Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Уравнения в частных производных - файл Конспект лекций-11.doc


Лекции - Уравнения в частных производных
скачать (467.1 kb.)

Доступные файлы (6):

Конспект лекций-11.doc412kb.16.01.2011 22:04скачать
Конспект лекций-2.doc496kb.13.02.2010 19:35скачать
Конспект лекций-3.doc261kb.13.02.2010 19:48скачать
Конспект лекций-4.doc245kb.13.02.2010 20:02скачать
Конспект лекций-5.doc245kb.14.02.2010 00:14скачать
Конспект лекций-6.doc114kb.30.11.2007 12:04скачать

содержание

Конспект лекций-11.doc

Настоящий конспект составлен в соответствии с рабочей программой и тематическим планом по дисциплине «Дифференциальные уравнения в частных производных» для курсантов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».


Раздел 1. Основные уравнения математической физики.

Постановка краевых задач.


Тема 1. Основные уравнения математической физики.

Лекция 1. Уравнения математической физики.

Рассматриваемые вопросы.

  1. Предмет математической физики.

  2. Основные уравнения математической физики. Математические модели.


Общие положения.

Пусть – некоторая неизвестная функция и т.д. ее частные производные различного порядка.

Рассмотрим уравнение

(1)

связывающие независимые переменные х, у, искомую функцию u(х, у) и ее частные производные различного порядка. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядок уравнения определяется наивысшим порядком частной производной, входящей в это уравнение.

Примеры.

1) – дифференциальное уравнение первого порядка.

2) – дифференциальное уравнение второго порядка

и т.п.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция u(х, у), обращающая его в тождество. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения в частных производных, как правило, более сложные по сравнению с задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы знаем, что общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка зависит от n произвольных постоянных С1, С2, …, Сn. Более сложная ситуация складывается при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Например, решением дифференциального уравнения является любая функция т.е. общее решение зависит от бесконечного числа функций, зависящих только от одной переменной

Или

Рассмотрим

(где z=x-y)



и



при произвольной функции f(z).


Предмет теории уравнений в частных производных составляет изучение дифференциальных уравнений, описывающих то или иное явление природы, по преимуществу физической. Наш курс будет посвящен по преимуществу уравнениям в частных производных второго порядка.

В связи с этим рассмотрим некоторые физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

Задача 1 (о поперечных колебаниях струны).

Пусть струна длиной l натянута с силой Т0 и находится в прямолинейном положении равновесия. В момент времени t=0 точкам струны сообщаются некоторые отклонения и скорости.

Поставим задачу об определении малых поперечных колебаний точек струны при t>0, если концы струны:

а) жестко закреплены,

б) свободны,

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Сопротивлением среды и силой тяжести пренебрегаем.

Решение. Пусть ось ох совпадает с первоначальным положением струны в положении равновесия




Выделим участок струны от А до В и спроектируем все действующие на этот участок силы на ось u. Согласно принципу Даламбера сумма проекций должна равняться нулю.



так как мы рассматриваем малые колебания и – малой величиной пренебрегаем.

Это значит, что удлинение участка струны не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения не зависит ни от времени, ни от х.

Проекция силы натяжения



Пусть – непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на АВ действует вдоль оси u сила

Для нахождения силы инерции воспользуемся выражением где Тогда



или



Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны.

Если ρ=const и то

(2)

Кроме того, искомая функция u(х, у) должна удовлетворять начальным условиям:

– начальное положение струны

– начальный импульс.

Краевые условия:

а) струна закреплена на концах

,

б) в случае свободных концов должно быть



в) – законы движения концов струны.


Задача 2 (Уравнение неразрывности. Задача обтекания).

Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости в которой отсутствуют силы вязкости.

Пусть – вектор скорости движения жидкости, –ее плотность, – интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем ω, ограниченный поверхностью S. Изменение массы жидкости внутри ω в единицу времени равно



с другой стороны это изменение должно равняться приращению количества Q1 жидкости за счет источников



минус количество Q2, вытекающей через S

– формула Остроградского-Гауса,

где – внешняя нормаль к S, таким образом



В силу произвольности ω

(3)

Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.

Рассмотрим теперь задачу обтекания твердого тела Ω с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость на бесконечности при отсутствии источников. В этом случае и Поэтому: при условии

Пусть u –потенциал скоростей, т.е. тогда

и



,

поэтому

(4)

Задача 3 (о распространении тепла).

Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящего за время ∆t через малую площадку ∆S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой



где – нормаль к ∆S, направленная в сторону передачи тепла, k(x, u) – коэффициент внутренней теплопроводности, u(x, t) – температура тела в точке в момент времени t. Предполагается, что тело изотропно в отношении теплопроводности, т.е.
k(x, u) не зависит от направления площадки.

Выделим внутри тела объем ω, ограниченный S. Согласно закону Фурье, количество тепла, втекающее через S за промежуток [t1, t2], равно



Если – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованного за их счет в ω за указанный промежуток времени, равно



Общее количество тепла притекающего в ω за время от t1 до t2 можно посчитать и за счет приращения температуры



где и – теплоемкость и плотность вещества. Тогда



В силу произвольности ω и промежутка времени t1, t2, следует равенство

, (5)

называемое уравнением теплопроводности. Если (не зависит от температуры), то уравнение (5) становится линейным. Если же тело однородно и уравнение (5) примет вид:

(6)

Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо кроме уравнения, задать начальное распределение температуры

– начальное условие

и температурный режим на границе

– граничное условие,

(возможны и другие варианты задания граничных условий).

Рассмотренные три физические задачи приводят нас к решению трех различных типов дифференциальных уравнений второго порядка. Все дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка можно условно разделить на три класса:

  1. уравнения гиперболического типа,

  2. уравнения эллиптического типа,

  3. уравнения параболического типа.


Тема 2. Классификация уравнений в частных производных.


Лекция 1. Классификация уравнений в частных производных.

Рассматриваемые вопросы.

  1. Уравнения гиперболического типа.

  2. Уравнения параболического типа.

  3. Уравнения эллиптического типа.


При рассмотрении вопроса о классификации дифференциальных уравнений в частных производных ограничимся дифференциальными уравнениями второго порядка.

В общем виде такое уравнение может быть записано в виде:

(1)

если искомая функция u зависит от двух переменных.

Однако и в дальнейших рассуждениях будем рассматривать уравнения, линейные относительно старших производных

(2)

где – заданные функции.

Произведем классификацию уравнений вида (2). Введем новые независимые переменные

,

где функции φ и ψ – достаточно гладкие и .

По правилу дифференцирования сложных функций



Далее

,





Подставим эти выражения в уравнение (2) и, собирая подобные члены, получим

, (3)

где

. (4)

Подберем теперь функцию так, чтобы т.е.

(5)

Это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Решение этого уравнения связано с решениями обыкновенного дифференциального уравнения

(6)

которое называют уравнением характеристик.

Имеет место.

Теорема. Для того, чтобы функция была решением уравнения (5) необходимо и достаточно, чтобы соотношение определяло один из общих интегралов дифференциального уравнения (6).

Необходимость. Если – решение уравнения (5), то имеется тождество



которое преобразуется к виду:

(7)

но равенство определяет неявную функцию для которой и тогда тождество (7) означает, что есть общее решение уравнения (6).

Достаточность. Если есть общий интеграл уравнения (6), то выполнено тождество (7) и стало быть есть решение уравнения (5).

Из этой теоремы следует, что решение уравнения (5) сведено к решению уравнения (6) характеристик.

Далее рассмотрим три случая

1. то уравнения (2) называют уравнением гиперболического типа. В этом случае уравнения характеристик распадается на два



Пусть и – общие интегралы этих уравнений. Тогда и решения уравнения (5). Если эти функции взять за новые переменные, то обратится в нуль не только коэффициент но и

Таким образом мы получили первую форму для гиперболических уравнений

. (8)

Употребительно и иное каноническое представление. Сделаем еще замену



Тогда и значит

. (9)


2. Если то уравнение (2) называют уравнением эллиптического типа. В этом случае уравнение характеристик сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям с комплексно сопряженными правыми частями



Общие интегралы и будут иметь комплексно сопряженные левые части. Аналогично предыдущему придем к уравнению вида (8), в котором путем замены приводим к виду:



так как , а

Замечание. При приведении к каноническому уравнению достаточно сразу взять


3. В этом случае уравнение (2) называется уравнением параболического типа.

Уравнение характеристик



Найдем общий интеграл Функцию возьмем за новую переменную ξ, а за переменную η возьмем любую не связанную с . Тогда Покажем, что одновременно обратится в нуль и Можно считать, что и



Тогда разлагая на множители



Теперь в уравнении слева осталось только

(10)


Примеры.

1. , эллиптический тип.

Уравнение характеристик




















2. , параболический тип.





(любая)




3. , гиперболический тип.

Уравнение характеристик














Тема 3. Классификация краевых задач.


Лекция 1. Классификация краевых задач.

Рассматриваемые вопросы.

1.Типы краевых задач.

2. Краевая хадача для уравнений эллиптического типа.

3. Задачи Дирихле и Неймана.


Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что решение дифференциального уравнения n-го порядка

(1)

определяется неоднозначно. Общее решение зависит от n произвольных постоянных и для однозначной разрешимости необходимо задать так называемые начальные условия

(2)

Решение задачи для уравнения (1) с начальными условиями (2) называется задачей Коши и при определенных условиях решение этой задачи существует и единственно.

Более сложная ситуация складывается при рассмотрении дифференциальных уравнений в частных производных. В самом деле: общим решением простейшего уравнения является произвольная функция

Для того, чтобы сделать решение определенным, нужно задать дополнительные условия, например, потребовать чтобы неизвестная функция, а возможно и ее производные принимали заданные значения на некоторых многообразиях. Каждая задача математической физики ставится как задача об отыскании решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой.

В задаче о колебании струны нужно искать решение уравнения

(3)

при условиях

а) струна закреплена

– однородные граничные условия (4)

б) концы не закреплены

– неоднородные граничные условия (4’)

Кроме того, необходимо знать начальное положение струны и начальный импульс

– начальные условия (5)

Условия (4) или (4’) совместно с условиями (5) полностью определяют решение дифференциального уравнения (3) и потому среди них нет лишних.

Аналогично, если рассматривать задачу о колебании мембраны, занимающей плоское положение ω с границей S, то решение этой задачи сводится к решению уравнения:



при дополнительных условиях:



– начальные условия

и

– граничное условие.

Иногда вместо на S задается линейная комбинация

– граничное условие.

Задачу с заданными граничными и начальными условиями называют смешанной задачей. Аналогично может быть поставлена задача для уравнения теплопроводности: пусть – температура тела в момент времени t. Тогда



Если же рассматривать установившейся тепловой режим, тогда и

(6)

Решение этого уравнения можно искать при условии




Особый интерес представляют случаи, когда α=0 или β=0.

α=0 – задача Дирихле

β=0 –задача Неймана

Уравнение (6) не обязательно решать лишь в конечной области. Очень часто бывает важно решить его для области неограниченной. Это бывает, когда размеры рассматриваемой области очень велики по сравнению с масштабом изучаемого явления.

Например, при изучении явления теплоотдачи некоторого длинного трубопровода, заложенного в земле, считать, что земля не шар, а неограниченное полупространство. При рассмотрении неограниченных областей далеко не безразлично, как ведет себя решение в далеких точках изучаемой области.

Во многих случаях задача становится определенной только при известных предположениях об этом поведении (например, решение при .


2. Понятие о задаче, поставленной корректно. Пример Адамара.

Задача с начальными условиями называется поставленной корректно, если ее решение «непрерывно» зависит от этих начальных данных. Для дифференциальных уравнений в частных производных это не всегда так. Рассмотрим пример, принадлежащий Адамару.

Найдем решение уравнения в полуплоскости удовлетворяющее условиям



Легко проверить, что решение это будет иметь вид

(7)

Можно показать, что такое решение единственно.

Функция равномерно и не только она сама, но и все ее производные.

Однако решение (7) при любом имеет вид косинусоиды с как угодно большой амплитудой и не стремится к какому-либо пределу. При х=0 оно просто неограниченно растет. Задача поставлена некорректно.


Скачать файл (467.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации