Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Юшкевич А.П. О проблеме математизации знания в средние века - файл n1.doc


Юшкевич А.П. О проблеме математизации знания в средние века
скачать (91 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.doc91kb.24.12.2012 05:03скачать

Загрузка...

n1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Из истории естествознания

А. П. ЮШКЕВИЧ

О ПРОБЛЕМЕ МАТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЯ В СРЕДНИЕ ВЕКА

Прежде всего следует заметить, что терминология, которой все мы пользуем-
ся при обсуждении в историческом плане вопроса о математизации науки, не
вполне однозначна. Разумеется, мы вкладываем в слова «наука», «натурфилосо-
фия», «закономерности», «средние века» и др. приблизительно одинаковое со-
держание, но только весьма приблизительно. Так, например, термин «средние
века», впервые примененный к общей истории человечества почти ровно 300 лет
назад, понимался и понимается с тех пор по-разному и хронологические границы
средневековья расплывчаты. Это неудивительно, если учесть, что обычно,
говоря о средних веках, имеют в виду эпоху феодализма. Между тем обществен-
ное развитие в различных регионах Европы и Азии было неравномерным и не-
синхронным. Но, во всяком случае, XIII—XV вв. европейской истории, о которых
здесь главным образом говорится, все единодушно относят к средневековью, так
что в этом отношении разномыслие исключается.

Нет уверенности в том, что процесс математизации науки состоит в превра-
щении математики из чистой в прикладную, как это иногда думают. Различение
чистой и прикладной математики практикуется давно, но по существу матема-
тика, как таковая, едина. Математизация познания состоит в том, что область
объектов и взаимных связей между ними изоморфно отображается подходящей
математической системой. Впрочем, этот терминологический вопрос не столь
важен для обсуждаемой темы.

Более важно подчеркнуть, что этапы математизации науки (до недавнего
времени преимущественно естествознания) всегда были тесно связаны с этапа-
ми развития самой математики. В СССР довольно широко распространена
периодизация А. Н. Колмогорова, который различает: 1) зарождение математи-
ки, как оно имело место, скажем, в Древнем Египте и Древнем Вавилоне; 2) пе-
риод элементарной математики, продолжавшийся с VII в. до н. э. до начала
XVII в.; 3) период создания математики переменных величин, XVII—XIX вв.,
и 4) период современной математики, характеризуемый чрезвычайным расшире-
нием ее предмета и обобщением ее методов [1]. Второй период Колмогоров де-
лит на два подпериода, приходящиеся соответственно на эпоху рабовладельче-
ского общества (Греция, эллинизм, Рим) и на эпоху феодализма (страны Восто-
ка и Европа). При этом «элементарность» математики второго периода пони-
мается в том смысле, что использовался тот запас понятий, который до сих пор
лежит в основе преподавания математики в начальной и средней школе. Третий
период Колмогоров условно называет периодом «высшей математики», а совре-
менную математику характеризует начавшимся в XIX в. процессом системати-
ческого изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количест-
венных отношений и пространственных форм. В целом эта периодизация согла-
суется с пониманием математики, сформулированным Ф. Энгельсом в «Анти-
Дюринге». Полезно напомнить при этом, что Энгельс отмечал и присущую мате-
матике особенность создавать в конце концов «продукты свободного творчества
и воображения самого разума». Представляется все же, что время с VII в. до
н. э. по XVI в. более целесообразно разделить на два периода, ибо в Древней


12

Греции, как это отмечает и сам Колмогоров, получили развитие наряду с «эле-
ментарными» и отнюдь не элементарные направления — инфинитезимальные
вычисления Архимеда и теория конических сечений Аполлония. Быть может,
здесь лучше было бы говорить о периоде превращения математики в систему
дедуктивных наук, образцом чего стали «Начала» Евклида. В средние века дей-
ствительно преобладала элементарная математика, но в развитие античных тра-
диций разрабатывались и неэлементарные теории, об одной из которых будет
сказано далее. Эти замечания о периодизации истории математики мне понадо-
бятся далее.

Я хочу обратить особое внимание на одну своеобразную закономерность
в математизации науки, именно на важную стимулирующую роль философских
и натурфилософских концепций, которая несколько раз выявляется на протяже-
нии уже более 25 столетий. Разумеется, эти концепции создавались в ходе взаи-
модействия между математикой, а также другими науками и философской
мыслью, но, раз возникнув, они становились фактором дальнейшей усиленной
математизации. В античности заслуживают внимания, по меньшей мере, три
крупные философские системы такого рода, не считая ионийской школы Фалеса
и его преемников (конец VII и первая половина VI в. до н. э.), с которой начина-
ется, насколько нам известно, построение различных общих физических и физи-
ко-математических концепций. Первой из этих трех систем явился ранний пифа-
гореизм VI в. до н. э., родоначальником которого был полумифическиий Пифа-
гор, с именем которого связывается постановка цели разработать картину мира,
основанную на отношениях целых чисел («все есть число»); затем атомизм Де-
мокрита в его физическом и математическом планах (V—IV вв. до н. э.) и гео-
метризованная картина мироздания Платона (427—347 гг. до н. э.), изложенная
в диалоге «Тимей». Сколь бы фантастическими ни были детали в каждом из трех
случаев и как бы ни разнились между собой онтология и гносеология школ Пи-
фагора, Демокрита и Платона, все они содействовали дальнейшей математиза-
ции науки. Разумеется, речь идет о принципиальной тенденции строить науку
с помощью математических методов, моделей и т. п., а не о продуманной наперед
программе математизации. Каждая из названных концепций имела очень долго-
временное влияние, вплоть до наших дней.

В отдельных науках математизация осуществлялась в древности по большей
части элементарными средствами. Наиболее известным, хотя и не самым ранним
примером служит геоцентрическая модель вселенной Птолемея (I—II вв.), кото-
рая обходилась сферической геометрией, отдельными теоремами тригонометрии
и арифметическими вычислениями. Инфинитезимальные приемы получили при-
менение только в статике и гидростатике Архимеда (287—212 гг. до н. э.). Еще
ранее сделаны были первые шаги в математизации теории музыки, оптики, на-
чал динамики, или, лучше сказать, «прадинамики». Процесс математизации
естествознания протекал неравномерно, иногда ускоряясь, иногда замедляясь;
квалитативное (качественное) объяснение явлений природы то соперничало, то
сотрудничало с квантитативным (количественным), как это имело место, напри-
мер, во всеобъемлющей перипатетической системе Аристотеля (384—322 гг. до
н. э.). Методологические и натурфилософские концепции Платона и Аристотеля
оказали мощное влияние на всю идеологию арабских стран и Европы средних
веков, да и нового времени, влияние, которое в модифицированной форме сохра-
няется и в наши дни. Сокрушив вместе с другими философскими и натурфило-
софскими системами мифотворческие конструкции более ранних цивилизаций,
идеи Платона и Аристотеля устояли перед натиском мусульманского и христиан-
ского вероучений, которым пришлось даже в эпоху их безраздельного господ-
ства так или иначе адаптировать греческое идейное наследие.

В средние века на огромных пространствах Китая, Индии, арабских стран,
Европы господствовали элементарные разделы математики, необходимые для
решения как практических, так и отвлеченных задач, возникающих в ходе ее
имманентного развития. Достижения в названных областях были весьма значи-

13

тельными: распространение десятичной позиционной арифметики, обобщение
понятия о действительном числе, совершенствование численных методов, выде-
ление алгебры и тригонометрии в самостоятельные науки и т. д. В арабских стра-
нах и затем в Европе поддерживались и традиции «высшей математики» антич-
ности. А наряду с этим возникали новые течения математической и механиче-
ской мысли в непосредственной связи с постановкой задачи квантифицировать
процесс миропознания.

В XII—XIV вв. в передовых странах Западной Европы ускоряется прогресс
научной и философской мысли на основе перестройки всей системы организации
подготовки кадров научной интеллигенции. Идейные контакты между этими
странами приобретают регулярный характер, несмотря на частые изменения
государственных границ; большое значение приобретает распространение латы-
ни как общего языка ученых Англии, Германии, Испании, Италии, Франции
и других стран. На первых порах существенное значение имеет общение со стра-
нами арабской культуры, в большем объеме впитавшей греческое наследие, чем
ранняя Европа, а в некоторой мере и общение с Византией. Переводятся на ла-
тынь с арабского сочинения греческих ученых и их арабских продолжателей,
появляются и переводы с греческого, создается и собственная научно-философ-
ская литература. Чаще всего на базе скромных церковных школ организуются
большие университеты, как правило, с одинаковой структурой и системой науч-
ной иерархии. В границах, допускаемых церковью, ведутся дискуссии между
платониками и перипатетиками, между адептами и противниками атомизма,
обсуждаются свойства непрерывных и дискретных величин, актуальной и потен-
циальной бесконечности, элементарных понятий механики и физики, вопросы
логики и т. д.

Особенно примечательны оксфордская и парижская натурфилософские шко-
лы, расцвет которых пришелся на XII—XIV вв. В идейном отношении близкие,
они несомненно поддерживали как прямые, так и косвенные контакты, которые,
впрочем, мало изучены. К этим школам принадлежали яркие мыслители, внес-
шие вклад в развитие науки, в том числе математики, как Роберт Гретхед или,
на французский лад, Гроссетест (ок. 1168—1253), его ученик Роджер Бэкон
(ок. 1214 — ок. 1292), Томас Брадвардин (ок. 1290—1349) и его младший со-
временник Ричард Суайнсхед (ок. 1350), связанные с Оксфордом, Жан Буридан
(ок. 1300 — ок. 1358), Никола Оресм (ок. 1323—1382), представлявшие париж-
скую школу, а также многие другие крупные натурфилософы. Эти две школы
исходили из общих идейных установок, возрождая на более высоком уровне ан-
тичные традиции школ Пифагора, Платона, Аристотеля и их арабских последо-
вателей. В подходе к решению изучавшихся ими проблем представители обеих
школ несколько расходились, но не в идейном плане, а в методах аргументации;
эти различия можно оставить в стороне [2, с. 393—413].

В обеих школах во главу угла ставится принцип математизации миропозна-
ния, который формулируется подробно и со всей отчетливостью. Так, Роберт
Гроссетест писал, что «все причины природных действий надлежит выражать
посредством линий, углов и фигур, ибо иначе невозможно познать их основа-
ние» (Цит по: [3, с. ПО; 4, с. 293]), а Бэкон называл математику «вратами
и ключом» «наук и вещей этого мира» (Цит. по: [3, с. 143; 4, с. 293]). Принцип
математизации, подробно и неоднократно разъясняемый и иллюстрируемый
на примерах обоими цитируемыми авторами, сочетается у них с пропагандой
роли опыта и наблюдений, но в данной связи существенно подчеркнуть, что от
Гроссетеста и Бэкона путь ведет через ряд промежуточных звеньев непосред-
ственно к Галилею, которой почти 400 лет спустя в своей критике поздних пери-
патетиков говорил, что книга философии природы не может быть просто вычита-
на у Аристотеля, так как она написана не буквами. Ее не могут прочитать все,
но только люди, сведущие в математике, так как буквами этой книги являются
различные геометрические фигуры [5, с. 232].

Декарт, со своей стороны, лаконически писал, что вся его физика есть гео-
метрия [6, с. 268].
14

Принцип математизации миропознания получил развернутое выражение
в претендовавшем на широчайшую квантификацию миропознании теории, из-
вестной в Оксфорде под названием калькуляций (т. е. вычислений), а в Пари-
же именовавшейся то теорией широт форм, то теорией конфигурации качеств
и т. п. При этом получили дальнейшее развитие некоторые разделы античной
механики, но идея математизации миропознания получила развернутое выра-
жение в учении, претендовавшем на квантификацию всей натурфилософии.
Дело пошло дальше: математизации подвергаются любые виды изменения не-
прерывных измеримых величин или интенсивностей, а также движений, понима-
емых в трояком аристотелевском смысле: 1) как изменение качества, 2) какого-
либо количества вообще и 3) как чисто механическое перемещение — местное
движение. Впрочем, в некоторых случаях изучаемые величины претерпевают
в области своего определения конечные скачки. Принципиально новым по срав-
нению с античностью явилось включение в круг исследования «движений», ко-
торым присуще неравномерное изменение. Вообще говоря, предметом исследо-
вания оказываются, пользуясь схоластической терминологией, интенсифика-
ции — усиления и ремиссии — ослабления самых разнообразных форм или ка-
честв: теплоты, света, цвета и т. д., но также доброты, греховности и т. п., пере-
менная интенсивность которых находится в зависимости от их экстенсивности —
распределения интенсивностей в пространстве или во времени. Однако в центре
интересов оказываются не теологические или этические качества, а естествен-
нонаучные и особенно механические. Выражаясь языком Декарта, это новое
учение претендовало на роль «универсальной математики», новой квантита-
тивной натурфилософии. Мы бы сказали, что впервые создавалось учение
о непрерывных переменных величинах, в частности рассматриваемых и как
функции времени. И если в древности, скажем, в системе Птолемея неравномер-
ное движение стремились как-либо сводить к равномерному, то теперь
основным предметом изучения делается как раз движение неравномерное; как
в Англии, так и во Франции говорили о «течении качества». Этот термин «тече-
ние» — fluxus иногда употреблялся и в античной литературе (например, Геро-
ном в I в.) и в арабской (ал-Наиризи, ок. 900 г.), которые рассматривали,
скажем, линию как порождаемую движением или «течением» точки; но теперь
идея текущей величины или течения величины либо качества становится одной
из основных рассматриваемых систем натурфилософии. Соответствующие
латинские термины punctum fluens и т. п., введенные при переводах с арабского
или греческого, становятся обиходными [7, с. 144 и след.]. Позднее эта терми-
нология войдет в научную литературу нового времени и сохранится до наших
дней в виде выражения «текущие координаты».

В Оксфорде теория калькуляций разрабатывалась преимущественно алге-
браически-арифметическими средствами и в меньшей мере геометрическими.
В Париже равносильное по существу калькуляциям учение о широте форм строи-
лось на основе более наглядных и доступных, с точки зрения Оресма, геомет-
рических представлений с использованием, разумеется, и чисто вычислитель-
ных средств. Кратко и несколько модернизируя, обрисуем теорию Оресма.

Основным объектом этой теории служат, как сказано, непрерывные перемен-
ные величины — произвольные качества или формы вещей, которым присущи
те или иные градусы (gradus), т. е. степени интенсивности и экстенсивности.
Простейшим геометрическим эквивалентом интенсивности и экстенсивности,
например скорости движения и его продолжительности, служат количественно
пропорциональные им по длине прямые отрезки, «широты» и «долготы». Широ-
ты мыслятся приложенными под каким-либо определенным (и проще всего пря-
мым) углом к долготам, нанесенным на одну прямую линию с общим началом.
Высоты широт образуют так называемую линию интенсивности, а получившая-
ся таким образом фигура характеризует в целом весь процесс количественного
изменения качества. Получается некий аналог наших графиков одного аргумен-
та. Было бы, однако, неправомерной модернизацией приписывать Оресму поня-
15

тия о координатах точек, уравнениях плоских кривых и т. д.; он вовсе не алгебра-
изировал геометрию, вводя систему координат, как это было сделано в 30-е годы
XVII в. Декартом и Ферма.

Здесь придется оставить в стороне беглые указания Оресма на возможность
обобщения его метода на случаи, когда экстенсивности распределены не вдоль
прямой, но на участке плоскости или внутри некоторого пространственного объе-
ма. С нашей точки зрения, здесь Оресм намеревался перейти от «линейных», по
его выражению, качеств к качествам, распространенным на континуумы двух
и трех измерений, мы бы сказали, к функциям двух и трех независимых перемен-
ных, причем во втором случае он наталкивается на непреодолимую в те времена
трудность вообразить конфигурации в четырехмерном пространстве. Примеча-
телен и замысел Оресма ввести своеобразную классификацию линейных качеств,
т. е., по-нашему, функций одного аргумента. Прежде всего он выделяет качества
униформные, т. е. равномерные, соответствующие движению с постоянной ско-
ростью и изображаемые прямоугольниками. Переход к следующему классу свя-
зан с чрезвычайно важным нововведением понятия мгновенной или точечной
скорости и мгновенного ускорения, для которых предлагается специальная
терминология 1. Этот следующий класс образуют так называемые униформно-
дифформные, равномерно-неравномерные — мы бы сказали равномерно-уско-
ренные — качества. Такие качества Оресм, как и его английские единомышлен-
ники, исследует особенно подробно. Соответствующая конфигурация является
здесь прямоугольным треугольником, если начальная скорость равна нулю, во-
обще же говоря, трапецией характерной формы. Это сразу дает теорему о том,
что прямолинейный путь, проходимый с постоянным ускорением, равен пути,
проходимому с постоянной скоростью, равной средней арифметической началь-
ной и конечной скоростей; Оресм высказывает ее сперва в терминологии общей
теории широт качеств. Оксфордские калькуляторы пришли к такому же резуль-
тату несколько ранее Оресма, и в современной историко-научной литературе
иногда говорят о «мертоновском правиле» — многие калькуляторы вышли из
Мертоновского колледжа Оксфордского университета или работали в нем.
«Мертоновское правило» нетрудно выразить и в формулировке, известной те-
перь всем школьникам под названием закона Галилея, который у великого
итальянского ученого получил обоснование в принципиально другой постановке
и решен несколько по-другому, хотя и с применением почти такого же чертежа,
какой был у Оресма. Заметим мимоходом, что в одном своем сочинении Оресм
выразил путь, проходимый при равномерно-ускоренном движении, также через
квадрат времени. Нужно сказать, однако, что, во-первых, ни калькуляторы, ни
Оресм не связывали «мертоновское правило» с реальными задачами естество-
знания, т. е. с вопросом о падении на Землю тяжелых брошенных тел, что яви-
лось заслугой исключительно Галилея и приобрело первостепенное значение
для прогресса динамики. Во-вторых, Оресм нигде не говорит, что площадь его
фигур непосредственно выражает пройденный путь. Для такого заключения
нужно было бы явно ввести инфинитезимальные соображения, чего Оресм не
делает, хотя вполне вероятно, что он ими руководствовался; но главное нужно
было бы рассматривать величину пути как произведение времени и скорости,
а такая идея была совершенно чуждой идеологии того периода. Конфигурация
Оресма выражала среднюю (или, как он выражался, тотальную) скорость —
velocitas totalis, которой, правда, пройденный путь пропорционален.

Все прочие качества Оресм именует дифформно-дифформными, т. е. неравно-
мерно-неравномерными, различая среди них две главные разновидности. Одну

1 Понятие мгновенной скорости воспринималось на интуитивном уровне и не определялось;
то же относится к ускорению. Вообще понимание скорости как отношения пути ко времени в тот
период было немыслимо, так как, согласно античной традиции, рассматривались только отношения
между однородными величинами. О том, как старались обойти эту последнюю трудность, см. [7,
с. 170—171]. Характерная для классического математического анализа трактовка понятия скорости
восходит к XVIII в.— к Эйлеру, Даламберу и Лагранжу.

16

из них составляют «простые» неравномерно-неравномерные качества, линии ин-
тенсивности которых суть дуги какой-либо одной кривой, например окружности
или эллипса, или же еще каких-либо других кривых, которые он не перечисляет.
Другая разновидность неравномерно-неравномерных качеств — «смешанные»,
когда линии интенсивности как-либо скомбинированы из кусков различных
предыдущих линий,— Оресм говорил о сочетании или смешении (mixtio) раз-
личных родов качеств. Здесь особенно интересны «ступенчатые неравномерно-
сти», изображаемые примыкающими друг к другу прямоугольниками с убываю-
щими высотами и с основаниями, лежащими на одной прямой. Число таких
прямоугольников может быть и бесконечно велико, между тем как их общая пло-
щадь, несмотря на бесконечную протяженность фигуры, ограничена, например
в простейшем случае, когда высоты составляют убывающую геометрическую
прогрессию. Таким образом, вводятся в рассмотрение кусочно-разрывные функ-
ции и фигуры неограниченной протяженности и ограниченной меры площади,
своего рода аналог сходящихся несобственных интегралов. Всего классифика-
ция функций Оресма насчитывает больше 60 типов. Любопытно, что в XVIII в.
Эйлер счел целесообразным выделить группу функций, заданных на различных
участках различными аналитическими выражениями, назвав их также «смешан-
ными» (mixtae). Однако цели Эйлера и Оресма были совершенно разные и сов-
падение в терминологии было скорее всего случайным.

Не будем задерживаться на других выдающихся математических открытиях
упомянутых мыслителей XIV в., относящихся, например, к обобщению античной
теории отношений и пропорций. Нашей целью было кратко обрисовать принци-
пиальные черты созданной ими эмбриональной формы учения о переменных ве-
личинах вместе с ее кинетической и геометрической интерпретациями. Говорить
об аналитической геометрии, хотя бы даже в том начальном виде, какой она
получила на первых порах у Декарта и Ферма, а также об исчислении бесконеч-
но малых здесь было бы, конечно, совершенно преждевременно. При всем том
учение о широте форм и о калькуляциях не только содержали ростки идей и под-
ходов, получивших развитие в математике переменных величин XVII в., но по-
служили одной из предпосылок этой новой математики, необходимость в которой
созрела в ходе революционных изменений в естествознании, произведенных Ко-
перником, Кеплером, Галилеем и др., и почву для которой подготовили также
замечательные успехи алгебры XV и XVI вв. Слабыми пунктами теорий XIV в.
были их недостаточная связь с реальными запросами практики и бедность тог-
дашнего математического аппарата, который в них был усовершенствован не-
значительно 2. Однако эти теории были богаты идейным содержанием, и ошибоч-
но недооценивать ставившиеся ими в абстрактной форме научные проблемы
и формировавшиеся в них представления о переменных или текущих величинах,
мгновенной скорости и ускорении и др.

Здесь несколько подробнее рассмотрены были теория широт форм и «мерто-
новское правило» в трудах Оресма. Выше было сказано, что это правило не-
сколько ранее обосновали Ричард Суайнсхед и некоторые другие оксфордские
калькуляторы, работы которых относятся к 30-м или 40-м годам XIV в., между
тем как сочинения Оресма были написаны, вероятно, между 1348 и 1362 гг. Рас-
пространение всего этого круга идей началось почти немедленно, и их изложе-
ние встречается в рукописях итальянских авторов — Джованни Казали (Бо-
лонья, 1346) и Франческо де Феррариа (университет в Падуе, 1352); оба нахо-
дились под несомненным влиянием калькуляций. В том же направлении работал
на 20—30 лет позднее Биаджо Пелакани из Пармы, деятельность которого про-
текала в Болонье, Павии и Падуе. После изобретения книгопечатания «мерто-

2 Собственно вычислительный аппарат Оресма и калькуляторов ограничивался применением
бесконечных прогрессий и приводящихся к ним рядов. Нельзя не упомянуть, однако, об одном за-
мечательном открытии Оресма — расходимости, как мы бы сказали теперь, гармонического ряда,
переоткрытой в серединеXVII в. П. Менголи и несколько позднее И. и Я. Бернулли.

17

новское правило» встречается в печатных изданиях XVI в., по меньшей мере,
17 раз [8].

Калькуляции и теория широт форм становятся также предметом универси-
тетских курсов в ряде городов Англии, Германии, Италии, Франции. Все эти
обстоятельства содействовали широкому распространению идей как оксфорд-
ской, так и парижской школы. Юношеские записи Галилея свидетельствуют
о его хорошем знакомстве с их натурфилософскими учениями. В еще большей
мере об этом же говорит его вывод закона падения тяжелых тел в классических
«Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей
науки, относящихся к механике и местному движению», изданных в силу ряда
обстоятельств с большим опозданием в 1638 г.; сам этот закон был выведен Га-
лилеем еще до 1610 г. Близость вывода закона у Галилея и аналогичного предло-
жения Оресма очевидна.

Общие идеи, отдельные результаты (включая «мертоновское правило»)
и терминология оксфордской школы оказали влияние не только на Галилея,
но и на других выдающихся ученых Нового времени — изобретателя логариф-
мов Непера, таких учеников Галилея, как Кавальери и Ториччелли, отчасти на
Декарта 3, затем на Барроу и, по крайней мере частично, на Ньютона. Одним из
свидетельств этого влияния служит довольно долгое сохранение терминологии
средневековой кинематики неравномерных движений даже у более поздних уче-
ных, как, например, в XVIII в. у Маклорена. В этом списке следует назвать
и Лейбница, который знал и высоко ценил Суайнсхеда, читал Галилея и Каваль-
ери и т. д., хотя в своем «анализе бесконечных» Лейбниц в большей мере руко-
водствовался геометрико-алгебраическим подходом, чем кинематическим. Было
бы неверно, конечно, и преувеличивать значение и возможности рассмотренных
здесь учений. Внутренние математические ресурсы их были слишком недоста-
точны, чтобы их непосредственное развитие могло привести к созданию анализа
переменных величин, разработанного в своих основах на протяжении XVII в.
для решения новых насущных проблем астрономии, механики, оптики.

Это, однако, уже другой вопрос, выходящий за пределы рассматриваемой
проблемы.

Выделив теорию конфигурации качеств, составляющую одну из глав средне-
вековой математики, мы проиллюстрировали ту закономерность процесса мате-
матизации знания, о которой говорилось в самом начале,— именно стимулирую-
щую роль философских концепций. Эта закономерность проявилась затем
и в идее так называемой универсальной математики Декарта, реализованной
в его тесно спаянной с геометрией алгебре, и в более грандиозной идее «всеоб-
щей характеристики» Лейбница, с которой связана была разработка им диф-
ференциального и интегрального исчисления. Позднее философия и наука обо-
собляются гораздо более, чем в средние века, и многие философы не занимаются
глубоко математикой, а математики не строят больших философских систем.
Однако и далее представители так называемых точных наук руководствуются
некоторыми общими философскими принципами, а философы стремятся как ис-
пользовать научные исследования, так и воздействовать на них.

Резюмируя, можно сказать, что пример средневековых теорий, кратко рас-
смотренных выше, является одним из свидетельств плодотворного взаимодей-
ствия методологической и научной мысли, точную границу между которыми
и в наше время, как и в древности, провести невозможно.
3 Известно, что Декарт одно время был близок с голландским ученым И. Бекманом, в дневни-
ках которого за ноябрь-декабрь 1618 г. содержится оригинальный вывод закона Галилея [8, с. 417-418].
18
Список литературы

1. Колмогоров А. Н. Математика// БСЭ. 1-е изд. 1938. Т. 38. С. 359—394; 2-е изд. 1954. Т. 26.

С. 464—483. 3-е изд. 1973. Т. 15.

  1. Юшкевич А. П. История математики в Средние века. М., 1961.

  2. Crombie А. С. Robert Grosseteste and the origins of experimental Science. 1100—1700. Oxford

1953.

4. Зубов В. П. Из истории средневековой атомистики // Тр. Института истории естествознания

АН СССР. Т. 1. М., 1947. С. 283—314.

  1. Galilei G. Le Opere. V. VI. Firenze, 1981.

  2. Descartes R. Oeuvres. V. II. P., 1897.

  3. Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. М., 1965.

  4. Clagett M. The Science of Mechanics in the Middle ages. Medison, 1959.

19


Скачать файл (91 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации