Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ - файл lk 13.doc


Загрузка...
Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ
скачать (953.7 kb.)

Доступные файлы (14):

lk 01.doc331kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 02.doc497kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 04.doc95kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 05.doc346kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 06.doc157kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 07.doc267kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 08.doc251kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 09.doc420kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 10.docскачать
lk 11.doc101kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 12.doc491kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 13.doc428kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 14.doc316kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 15.doc190kb.21.11.2009 07:54скачать

lk 13.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




Xiii. ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (ЛРП, ДЛИННЫЕ ЛИНИИ)
13.1. Введение

Длинными называются такие линии, у которых при переходе от одной точки к другой напряжение и ток непрерывно изменяются. Другими словами, мгновенные значения напряжения и тока зависят не только от времени t, но и от координаты x.

К линиям с распределёнными параметрами (ЛРП) относятся ЛЭП при напряжениях св. 35 кВ и длине более 50 км, линии связи, антенно-фидерные устройства по канализации энергии высокой частоты. При высоких частотах даже обычная катушка описывается теорией цепей с распределёнными параметрами.
13.2. Схема замещения ЛРП и её основные уравнения

В ЛРП имеют место следующие процессы, которые в схеме замещения учитываются следующими параметрами (рис. 13.1):

- при протекании тока происходит нагрев проводов, при этом электрическая энергия превращается в тепловую – это учитывается параметром R0 - активное сопротивление проводов, приходящееся на единицу длины, Ом/км;

- при протекании тока вокруг проводов возникает магнитное поле, что учитывается параметром L0 - индуктивность единичного участка линии, Гн/км;

- между проводами есть напряжение U и, следовательно, существует электрическое поле, которое порождает токи смещения между проводами, это явление учитывается параметром C0 - ёмкость единичного участка линии, Ф/км;

- между проводами расположен не идеальный диэлектрик, в котором протекает ток проводимости, что учитывается введением g0 - проводимость единичного участка линии, См/км.

Если вышеперечисленные параметры линии распределены равномерно, линия называется однородной.

На рис. 13.1 x - расстояние от начала линии до рассматриваемого участка dx. Так как U и I являются функцией двух переменных - x и t , то необходимо рассматривать частные производные от этих функций.

Для рассматриваемого участка согласно второму закону Кирхгофа

u = iR0 dx + L0 dx + u + dx или - = i R0 + L0 . (1)

По первому закону Кирхгофа i = i + dx + g0 dx (u + dx) + C0 dx .

Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим - = u g0 + C0 . (2)

В практических целях системой уравнений (1) и (2) не пользуются.

13.3. Решение уравнений однородной ЛРП при синусоидальном напряжении в установившемся режиме

При синусоидальном напряжении можно произвести замену синусоидальных функций комплексами:

u(t) = Um sin(t + u) Um ejt = U ejt,

i(t) = Im sin(t + i) Im ejt = I ejt.

Представление U и I в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией координаты x (U и I ), а другая – функцией времени t (ejt), позволяет перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в обычных производных.

ejt ejt

(3) (4)

L0 L0 Im jejt C0 C0 Um jejt

После подстановки (3) в (1) и (4) в (2) и сокращения на и ejt получим

- = I Z0 (5), где Z0 = R0 + jL0 (7)

- = U Y0 (6), где Y0 = g0 + jC0 (8).

(5) и (6) – уравнения в обычных производных.

Продифференцируем (5) по x: - = Z0 (9)

С учётом (6) уравнение (9) принимает вид: = U Z0 Y0 . (10)

Решим уравнение (10) относительно напряжения. Характеристическое уравнение

p2 = Z0 Y0 , откуда p = .


Обозначим = = +j.

- коэффициент распространения волны, 1/км;

 - коэффициент затухания – характеризует изменение фазы волны на единице длины линии, 1/км или Нп/км;

 - коэффициент фазы – характеризует изменение фазы волны на единице длины линии, 1/км или рад/км.

Тогда p1 = , p2 = - .


Решение уравнения (10) U = A1 ex + A2 e-x (11), где A1 и A2 – постоянные интегрирования.

Из (5) определяем ток I = - = - ( A1 ex - A2 e-x) = .

Обозначим Zc характеристическое или волновое сопротивление линии.

Тогда I = . (12)

Параметры R0, L0, g0, C0 называются первичными; от частоты они не зависят, а , , , Zc называются вторичными; зависят от частоты.
13.4. Комплексы напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

При x=0 U = U1 , I = I1 , то есть U1 = A1 + A2 ,

I1 Zc = A2 - A1.

Отсюда A1= , A2= .


Таким образом, U = ex + e-x =

= U1 - I1 Zc = U1 ch (x) - I1 Zc sh (x).

Окончательно система (11) – (12) принимает вид


U(x) = U1 ch (x) - I1 Zc sh (x), (13)

I(x) = I1 ch (x) - sh (x). (14)

13.5. Комплексы напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим через y=l – x координату, отсчитываемую от конца линии до рассматриваемого сечения. При x = l U = U2 , I = I2 , то есть U2 = A1 el + A2 e-l,

I2 Zc = A2 e-l - A1 el.

Отсюда A1 = e-l, A2 = el.


Таким образом, U = e-l ex + el e-x =

= U2 + I2 Zc = U2 ch (y) + I2 Zc sh (y).

Окончательно система (11) – (12) принимает вид


U(у) = U2 ch (y) + I2 Zc sh (y). (15)

I(у) = I2 ch (y) + sh (y). (16)
13.6. Падающие и отражённые волны

В системе (11) – (12) комплексные коэффициенты запишем в виде:

A1 = A1 ej1, A2 = A2 ej2, x = x +jx, Zc = Zc ejс.

Рассматриваемая система уравнений примет вид


U = A1 ej1ex ejx + A2 ej2e-x e-jx = A1 ex ej(1+x) + A2 e-x ej(2-x),

I =e-x e-jx - ex ejx = e-x ej(2-x-с) - ex ej(1+x-с).

Перейдём к мгновенным значениям напряжения и тока

u = A1 ex sin (t +1+x) + A2 e-x sin (t +2-x), (17)

i = e-x sin (t +2 - x - c) - ex sin (t +1+x - c). (18)

С физической точки зрения

A1 ex sin (t + 1+ x) = uотр - отражённая волна напряжения,

A2 e-x sin (t + 2- x) = uпад - падающая волна напряжения,

e-x sin (t + 2- x -c) = iпад - падающая волна тока,

ex sin (t + 1+ x -c) = iотр- отражённая волна тока.

Таким образом, u = uпад + uотр ,

i = iпад - iотр .

Электромагнитные процессы в ЛРП – это наложение падающих и отражённых волн. Падающая волна распространяется от начала к концу линии, а отражённая – в обратном направлении. Графики напряжения падающей и отражённой волн для двух моментов времени t1 и t2 (t2> t1) представлены на рис. 13.2а и 13.2б.

П
адающая и отражённая волны напряжения и тока связаны законом Ома:

Iпад = Uпад /Zc ; Iотр = Uотр /Zc .

Кроме того, n = Uотр / Uпад = Iотр / Iпад - коэффициент отражения от конца линии.
13.7. Фазовая скорость и длина волны

Фазовая – такая скорость, с которой необходимо двигаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебаний.

Для падающей волны согласно определению t - x + 2 = const.


Продифференцируем: -+ 0 = 0, откуда v = =.

Для отражённой волны v = -.


Если для ЛРП можно принять R0 =0 и g0 =0, то v = ,

где a и a - абсолютные значения магнитной и диэлектрической проницаемостей;

r и r - относительные значения магнитной и диэлектрической проницаемостей.

Для воздушной линии r =1 и r =1, v  c = 300000 км/с.

Для кабельной линии v  c/2 = 150000 км/с.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время, равное одному периоду. Это наименьшее расстояние вдоль направления распространения волны между точками с одинаковыми фазами: = v T = T = T = .
13.8. Входное сопротивление линии. Определение вторичных и первичных параметров ЛРП.

Из системы уравнений (15) – (16) входное сопротивление линии


Zвх(у) == (U2 ch (у) + I2 Zc sh (у))/(I2 ch (у) + sh (у)) = Zc .

Здесь Z2 = - сопротивление нагрузки.

При у = l Zвх = Zc .

При ХХ линии Z2 =  и I2 = 0; Zвхх = .

При КЗ линии Z2 = 0 и U2 = 0; Zвхк = Zc th l.

Очевидно, что Zc = = ,

th l = = .

Отсюда можно найти l или :

th l = . e2l == Mej.

Отсюда e2l = M,  = ln M; ej2l = ej, 2l = +2n,  = .

Для определения n находят ориентировочное значение ор=.


= +j.

По вторичным параметрам можно рассчитать первичные:

= и Zc = , но тогда

Zc = = Z0 = R0 + jL0,

откуда R0 = Re( Zc); L0 = Im( Zc), L0 = .

Так как /Zc = Y0 = g0 + jC0, то g0 = Re(/Zc); C0 = Im(/Zc), C0 = .
13.9. Линия, согласованная с нагрузкой

Это такая линия, в которой не возникают отражённые волны. Это условие выполняется, если Z2 = Zc.

В самом деле, A1 = e-l =0 - нет отражённой волны.

Установим связь между напряжениями на входе и выходе, а также связь между токами.

U1 = U2 ch (l) + I2 Zc sh (l) = U2 (ch (l) + sh (l)) = U2 el = U2 el ejl,

I1 = I2 ch (l) + sh (l) = I2 (ch (l) + sh (l)) = I2 el = I2 el ejl.

Таким образом, U1 = U2 el, для модулей U1 = U2 el,

I1 = I2 el, I1 = I2 el.

В любой точке линии U = U2 ey= U1 e-x,

I = I2 ey = I1 e-x.

Входное сопротивление

Zвх = = Z2 = Zc - это значит, что если отрезать кусок линии и к оставшейся части подключить сопротивление, равное Zc, то режим работы ни линии, ни генератора не изменится.

P1 = U1 I1 cos 1 = U1 I1 cos c,

P2 = U2 I2 cos 2 = U2 I2 cos c, так как 1 = 2 = c.

КПД линии  == = e-2l.


l - затухание, измеряемое в Неперах (Нп) – l = ln.

На практике используется более мелкая единица затухания – децибелл:

10 lg = l (дБ); 1 дБ = 0,115 Нп.

Мощность, передаваемая по линии, согласованной с нагрузкой, называется естественной или натуральной.
13.10. Линия без искажений (ЛБИ)

Применяется в технике связи, радиотехнике. Это такая линия, в которой сигналы различных частот распространяются с одинаковой скоростью и затухают в равной степени, то есть имеют один и тот же коэффициент затухания . Чтобы линия была неискажающей, должно выполняться соотношение R0 /L0 = g0 /C0. Докажем, что при этом v и  не зависят от частоты.

= = = =

= (+j) = R0 + j= +j.

Откуда  = ,  = , v = = .

Характеристическое сопротивление у ЛБИ

Zc = = = = - чисто активное сопротивление. В практике линии связи чаще всего характеризуются неравенством

R0/L0>g0/C0. Для получения неискажающей линии увеличивают параметр L0 путём последовательного соединения сосредоточенных индуктивностей с проводами линии через определённые интервалы.
13.11. Линия без потерь (ЛБП)

Это такая линия, у которой R0=0 и g0=0. Таким линий в природе нет, но при высоких частотах L0 >> R0 и C0 >> g0 и параметрами R0 и g0 можно пренебречь. Рассмотрим выражения для v, , , Zc .

= = = j,

то есть  = 0,  = j, v == ,

Zc = = =- чисто активное сопротивление.

Из рассмотренных формул следует, что v и  не зависят от частоты, то есть ЛБП является частным случаем ЛБИ.

13.11.1. Основные уравнения ЛБП

У ЛБП = j , поэтому

sh y = sh j = = = jsin y ,

ch y = ch j = = = cos y.

Тогда система уравнений (15) – (16) примет вид U = U2 cos (y) + jI2 Zc sin (y).

I = j sin (y) + I2 cos (y).

13.11.2. Входное сопротивление ЛБП

Zвх ==(U2 cos(y) + jI2 Zc sin (y))/( j sin (y) + I2 cos (y)) = Zc .

При ХХ линии Z2 =  и I2 = 0; Zвхх = = -j.

График зависимости Zвхх(y) на рис. 13.3. Учтено, что  =.

При КЗ линии Z2 = 0 и U2 = 0; Zвхк = Zc j tg (y).

График зависимости Zвхк(y) на рис. 13.4.
Таким образом, любое реактивное сопротивление может быть смоделировано соответствующим куском линии без потерь в режиме ХХ или КЗ. Целесообразно моделировать индуктивное сопротивление линией в режиме КЗ, а ёмкостное – в режиме ХХ (длина куска будет меньше).
13.12. Стоячие электромагнитные волны в ЛБП

13.12.1. Общие сведения

Стоячие волны возникают в том случае, если приёмником энергии активная мощность не потребляется. Это происходит при ХХ, при КЗ или при чисто реактивной нагрузке.

Стоячая волна образуется в результате наложения падающей и отражённой волн одинаковой интенсивности. Математически стоячая волна описывается функцией в виде произведения двух тригонометрических функций (sin или cos), одна из которых является функцией времени, а другая – функцией координат.

В дальнейшем под стоячей волной будем понимать совокупность стоячей волны напряжения и стоячей волны тока. Стоячие волны напряжения и тока сдвинуты во времени на четверть периода и в пространстве – на ј длины волны.

Стоячая электромагнитная волна не переносит энергию от источника к приёмнику, хотя на каждом участке имеется энергия, запасённая в электрическом и магнитном полях линии. С течением времени наблюдается периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой. Пучности стоячей волны напряжения имеют место в тех точках линии, в которых амплитуда мгновенных значений напряжения наибольшая, а узлы – в тех точках, где мгновенное значение напряжения равно 0 в любой момент времени. Аналогично для стоячей волны тока.

13.12.2. Стоячие волны при ХХ линии

I2 = 0 и тогда уравнения ЛБП U = U2 cos (y) ,

I = j sin (y) .

Пусть u2 = 0 , тогда уравнения для мгновенных значений u = U2 cos(y)sin(t) ,

i = sin(y) sin(t+90o).

Поскольку в выражениях содержится произведение двух тригонометрических функций, то это – выражения стоячих волн. Выясним, где будут пучности и узлы напряжения и тока.

Если y =0, y =0, cos y = 1 - пучность напряжения и узел тока.

Если y = , y = , cos y = -1 - пучность напряжения и узел тока.

Таким образом, для точки с координатой y = k наблюдаются пучности напряжения и узлы тока (k = 0, 1, 2, 3, …). А в точках с координатой y = (2k+1) будут наблюдаться пучности тока и узлы напряжения.

Графики стоячих волн напряжения и тока для моментов времени t1 , t2 , t3 , t4 (t1=0, t2=, t3 =3 , t4 =) приведены на рис. 13.5а и 13.5б. Штриховыми линиями на рис. 10.5 показаны стоячие волны для других моментов времени.

На рис. 13.6 показан график зависимости действующих значений напряжения в функции координаты y.
13.12.3. Стоячие волны при КЗ линии

U2 = 0 и тогда уравнения ЛБП U = jI2 Zc sin (y).

I = I2 cos (y).

Пусть u2 =0 , тогда уравнения для мгновенных значений u = I2 Zc sin(y)sin(t+90o) ,

i = I2 cos(y) sin(t).

Из сопоставления выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что уравнение для напряжения в режиме КЗ аналогично уравнению для тока в режиме ХХ, а уравнение для тока в режиме КЗ аналогично выражению для напряжения в режиме ХХ.

Таким образом, картина стоячих электромагнитных волн в режиме КЗ качественно такая же, как и в режиме ХХ, но графики напряжения и тока меняются местами.
13.12.4. Стоячие волны при чисто реактивной нагрузке линии Z2 = jX

Любой величины реактивное сопротивление можно заменить соответствующим куском линии, разомкнутой или замкнутой на конце. Таким образом, картина стоячей волны при реактивной нагрузке такая же, как и в ранее рассмотренных случаях, только начало координат смещается на длину соответствующего куска линии. Примерная картина показана на рис. 13.7.

13.12.5. Смешанные волны при резистивной нагрузке

При согласованной нагрузке на линии имеются только бегущие волны, и действующее значение напряжения и тока вдоль линии неизменно (рис. 13.8а). При несогласованной активной нагрузке на линии возникает смешанная волна – комбинация бегущей и стоячей волн. При Zн < ZC напряжение на конце линии минимально (рис. 13.8б), а при Zн > ZC напряжение на конце линии максимально (рис. 13.8в).


Скачать файл (953.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации