Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Математические модели сигналов - файл n1.docx


Математические модели сигналов
скачать (975.5 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.docx976kb.06.01.2013 14:36скачать


n1.docx

1   2   3   4

26: Функция правдоподобия. Критерий минимального среднего риска. Функция потерь.

Критерий среднего риска.

При рассмотрении систем передачи информации иногда важное значение принимает случай какое решение принимает решающая схема демодулятора в зависимости от передаваемого символа ,т.е. какой вид имеет ошибка.

Пример: система передавала 1, а демодулятор принял решения, что передавался 0 и соответственно наоборот. Вес такой ошибки оказывается различным при принятии решения на выходе приемного устройства. Пример: если в самолете произошел пожар или другая ситуация, то в этом случае выдача 0 на выходе демодулятора означает, что в самолете все хорошо, но при этом самолет терпит крушение. Пропуск такого сигнала приносит плохие последствия при принятии решения, следовательно вес такого пропуска сигнала оказывается очень большим.

Если система при передачи 0 вызвала ложную тревогу приняв 1, то это не очень опасно и вес такой ошибки будет не очень значительным.

Для решения задачи влияние различных видов ошибок при принятии демодулятора решений для каждой пары символов вводится некоторая численная мера, которую принято называть потеря. В случае правильного приема решения, когда , величина потерь . Т.к. при передачи символа символы появляются с определенными вероятностями, как реализ. некоторой случайной величины, то можно говорить об условном математическом ожидании потери при передачи символа .Это условное мат. ожидание принято называть- условным риском-:



Интегральное выражение соответствует вероятности того что принятый элемент реализации Z(t) в интервале времени (0, T) окажется в области .

Если провести усреднения по всем передаваемым символам , то в этом случае мы получим значение min среднего риска:



Вывод: Критерий min среднего риска заключается в том, что оптимально считается реализуемая схема, обеспечивающая наименьшее значение среднего риска . Приемник работающий по такому критерию- байесовский.

Если кодовые символы предаются равновероятно, то правило max правдоподобия реализует критерий идеального наблюдателя. Критерий идеального наблюдателя является частным случаем критерия min среднего риска.

Функция правдоподобия.






27. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных дискретных сигналах.

Для решения задачи об оптимальном алгоритме приёма дискретных сообщений при полностью известных переданных сигналах сделаем допущения:

1.Все искажения в канале детерминированы (т.е. известны) и случайным являются только Гаусовский аддитивный шум n(t), имеющее равномерное распределение спектральной плотности со значением равным N0.

2. Приходящий сигнал на вход демодулятора z(t) представляет собой аддитивную смесь:

Z(t)=Si(t)+n(t), при 0?t?T

Где все Si(t)=kui(t-?) , i= – известны
При таких допущениях остаются неизвестными реализации помехи в канале n(t) и индекса i действительно переданного сигнала. Этот индекс и определяет решающая схема демодулятора.

3. Все передаваемые сигналы Si(t) являются финитными, длительность каждого равна T.

4.Система передачи дискретных сообщений обеспечивает надёжную тактовую синхронизацию, т.е. границы тактового интервала, на которые приходит сигнал Si(t) известен точно.

5.Момент сигнала Si(t) примем за 0.

Наша задача: при этих условиях определить алгоритмы работы оптимального демодулятора, основанного на правиле максимального правдоподобия, исследовать принятый сигнал на тактовом интервале [0,T].

Для решения поставленной задачи необходимо найти отношение функции правдоподобия для всех кодовых сигналов относительно нулевой гипотезы, когда сигнал S(t)=0, а принятый сигнал оказывается равен сигналу помехи ? (t)=n(t)

Т.к принятый сигнал имеет конечную длительность, то его спектр оказывается бесконечным, то не удаётся получить распределение функции плотности вероятности. Однако если заменить белый шум на квазибелый с той же односторонней спектральной плотностью N0, но заданной в некоторой полосе частот F, определяемой числом отсчетов n, то в этом случае в соответствии с теоремой Котельникова непрерывный сигнал Z(t) можно заменить дискретными мгновенными отсчётами конечной величины:
F= (n>>1) n- число отсчётов

Интервал дискретизации будет связан с числом отсчётов следующим соответствием: ∆t= =

В этом случае дискретные отсчёты входного сигнала демодулятора оказываются независимыми и тогда плотность вероятностей для полученных дискретных отсчётов принимает следующий вид:

?( Z1,..,Zn; t1,..,tn) = * exp

=N0F – дисперсия квазибелого шума; n- численность отсчётов ; tk- дискретные моменты отсчётов.

Если принять гипотенузу, что передавался символом bi , то: n(t) = z(t) – Si(t)

Условная n-мерная плотность вероятностей сечения принятого сигнала z(t) будет определяться той же самой формулой, но при этом мгновенные дискретные отсчёты сигнала z(tk) необходимо заменить разностью: z(tk) = z(tk) - Si(tk) , которое представляет при данной гипотенузе шум.

При принятой гипотенузе n-мерная функция плотности вероятности имеет вид:

?( Z1,..,Zn; t1,.., ) = * exp

Относительные функции правдоподобия для сигнала Si(t) при выбранных n сечениях имеет вид:

= = exp

Т.к. =N0F = , то получаем:

= exp вопрос 28
29. Графическая модель правила максимума функции правдоподобия при приеме двоичных сигналов.

Геометрическая интерпретация оптимального решения при передаче двоичных сигналов S1(t) и S0(t).

Каждый сигнал отображается 2 точками S1 и S0, под действием помехи точки смещаются и образуют точку, соответствующую сигналу, поступающему на вход демодулятора (точка Z). Правило решения в геометрической интерпретации представляет собой прямую линию, проходящую через середину отрезка S1S0 под углом 90о – линия OO. В рассмотренном случае демодулятор принимает решение, что передавался символ b0.

В геометрической интерпретации оптимальный демодулятор должен регистрировать тот из сигналов Si(t), который ближе располагается к принятому сигналу z(t).

28. Структурная схема оптимального приемника, реализующего правило максимума функции правдоподобия.

Отношение функций правдоподобия для сигнала Si(t) при выбранных n сечениях



По правилу максимума правдоподобия в случае квазибелого шума решающая схема должна выбрать то значение , обеспечивающее максимум . Но вместо максимума можно отыскивать максимум его логарифма

, мак-ум достигается, если будет мин-ой (отрицающая составляющая) для символа .

Правило решения о том, что передавался символ , можно выразить через систему неравенств



Для случая белого шума необходимо ?t ?0, в этом случае правило решения принимает вид (алгоритм оптимального приема; правило реш-я, основанного на максимуме отношения ф-ции правдоподобия ):



Для случая m=2 структурная схема демодулятора принимает следующий вид (мы также получаем одно неравенство):

(построено на основе полученного алгоритма реш-я задачи) реш-ие принимается по той ветви, сигнал на вых-де которой оказался минимальным;

недостаток – возведена в квадрат (нелинейный элемент).

В гильбертовом пространстве метрику (расстояние между двумя сигналами) определяет . Поэтому алгоритм принятия решений можно представить в следующем виде



В геометрической интерпретации оптимальный демодулятор должен регистрировать тот из сигналов , который окажется ближе расположенным к принятому колебанию . Геометрическая интерпретация оптимального решения при передаче двоичных сигналов S1(t) и S0(t):

под действием этой помехи точки этих сигналов (S1,S0) смещаются и образуют точку, соотв-ю сигналу, поступ-му на вх-д демод-ра (Z). -расстояние между точками. Две области В1’ и В0’- передачи символов b1 и b0.

Правило реш-я в геом-й интерпретации представляет собой прямую линию, прох-ю через середину отрезка (S1,S0) под углом в 900, равной OO (правило реш-я). В рассм-м случае демод-р принимает реш-е, что предавался символ b0.

30. Алгоритм оптимального приема с использованием активных фильтров.

Для упрощения схемы демодулятора целесообразно упростить алгоритм принятия решений. Для правления алгоритмом представим подынтегральное выражение в виде 3х составляющих



оказывается одинаковым в общих частях нер-ва и его можно исключить

2)(энергия сигнала i) в этом случае алгоритм оптимального приема принимает вид:

при i?j

В полученном неравенстве решение принимается по той ветви демодулятора, сигнал на выходе кот. в момент времени t=T оказывается максимальным

При m=2 алгоритм оптимального приема имеет вид

Если это нер-во выполняется, то демодулятор выдает решение, что принимался символ 1

Устройство, непрерывно вычисляющее скалярное произведение , принято называть активным фильтром или коррелятором, а демодуляторы, реализующие такой алгоритм, принято называть корреляционными приемниками

В соответствии с представл.алгоритмом структурная модель корреляц.приемника имеет вид




t=T на выходе демодулятора форм.кодовый символ bj(со штрихом)

при m=2 правило приема можно представить в несколько иной форме:

, Епор =

Для систем с активной паузой Епор=0 и оптимальный алгоритм работы решающей схемы имеет вид



Для систем с пассивной паузой , , , ,



Алгоритм оптимального приема:

31.Алгоритм оптимального приема в демодуляторах, работающих с различными сигналами и при различных видах модуляции.

При передаче сообщения с использованием радиоканала применяются системы с амплитудной, частотной и фазовой модуляцией. Алгоритм оптимального приема:

  1. Амплитудная модуляция







  1. Двоичная фазовая модуляция







32.Потенциальная помехоустойчивость дискретных систем при точно известных сигналах. Вероятность ошибки при приеме сигналов на фоне помех.

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость дискретной системы при следующих исходных данных:

- по каналу передаются двоичные символы (m=2). В этом случае на приемном конце

системы точно известны ожидаемые сигналы (t) и (t);

- в системе действует аддитивный белый шум. Такой шум характеризуется нормальным распределением фуекции плотности вероятностей и равномерной спектральной плотностью;

- априорные вероятности передаваемых сигналов равны р(1)=р(0)=0,5;

- принятый сигнал Z(t), действующий на входе, носит случайный непрерывный характер.

Алгоритм оптимального приема:

, -энергии сигнала

, i=0,1

Если данное неравенство выполняется, то система(демодулятор) принимает решение, что передавалась 1, иначе-что передавался 0.

Если действительно передавался сигнал (t), то принятый cигнал Z(t) представляет собой аддитивную смесь стгнала и помехи: Z(t)= (t)+n(t).

Вероятность ошибки р(0/1) ( - вероятность пропуска сигнала) определяется вероятностью того, то неравенство будет не выполнено





Аналогичное соотношение получим, если будет передаваться “0”т.е. будет иметь место вероятность ложной тревоги. В обоих случаях при передачи “0” , либо при передачи “1”, вероятности ошибки оказываются равными p(1|0)=p(0|1)=p

Сформированный модемом двоичный канал оказывается симметричным

- случайная величина.

; ?<-0,5

Случайная величина ? в силу того, что в канале-белый шум так же изменяется по случайному закону с тем же законом распределеняи как и помеха

=0 – среднее значение, или момент первого порядка

D(?)==d

Для функции корреляции белого шума



Учитывая фильтр. Свойства

D(?)=d=

Дисперсия случайной величины ? определяется 2 параметрами :1) эквивалентной энергией передаваемых сигналов ;2) свойствами канала, которые отображены в спектральной плотности шума
Вероятность ошибки для дискретного двоичного канала с аддитивным белым шумом, будет равна:





Крампа

Учитывая что эта функция при Ф(?)=1, то вероятность ошибки для дискретного канала с шумами, при известных передаваемых сигналах “0” или “1”, оказывается связанной через функцию Крампа, с параметрами сигналов(эквивалентной энергией) и шума(спектральной плотностью):

- определяет потенциальную помехоустойчивость для различных видов сигналов, передаваемых по дискретному каналу.

: Потенциальная помехоустойчивость двоичной системы при заданной помехе в канале, полностью определяется эквивалентной энергией сигнала (независимо от их формы) :

Выводы:

Помехоустойчивость тем выше, чем больше эквивалентная энергия сигналов, независимо от формы используемых сигналов.

Эквивалентная энергия двух сигналов равна квадрату расстояния между сигнальными точками в гильбертовом пространстве.

p=0.5[1-Ф()]=0.5[1-Ф)] , h=

В случае ЧМ( частотной модуляции)

; 0.5[1-Ф)]

В случае АМ(амплитудной модуляции)

; p=0.5[1-Ф()]

(1-

Так как сложно реализовать систему с фазовой модуляцией на практике, то получило распространение система с относительной ФМ. Переход к ОФМ увеличивает вероятность ошибки в 2 раза, соответственно снижает ее помехоустойчивость.


33) Потенциальная помехоустойчивость дискретных систем при точно известных сигналах.

Сравнительный анализ различных видов сигналов и способов модуляции

Рассмотрим потенциальную помехоустойчивость дискретной системы передачи информации при следующих исходных данных:

- по каналу передаются двоичные символы (m=2).В этом случае каждому передаваемому символу будет соответствовать свои сигнал => на приемном конце системы будет точно известны 2 ожидаемых сигнала

- в системе действует аддитивный белый шум. Такой шум характеризует нормальным распределением, функции плотности вероятностей и равновесный спектр плотности.

- априорные вероятности передаваемых сигналов равны p(1)=p(0)=0,5

- принятый сигнал z(t) действующий на входе демодулятора носит случайный характер

Алгоритм оптимального приема:



Если выполняется ,то система (демодулятор) принимает решение, что передавалась «1». Если неравенство не выполняется, то демодулятор принимает решение, что передавался «0».

Если принять, что действительно передавался сигнал , то принимающий сигнал z(t) представляется собой аддитивную смесь этого сигнала и помехи:

Вероятность ошибки p(0/1) (вероятность пропуска сигнала ) определяется вероятностью того, что алгоритм приема не выполняется.





Аналогично получим, если будет передаваться «0» , т.е. будет иметь место вероятность ложной тревоги.

В обоих случаях ,т.е. при передачи либо «0»,либо «1» вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска сигнала оказывается равными : p(0/1)=p(1/0)=p (вероятность ошибки)

В это случае сформулированный модемом двоичный канал оказывается симметричным





Случайная величина в силу того, что в канале действует белый шум также изменяется по случайному закону с тем же самым законом распределения как и помеха. Это означает, что её среднее значение (момент 1-го порядка) будет = 0.



момент 2-го порядка

Учитывая фильтрующие свойства функции



Дисперсия случайной величины определяется 2 параметрами:

1)эквивалентной энергией передаваемых сигналов

2)свойствами канала, которые отражены в спектре плотности шума

Выводы.

Помехоустойчивость тем выше, чем больше эквивалентная энергия сигналов, независимо от формы используемых сигналов.

Эквивалентная энергия двух сигналов равна квадрату расстояния между сигнальными точками в гильбертовом пространстве.

В двумерном пространстве точки сигналов для двоичной системы и трех видов модуляции имеют следующий вид:


АМ

ЧМ

ФМ

Вывод: В случае ФМ эквивалентная энергия в 2 раза превышает эквивалентную энергию при ЧМ и в 4 раза эквивалентную энергию с АМ => из всех 3-х видов модуляций с наибольшей помехоустойчивостью будет обладать система, в которой используется сигналы с ФМ.





















В случае рассмотрения ЧМ ,АМ где учитываются средняя мощность сигналов и помехи у этих 2-х видов модуляции потенциальная помехоустойчивость оказывается равной. Однако, в реальных системах при АМ не удается достигнуть значение потенциальной помехоустойчивости из-за неустойчивости удержания порогового уравнения.

Соотношение для эквивалентной энергии

позволяет осуществлять оптимальный выбор сигналов ) и , обеспечивающих максимально возможную помехоустойчивость при заданной энергии сигналов Е.





Для достижения максимальной эквивалентной энергии и соответственно максимально возможной помехоустойчивости , необходимо увеличить энергию сигналов и уменьшить значение для интегрального выражения т.к квадрат суммы всегда положительная величина => её минимальное значение может быть равно только 0. Это возможно в том случае, если сигналы окажутся сдвинуты по фазе на 180





34. Алгоритм оптимального приема на основе согласованных фильтров. Структурная схема приемного устройства.

При алгоритм оптимального приема основывается на решении нер-ва:



Скалярное произведение можно вычислить как активными, так и пассивными лин-ми фильтрами. Отклик на воздействие входного сигнала в лин. фильтре связан с его импульсивной реакцией:



Если импульсная реакция фильтра будет соответствовать одному из сигналов, переданных по каналу , тогда имп.реакция :



то мы можем решить задачу передаваемого сигнала с импол-ем лин. фильтра.

В общем случае, лин. фильтр, согласованный с сигналом наз-ся лин-й фильтр с постоянными параметрами и импульсной реакцией:



Временная хар-ка импульсной реакции представляет собой зеркальное отображение временной хар-ки передаваемого сигнала только на положительной оси










Предаточная функция согласованного фильтра позволяет определить его вторую характеристику, но уже в спектральной области. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье:



СФ 111111

СФ 2

РУ





/2



Ключ

Коэффициент передачи лин-го согласованного фильтра с точностью до постоянной соотв-ет комплексно-сопряженной спектр. плотности дискр-го перед-го сигнала. Временной сдвиг перед. сигнала смещает все фазы спектра сигнала на величину .
1   2   3   4



Скачать файл (975.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации