Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Ответы на билеты по Выч. Математике - файл 1.doc


Ответы на билеты по Выч. Математике
скачать (418 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc418kb.16.11.2011 21:01скачать

содержание

1.doc


  1. Точные и приближенные числа

Цифры, составляющие приближенное число, могут быть значащими, верными и сомнительными.

- Верной (точной) цифрой называется цифра, погрешность которой не превышает половины единицы следующего разряда, т.е. если ∆*(а*)≤0,5∙10m-1+n (где m – число разрядов а*, n – число верных цифр в нем).

Пример

Число 3,142 является приближенным значением числа π с четырьмя точными (верными) значащими цифрами, т.к.:

│π – 3,142│ = │3,14159… - 3,142│< 0,0005 = 0,5∙103

  1. Десятичная запись и округление чисел

Десятичная запись числа – это когда число записано цифрами от 0 до 9, с использоваться запятой. Другими словами десятичные дроби. Пример: 1,07; 25,334 и т.п.

В основе процессов округления лежит идея минимальной разности числа с и его округленного значения c0.

^ Правило округления (по дополнению). Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от n-ой значащей цифры или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

а) если 1-ая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

б) если 1-ая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

в) если 1-ая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

г) если первая из отброшенных цифр равна 5, а все остальные отброшенные цифры нули, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

^ В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна 1/2 единицы последнего сохраненного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.

^ Очевидно, что при таком правиле округления погрешность не превосходит 1/2 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

  1. Абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерения —оценка отклонения измеренного значения 

величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой

точности измерения.

^ Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этой погрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределением случайной величины Xmeas. При этом неравенство:

Δ^ X > | Xmeas − Xtrue | ,

где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонениеАбсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

^ Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины:

.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.



  1. Верные значащие цифры

Значащие цифры числа - это все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например: а) х=2,396029 - все цифры и 0 - значащие; б) но для х=0,00267 – значащие только 2, 6, 7, а первые три нуля - незначащие, ибо они служат вспомогательной цели - определению положения цифр 2, 6.7. Поэтому может быть принята запись: х=2,67 10 -3

Верные цифры числа. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит ½ единицы разряда, соответствующего этой цифре.

  1. Погрешность суммы и разности

Погрешность суммы или разности, очевидно, равна сумме или разности этих чисел. Например, если , то (a и b заменяют точные A и B в вычислениях). Полученное приближенное число с содержит ошибку

При сложении n приближенных чисел имеем: ,

где - приближенные числа, которые могут как складываться, так и вычитаться. Очевидно, что погрешность подчиняется той же формуле: .

Абсолютной ошибкой будет модуль (абсолютное значение) этой величины

.

Поскольку абсолютное значение суммы может быть лишь меньше или равным сумме абсолютных значений, то предельной абсолютной погрешностью суммы будет сумма предельных абсолютных погрешностей слагаемых: ,

где - предельные абсолютные погрешности Знак величин не влияет на ПАП, так как ошибки могут быть как положительными, так и отрицательными.

Заметим, что u  max i, поэтому как бы мы не уточняли j слагаемое (i), мы не можем уточнить сумму. “Плохое” слагаемое портит всю сумму! Отсюда вытекает правило сложения приближенных чисел:

1. вычислить числа с меньшим числом знаков после запятой,

2. остальные числа округлить, сохранив один запасной знак,

3. сложить,

4. округлить результат.



  1. Погрешность произведения. Число верных знаков произведения

Пусть . Заменим А и В на приближенные a и b. При этом получим . Погрешность произведения будет равна

Однако , поэтому .

Разделив полученное выражение на , получим относительную погрешность

.

Предельной относительной ошибкой будет величина .

Обычно предполагают, что и малы, так что их произведением можно пренебречь. Поэтому можно утверждать (приближенно), что предельная относительная ошибка произведения равна сумме предельных относительных ошибок сомножителей.

Сказанное относится к любому числу сомножителей. Поэтому,

если , то .

Последнюю формулу легко получить дифференцированием. Сначала продифференцируем произведение

.

Теперь вычислим дифференциал , заменив его конечным приращением :



Сумма модулей каждого слагаемого определит предельную относительную погрешность. Заметим, что относительная погрешность произведения не может быть меньше относительной погрешности наименее точного сомножителя:.

Отсюда .

Таким образом, уточнение произведения невозможно заменой какого-либо сомножителя более точным.

  1. Погрешность частного. Число верных знаков частного



Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.

Следовательно, при делении приближенных чисел необходимо принимать во внимание количество значащих цифр, характеризующих относительную точность числа, а не количество десятичных знаков, обуславливающих его абсолютную погрешность. Совершенно очевидно, что при большом количестве действий такого сорта правила нельзя считать удовлетворительными, так как погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. 



  1. Погрешность степени и корня
^

Погрешность степени


Предельная относительная погрешность m-ой степени в m раз больше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

δu=m·δx

Погрешность корня


Предельная относительная погрешность корня m-ой степени в m раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

δu=(1/m)·δx


  1. Системы линейных уравнений(СЛУ)

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида




(1)

Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы; b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:



или:

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.



  1. Решение произ. линейного уравнения

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

                         

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Правило решения:

1.  Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.
2.  Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

  1. Однородная СЛУ

     (7.1).

 Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное решение.

Согласно общей теории, если r(A)=n, то единственным является тривиальное решение.

Если же r(a)<n, то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные.

^ Теорема 1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей  имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Определение 1

Всякая линейно независимая система

(n-r) решений системы линейных однородных уравнений  называется фундаментальной системой решений.

 Замечание 1. Отличный от нуля минор матрицы порядка r, такой, что всякие миноры порядка r+1 и выше, (если такие имеются) равны нулю, называется базисом.



  1. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений S.  Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований  над расширенной матрицей система S приводится к «ступенчатому» виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

При реализации прямого хода метода Гаусса возможны следующие три случая.

В результате преобразований в системе уравнений будет получено уравнение вида


где b≠0.  Ясно, что никакой набор действительных чисел этому уравнению удовлетворять не может, поэтому в таком случае система уравнений несовместна.

2.  В результате преобразований получится ступенчатая система уравнений



в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.     

В этом случае система уравнений является определённой.

3.В результате преобразований получится система уравнений ступенчатого вида, в которой количество неизвестных больше числа уравнений системы (m>n)



В этом случае те неизвестные, которые стоят на «ступеньках», называются главными неизвестными (x1,x2,…..,xm), а другие неизвестные называются свободными (xm+1,xm+2,….,xn); система уравнений будет неопределённой. Тогда обратный ход метода Гаусса состоит в том, что начиная с последнего уравнения системы, главные неизвестные выражаются через свободные и составляется общее решение системы уравнений. Для того чтобы получить какое-либо частное решение системы, свободным неизвестным придают конкретные числовые значения, вычисляя тем самым главные неизвестные.

  1. Метод итераций

Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение  

преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: .



  1. Условия сходимости итерационного процесса

  2. Оценка погрешности в методе итерации

Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция  дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где  - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится

со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:, .


16)Метод Зейделя. Условие сходимости

Решение системы Ax=U по методу Зейделя производится по формулам



Если при вычислении i-той координаты вектора

учитывается найденные заранее уже координаты

То вычисления будут проходить по формулам Зейделя.



17)Оценка погрешности метода Зейделя

Оценка погрешности одношаговых итерационных методов. Пусть матрицы  и  симметричны и положительно определены и существуют такие положительные константы  и , что . Тогда итерационный метод, задаваемый уравнением

 , где  сходится для любого начального приближения со скоростью геометрической прогрессии с коэффициентом , где .

18)Приведение СЛУ к виду, удобному для итераций

Самым удобным способом приведения СЛУ к виду удобному для итераций является представление СЛУ матрицей с преобладающими диагональными коэффициентами. После сокращений мы получим СЛУ, в которой каждое уравнение будет выглядеть примерно так

Х1=b1+а2х2+а3х3

Х2=b2+а1х1+а3х3

Х3=b3+а1х1+а2х2

Далее надо произвести проверку

, при i=1,2,…,n, если же хотя бы одно уравнения не пройдет проверку, значит допущена ошибка.

19)Алгебраические и трансц. Уравнения

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ уравнениеуравнение, которое можно преобразовать так, что в левой части будет многочлен от неизвестных, а в правой - нуль. Степень многочлена называется степенью уравнения. Простейшие

 алгебраические уравнения: линейное уравнение - уравнение 1-й степени с одним неизвестным ax+b=0, имеющее один действительный корень; квадратное уравнение -уравнение 2-й степени ax2+bx+c=0, которое в зависимости от значения коэффициентов может иметь либо два различных, либо два совпадающих действительных корня, либо не иметь действительных корней. Вообще, алгебраическое уравнение степени n не может иметь более n корней.

Трансцендентное уравнение — уравнение не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

cosx = x

logx = x − 5

2x = logx + x5 + 40

Более строгое определение члена таково:

Трансцендентное уравнение — это уравнение вида f(x) = g(x), где функции f и g являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

20)Отделение корней

 Итерационные методы решения системы нелинейных уравнений предполагают, что известно некоторое значение так называемого начального приближения, которое  в процессе итерирования уточняется до достижения требуемой точности.  Следовательно, прежде чем применять тот или иной итерационный метод, мы должны определить некоторую область пространства G, которой будет принадлежать искомое  решение системы.  Эта задача называется отделением корней.

Если мы имеем систему, содержащую более двух нелинейных уравнений, то задача отделения корней является очень сложной. Как правило, в этом случае начальное приближение выбирают, исходя из каких-то дополнительных сведений о задаче.

21)Уточнение корней. Метод проб

Пусть корень уравнения отделен на отрезке [a, b], функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. Для уточнения корня будем уменьшать промежуток таким образом: сначала выберем две соседние целочисленные точки, удовлетворяющие названным условиям, затем разобьем отрезок на 10 равных частей и вычислим значение функции f(x) в точках деления. Если значение функции в одной из точек окажется равным 0, то это значение и есть корень уравнения, иначе выбираем две соседние точки, в которых функция имеет значения разных знаков a1 и b1, очевидно . Числа a1 и b1 можно считать приближенными значениями корня с точностью до 0,1. Среднее арифметическое чисел a1 и b1 есть приближенное значение корня с погрешностью, не превышающей 0,05. Аналогично делим отрезок [a1, b1] на 10 равных частей и так далее. Процесс продолжаем до тех пор пока не получим значение корня с заданной точностью.


22)Метод хорд

Пусть f(a)f(b)<0. Сущность метода (его еще называют методом ложного положения) состоит в замене кривой y=f(x)  хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f(x)  имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца х0 выбирают тот конец отрезка, для которого знак f(x)  совпадает со знаком второй производной . Расчетная формула имеет вид  

Метод хорд является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя

23)Метод касательных

Если х0 - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле



 Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [a;b], а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения  удовлетворяющего условию  можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.

24)Комбинированный метод

Комбинированный метод хорд и касательных. Один из наиболее используемых комбинированных методов уточнения корней - метод, состоящий в одновременном применении метода хорд и метода касательных. Его удобно применять, если на отрезке [α,β], содержащем только один корень, вторая производная f"(x) сохраняет знак. Постоянство знака f"(x) означает: что кривая либо выпуклая (f"(x)<0), либо вогнутая (f"(x)>0).

Пусть на отрезке [α,β] функция f(x) монотонно возрастает, а кривая y=f(x) вогнута (см. рисунок выше). В этом случае приближение к корню осуществляется с двух сторон - касательная пересекает ось OX со стороны выпуклости, а хорда - со стороны вогнутости графика функции y=f(x).

Абсциссы точек пересечения вычисляются по формулам:

αk+1=αk-dαk      (2)

βk+1=βk-dβk      (3)

где dαk=(βk-αk)f(αk)/(f(αk)-f(αk)),dαk=f(αk)/fʹ(αk). Процесс вычисления заканчивается на m-м приближении, когда выполняется |αm-βm|<ε. Отметим, что формулу (3) нужно применять на том конце отрезка [α,β], где знаки функции f(x) и f"(x) совпадают.

25)Метод итераций

Уравнение f(x) = 0 преобразуем к виду  

Выбираем некоторое приближение  искомого корня, последующие приближения вычисляем по формуле



     При выполнении определенных условий последовательность

  сходится к  - корню уравнения f(x) = 0.

26)Общие св-ва алгебраических уравнений. Определение кол-ва действительных корней алгебраического уравнения.


27)Метод Горнера уточнения действительных корней

Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов, при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида x − c.

При делении многочлена

  на x − c получается многочлен 

 с остатком bn.

При этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям:

b0 = a0, bk = ak + cbk − 1.

Таким же образом можно определить кратность корня (использовать схему Горнера для нового полинома). Так же схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням x - c: 

28)Нахождение границ корней

  Для многочлена 

     1) верхняя граница модулей корней - число  где 

     2) верхняя граница положительных корней – число

  где  ^ B - наибольшее число из модулей отрицательных коэффициентов; k - номер первого из отрицательных коэффициентов;

     3) нижняя граница положительных корней - число  где  - верхняя граница положительных корней многочлена 

     4) верхняя граница отрицательных корней - число - где  - верхняя граница положительных корней многочлена 

     5) нижняя граница отрицательных корней - число - где  - верхняя граница положительных корней многочлена 

29)Метод Штурма

Изменить 2 переменные так, чтобы из одной части неравенства получилась другая и вдобавок к этому всегда изменяемая часть изменялась в одну, нужную нам, сторону (или увеличивалась либо уменьшалась). Обычно этого можно достичь, изменяя 2 числа с постоянно суммой или произведением


30)Функции и её способы задания

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами различных множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

31)Основные понятия теории приближения функции

Постановка задачи приближения функции по методу наименьших квадратовПусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение

 

минимально. Так как многочлен

 определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор коэффициентов , минимизирующий функцию

 .

Используя необходимое условие экстремума, k=0,1,-получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов: k=0,1,-m.

Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5.


32)Интерполирование с помощью множеств

В линейном множестве можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Система элементов x0, x1, ... , xn

линейного множества M называется линейно зависимой, если существуют c0, c1, ... , cn, не равные одновременно нулю, такие, что

x0c0 + x1c1 + ... + xncn = 0

В противном случае систему называют линейно независимой.

Линейным подпространством называется линейное подмножество H линейного множества, для которого из условия x, yΠH следует ax + by ÎH при любых a и b.

При постановке задачи интерполирования  рассматривали некоторое линейное множество R действительных функций, определенных на [a, b], и некоторую конечную или счетную совокупность достаточно простых функций этого множества {ji(x)}, линейно независимую на [a, b]. 

33)Погрешность интерполированных процессов

Погрешность интерполирования можно свести к погрешности того же порядка, которая принята в исходных данных, определяющих узлы интерполирования. Для этого необходимо процесс интерполирования вести с оценкой погрешности. Методы оценки погрешности для интерполирования с помощью степенных полиномов разработан достаточно хорошо. Процесс интерполирования весьма однообразен: при каждом вычислении все операции повторяются в строго установленном порядке - процесс имеет стройный алгоритм. Процесс интерполирования нужно вести под контролем, путем оценки возможной погрешности. 

34)Интерполирование мн-н Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.

В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:



где базисные полиномы определяются по формуле:



lj(x) обладают следующими свойствами:

  • являются многочленами степени n

  • lj(xj) = 1

  • lj(xi) = 0 при

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj.


35)Конечные разности

Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. 

.

Величина h называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах xi:

 .

Составим разности значений функции:

,

,

.............................................................

.

Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

Аналогично составляются разности порядка k:

.

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. 

.

36)Основная теорема алгебры

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение 
 (*) имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры . Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z  =  z 0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен ( z  =  z 0 ), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n -ной степени имеет ровно n , вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).


37)1-й и 2-й интерпол. мн-н Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования. Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона. Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

где  — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
^

1-ая интерполяционная формула Ньютона


где , а выражения вида Δkyi — конечные разности.
^

2-ая интерполяционная формула Ньютона


где


38)Постановка задачи численного интегрирования

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой.

Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов

, (2.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой:

, (2.2)

где Сk- числовые коэффициенты, а xk Î [a, b], k = 0, 1, …, n.

Приближенное равенство

 (2.3)

называется квадратурной формулой, а xk – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением

. (2.4)

В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов Ск , так и от расположения узлов хк. Введем на отрезке [a, b]равномерную сетку с шагом h, тогда xi = a + ih, где (i = 0, 1, ..., n
h·n = b-a). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

 (2.5)

Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [xi-1, xi] и воспользоваться формулой (2.5).

39)Простейшие квадратурные формулы

Квадратурные формулы - формулы, служащие для приближённого вычисления определённых интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Наиболее распространённые. Квадратурные формулы имеют вид: ,
где x1, x2..., xn — узлы квадратурной формулы, А1, А2, …Аn — её коэффициенты и Rn — остаточный член. Простейшие квадратурные формулы получим из следующих соображений. Вычисляется интеграл

b

I = ∫ f ( x)dx .

a

Если f( x) ≈ const на отрезке [a, b] , то можно предположить I ≈ (b − a) f (ζ ) , где ζ – произвольная точка на [a, b] . Если в качестве ζ взять среднюю точку отрезка, то получим формулу прямоугольников

I ≈ (b − a) f ((a+b)/2)

Предположим, что подынтегральная функция на отрезке интегрирования близка к линейной функции; тогда интеграл будет приближенно равняться площади трапеции с высотой (b − a) и основаниями f (a) и f (b). В результате получим формулу трапеций I ≈ (b − a )* ((f ( a ) + f (b ))/2)

Иногда Квадратурные формулы называют также формулами механических, исчисленных квадратур.


40)Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Эти формулы получены путем кусочно-многочленной интерполяции по равноотстоящим узлам. При интерполировании полиномом нулевого порядка, совпадающим с функцией в одной точке получим формулы прямоугольников



где 

xi=a+I*h формула левых прямоугольников;

xi=a+(i+1)h формула правых прямоугольников;

xi=a+(i+0.5)h формула средних прямоугольников;

При интерполировании по двум узлам a и b полиномом первого порядка получим формулу трапеций



при произвольном числе узлов интерполирования n получим



xi=a+ih, i=0,1,2,...n, fi=f(xi).

41)Формулы «3\8» и Симпсона

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:



где f(a), f((a + b) / 2) и f(b) — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Для более точного вычисления интеграла, интервал [a,b] разбивают на N отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.



где  величина шага, а  границы отрезков.

Общая погрешность E(f) при интегрировании по отрезку [a,b] с шагом xi − xi − 1 = h; в частности x0 = axN = b; определяется по формуле[2]:

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

Еще одна используемая на практике квадратурная формула интерполяционного типа — так называемое «правило 3/8». Она получается при замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом третьей степени, построенным по четырем точкам. Расчетные формулы для правила 3/8 приведем без вывода:




Скачать файл (418 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации