вариньона)

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется проекция на ату ось момента силы относительно произвольной точки на оси. Момент силы F относительно оси Оz обозначается через Мz (F). Таким обра­зом,

М

Момент силы относительно оси, как будет показано в динамике, является физической величиной, характеризующей вращательное движение твердого тела.

Согласно определению, моменты силы относительно координат­ных осей выражаются величинами (1.18), т. е. соответственно равны проекциям

М МУ(F) = zХ -хZ; М

Укажем практический способ определения момента силы относи­тельно оси.

^ Главный вектор и главный момент системы сил

Главным вектором R системы сил F1,F2 … , Fn называется векторная сумма этих сил, т. е.

R=

Таким образом, главный вектор системы сил можно определить геометрически с помощью многоугольника сил.

Аналитически главный вектор определяется тремя своими проекциями на координатные оси;

R

R

R

Главным моментом Мо системы сил F1: F2, ..., Fn относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно этой точки, т. е

M

Таким образом, главный момент системы сил относительно точки можно определить геометрически с помощью многоугольника момен­тов этих сил относительно данной точки.

Аналитически главный момент относительно точки определяется тремя своими проекциями на координатные оси:

M

M

M

или

; ;

Заметим, что понятия главного вектора и равнодействующей системы сил не тождественны. Как мы увидим в следующей главе, не всякая система сил имеет равнодействующую. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то последняя, хотя геометрически и равна главному вектору, но имеет вполне определенную линию действия, в то время как главный вектор (также и главный момент) является свободным вектором.
Пара сил

Парой сил называется система двух параллельных сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и приложенных к твердому телу.

Пара сил может быть ориентирована положи­тельно (против часовой стрелки в правой системе координат) и отрицательно (по часовой стрелке в левой системе координат). Очевидно, что с переходом от правой системы координат к левой ориентация пары сил изменяется на противоположную. Кратчайшее рас­стояние Н между линиями действия сил пары называется ее плечом.

Главный вектор пары сил равен нулю. Пусть силы F и —F пары приложены соответственно в точках А и В. Определим главный мо­мент пары сил относительно какой-либо точки О. Главный момент пары сил не зависит от выбора центра момен­тов; он обозначается М и называется моментом пары сил:

1 М0 = М = В А х F.

Итак, момент пары сил — это свободный вектор, по модулю равный М = Fh и направленный перпендикулярно плоскости ее действия так, чтобы с вершины этого вектора пара сил была ориентирована положительно.
§ 6. Теорема о параллельном переносе силы



Теорема. Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести ее параллельно самой себе в некоторую точку (центр приведения), присоединив при этом пару сил.

Пусть к телу приложена в точке А сила Р (рис. 15), выберем произвольный центр приведения — точку О. По первой аксиоме в точке О приложим силы Р и —р. Тогда в точке О получим силу Р, перенесенную парал­лельно самой себе, и присоединенную пару, момент ко­торой равен моменту данной силы Р относительно центра приведе­ния О:

М (F, —F) = Мо (F).

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   18



Скачать файл (3535 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации