Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Контрольная работа - Полный факторный эксперимент - файл 1.doc


Контрольная работа - Полный факторный эксперимент
скачать (691.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc692kb.16.11.2011 19:54скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Условия работы:

В данной работе ставится следующая задача: определить влияние посещенных учебных занятий, факультативов по физике и самостоятельной работы (самостоятельного изучения) на результат выступления на олимпиаде по физике в 8 классе.

Ход работы:

1. Выборка Y, определение факторов и интервалов их варьирования

1.1. Выбор критерия

Критерий (Y): результат выступления учащегося на олимпиаде по физике, кол-во баллов.

1.2. Определение факторов

Факторы: 1) X1 − посещенные учебные занятия (в том числе практические и лабораторные занятия) по физике, ч.;

2) X2 − посещенные факультативы по физике, ч.;

3) X3 − самостоятельная работа по физике, ч.

^ 1.3. Определение интервалов изменения факторов

Область определения факторов устанавливается согласно типовой рабочей программе по физике (для учащихся 8 классов) для общеобразовательных школ. Схеме полно-факторного эксперимента предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем (Max), имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора и нижнем (Min), соответствующем минимальному значению фактора. Интервалы изменения факторов в эксперименте представлены в таблице 1.

Таблица 1 − Интервалы варьирования факторов в эксперименте


Факторы

Уровни

Min (-1)

Max (+1)

X1

30 ч.

68 ч.

X2

28 ч.

52 ч.

X3

12 ч.

34 ч.



^ 2. Построение плана проведения полного факторного эксперимента

При известном значении числа факторов, можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов.

, (1)

где − количество экспериментов, − число факторов эксперимента.

Подставив значение числа факторов, вычислим количество экспериментов по формуле 1:



План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа и результаты опытов представлены в таблице 2. В таблице и в дальнейшем применяем сокращенное обозначение уровней факторов: вместо +1 и −1 обозначаем + и −.

Таблица 2 − Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа с эффектом взаимодействия первого порядка и результаты опытов

Номер опыта, Nk

Порядок варьирования факторов

Значения параметра оптимизации

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

Yэксп

Yрасч

∆Y

(∆Y)2

1

+

+

+

+

+

+

95

96

1

1

2



+

+





+

80

79

-1

1

3

+



+



+



84

83

-1

1

4





+

+





47

48

1

1

5

+

+



+





81

80

-1

1

6



+





+



49

50

1

1

7

+









+

51

52

1

1

8







+

+

+

5

4

-1

1




16,25


14,75



15,0


−4,5



−3,25



−3,75



61,5


61,5


1


1


Таким образом, построен полный факторный эксперимент . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов.


3. Определение коэффициентов уравнения регрессии

Для полного факторного эксперимента типа уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить следующим выражением:

(2.1)

или , (2.2)

где − свободный член уравнения регрессии; − коэффициент линейного эффекта, − коэффициент эффекта парного взаимодействия, − число факторов, и − факторы эксперимента.

Получение модели сводится к нахождению по результатам эксперимента значений неизвестных коэффициентов.

3.1. Определение свободного члена

Свободный член () характеризует результат выступления учащегося 8 класса на олимпиаде по физике в центре плана. Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

, (3)

где − параметр оптимизации экспериментальный, − число опытов, − номер фактора эксперимента, − номер опыта.

Согласно формуле 3 вычислим коэффициент :



3.2. Вычисление коэффициентов уравнения, характеризующих линейные эффекты

Коэффициент уравнения рассчитывается по формуле, которая приведена ниже.

, (4)

где − фактор эксперимента.

 Найдем коэффициенты для каждого фактора эксперимента:







3.3. Определение коэффициентов уравнения, характеризующих эффекты взаимодействия

Коэффициент вычисляется по следующей формуле:

, (5)

где и − номера факторов эксперимента.

Вычислим коэффициенты эффекта парного взаимодействия :







С учетом всех найденных коэффициентов основное уравнение регрессии согласно выражению 2.2 для полного факторного эксперимента будет выглядеть следующим образом:

(6)

4. Проверка значимости коэффициентов регрессии

4.1. Определение разброса в точке

Проводим несколько параллельных опытов в одной точке плана для того, чтобы определить разброс значений в данной точке. Параллельные эксперименты проводим для точки 2:

; ; .

Далее найдем их среднее значение:



4.2. Определение дисперсии эксперимента

Дисперсия воспроизводимости (адекватности) определяется с помощью повторных опытов в нулевой точке (центре эксперимента). Дисперсию адекватности вычислим по следующей формуле:

, (7)

где − число повторных опытов

Для точки 2 получим:



4.3. Среднее квадратическое отклонение

Далее извлечем квадратный корень из и получим среднее квадратическое отклонение:



Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии определяется по следующей формуле:

, (8)

где − количество членов в уравнении регрессии (кроме ).

В соответствии с формулой 8 среднее квадратическое отклонение составило:



4.4. Определение доверительного интервала и значимость коэффициентов уравнения регрессии

Для оценки значимости коэффициентов по доверительному интервалу вычисляют доверительный интервал для коэффициента по формуле 9.

, (9)

где − критерий Стьюдента (табличное значение критерия при 5%-ном уровне значимости и при количеству степеней свободы равно 4,3).

Вычислим доверительный интервал:



Доверительный интервал одинаков для всех коэффициентов. Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии с помощью соотношения 9 удобно тем, что позволяет применить правило: коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала:

(10)

Незначимые коэффициенты исключаются из модели. При этом если коэффициенты модели некоррелированны между собой (матрица моментов диагональная), то исключение незначимых коэффициентов не скажется на остальных коэффициентах. В обратном случае оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты закоррелированы друг с другом.

Таким образом, определим значимость коэффициентов уравнения регрессии путем их сравнения с доверительным интервалом:

; ; ; ; ; ; .

Из представленных выше выражений следует, что все коэффициенты регрессионного уравнения больше доверительного интервала (что говорит об их значимости). Уравнение регрессии примет вид:

(11)

5. Вычисление расчетных значений параметров оптимизации

Определим расчетные значения параметров оптимизации путем подстановки соответствующих знаков (+ или −) в выражение 6. Тогда получим следующие расчетные значения:

















6. Определение критерия Фишера и проверка модели на адекватность

6.1. Вычисление критерия Фишера

Адекватность модели вцелом будем определять по критерию Фишера. Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) равно: 

, (12)

где − дисперсия адекватности модели (остаточная дисперсия), − дисперсия опыта (эксперимента).

Вычислим дисперсию адекватности по формуле:

, (13)

где − число степеней свободы, − количество значимых коэффициентов модели (в уравнении регрессии, кроме ), − количество опытов.

Сначала вычислим разницу между расчетными и экспериментальными значениями параметров оптимизации и заполним таблицу 2:

(14)

Также найдем (∆Y)2 и заполним таблицу 2.

Подставляя известные значения в выражение 13, вычислим дисперсию адекватности модели:



Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) вычислим по формуле 12.



Табличное значение критерия Фишера () определяется по таблице. Значение F-критерия для уровня значимости зависит от (число степеней свободы большей дисперсии), (число степеней свободы меньшей дисперсии). Учитывая уровень значимости и зная степень свободы, табличное значение критерия Фишера равно .

6.2. Проверка модели на адекватность

Полученную с помощью факторного планированного эксперимента модель объекта необходимо проверить на адекватность. Проверяется адекватность модели, то есть пригодность полученной модели для описания реального объекта исследования, по отношению дисперсий адекватности и параметра оптимизации .

Сравним расчетные и табличные значения критериев Фишера и сформулируем вывод об адекватности модели. Согласно условию − модель неадекватна и соответственно при − адекватна.

Таким образом, в нашем случае:

; . , что говорит об адекватности модели.

7. Анализ регрессионной модели в факторном пространстве

Согласно уравнению регрессии, исключая незначимый коэффициент, построим линию уровня в факторном пространстве:



Следует отметить, что область принимаемых значений факторов следующая: . Установим значение для . После подстановки значения в уравнение регрессии получим следующее выражение:

(15)


Сначала рассмотрим переднюю грань куба (полного факторного эксперимента) и произведем необходимые расчеты для того, чтобы построить линию уровня. Далее аналогично рассчитаем необходимые параметры для построения линий уровня на остальных гранях куба.

1. Передняя грань куба:

В данном случае принимает значение , то есть . Подставив известное значение в уравнение 15, получим выражение с двумя неизвестными:

(16)

Выразим в уравнении 16 одно неизвестное через другое:

(17)

Учитывая область принимаемых значений факторов, путем подстановки чисел в выражение 17, получим следующие координаты точек линии уровня:

т.1-1: ; ;

т.1-2: ; ;

т.1-3: ; .

Отметим соответствующие точки на квадрате и соединим их линией. На рисунке 1 построены проекции регрессионной модели в факторном пространстве на передней стороне куба.




Рисунок 1 − Линия уровня на передней грани куба


2. Правая грань куба:



(18)

(19)

т.2-1: ; ;

т.2-2: ; ;

т.2-3: ; .



Рисунок 2 − Линия уровня на правой грани куба

3. Задняя грань куба:



(20)

(21)

т.3-1: ; ;

т.3-2: ; ;

т.3-3: ; .



Рисунок 3 − Линия уровня на задней грани куба

4. Левая грань куба:



(22)

(23)

т.4-1: ; ;

т.4-2: ; ;

т.4-3: ; .



Рисунок 4 − Линия уровня на левой грани куба

5. Верхняя грань куба:



(24)

(25)

т.5-1: ; ;

т.5-2: ; ;

т.5-3: ; .



Рисунок 5 − Линия уровня на верхней грани куба

6. Нижняя грань куба:



(26)

(27)

т.6-1: ; ;

т.6-2: ; ;

т.6-3: ; .



Рисунок 6 − Линия уровня на нижней грани куба

Таким образом, поверхность регрессионной модели пересекает все грани куба. Модель регрессии в факторном пространстве, которая отображает зависимость между критерием и факторами эксперимента, изображена на рисунке 7.




Рисунок 7 − Регрессионная модель в факторном пространстве

Вывод:

Уравнение регрессии для данного полного факторного эксперимента выглядит следующим образом:

.

Так как , модель адекватна, то есть пригодна для описания реального объекта исследования.

Наибольшее влияние на результат выступления на олимпиаде по физике в 8 классе оказывает посещение учебных занятий по предмету (), наименьшее же − посещение факультативов (). Влияние такого фактора, как самостоятельная работа по физике (самостоятельное изучение), также существенно ().





Скачать файл (691.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации