Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ - файл lk 02.doc


Загрузка...
Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ
скачать (953.7 kb.)

Доступные файлы (14):

lk 01.doc331kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 02.doc497kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 04.doc95kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 05.doc346kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 06.doc157kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 07.doc267kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 08.doc251kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 09.doc420kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 10.docскачать
lk 11.doc101kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 12.doc491kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 13.doc428kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 14.doc316kb.21.11.2009 07:54скачать
lk 15.doc190kb.21.11.2009 07:54скачать

lk 02.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...




II. ИМПЕДАНСНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Как было указано выше, если в цепи отсутствуют реактивные элементы (это наблюдается в цепях постоянного тока, так как индуктивность постоянному току сопротивления не оказывает, а ёмкость представляет собой разрыв), динамические уравнения из дифференциальных превращаются в алгебраические. Задачу расчёта цепей с резисторами решают импедансные методы расчёта. Существуют способы сведения цепей синусоидального тока и цепей в переходных режимах к цепям импедансного типа. Они будут рассмотрены ниже. Сейчас же изучим импедансные методы на примере цепей постоянного тока.

При расчёте сложных электрических цепей обычно задана схема цепи, параметры источников и приёмников энергии. Требуется рассчитать токи во всех ветвях, напряжения и мощности элементов цепи. Расчёт следует начинать с анализа схемы цепи и выбора рационального метода расчёта. Рациональным считается метод с наименьшим количеством уравнений.
2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа (МЗК)

Уравнения составляются так же, как и динамические уравнения этим же методом (см. 1.7.1), однако в уравнениях отсутствуют производные и интегралы – уравнения являются алгебраическими.

Правильность решения проверяют: составлением баланса мощностей (БМ) цепи, построением потенциальных диаграмм или расчётом токов иным методом.
2.2. Баланс мощностей

Вытекает из закона сохранения энергии. Так как электрическая цепь не может длительно накапливать энергию, то Рпотр = Рист. Баланс составляется для исходной, непреобразованной схемы.

Мощности потребителей - Рпотр = (Rq Iq2) . Эти мощности всегда положительны, что означает: приёмники только потребляют мощность (энергию).

Мощность источника ЭДС (рис. 2.1а) – РЕ = ±Е IE , где «+» – если направления Е и IE совпадают. Мощность источника тока (рис. 2.1б) – PJ = UJJ , где UJ направлено так, как показано на рис. 2.1б. Напряжение UJ обычно находится по второму закону Кирхгофа. Знак “-“ у мощности источника означает, что источник не выдаёт, а потребляет энергию.

2.3. Потенциальная диаграмма (ПД)

ПД строится для одного замкнутого контура и представляет собой зависимость потенциалов точек контура от сопротивления, разделяющего рассматриваемую точку и точку, потенциал которой принят равным нулю. Таким образом, по оси абсцисс откладывается сопротивление, а по оси ординат – потенциал.

ПД строится по результатам расчёта токов во всех ветвях. Порядок построения следующий:

  1. Потенциал одной из точек контура принимается равным нулю (точка заземляется). На ПД ей соответствует начало координат.

  2. Вычисляются потенциалы всех точек контура.

  3. В соответствии с выбранным направлением обхода контура последовательно в декартовой системе координат наносятся точки, которые затем соединяются ломаной линией.


2.4. Метод узловых потенциалов (МУП)

Сущность метода в том, что сначала рассчитываются потенциалы узлов, для чего достаточно уравнений, составленных по I закону Кирхгофа, а затем находят токи ветвей по закону Ома через потенциалы узлов.

При этом используются следующие положения:

- токи в ветвях зависят от разности потенциалов цепи, а не от их абсолютных значений;

- если один из узлов схемы заземлить, то есть принять его потенциал равным нулю, то токи в схеме не изменятся.

Порядок расчёта этим методом рассмотрим на примере (рис.2.2).

1. Анализ цепи: В=6, У=4, Вт =1, Во =1. NМУП = У-1-Во = 2.

2. Обозначаем узлы схемы.

3. Потенциал одного из узлов принимаем равным нулю. Если в схеме есть ветвь с нулевым сопротивлением (R2 =0), то следует заземлить узел, примыкающий к этой ветви: пусть 4 = 0, тогда 32.

Для узлов с неизвестными потенциалами составляем уравнения по I закону Кирхгофа в следующей форме

1g11 - 2g12 -3g13 - … -ng1n = J1 ,

-1g21 + 2g22 -3g23 - … -ng2n = J2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

-1gn1 - 2gn2 -3gn3 - … +ngnn = Jn ,

где g = 1/R – проводимость ветви,

gnn – собственная проводимость n-ого узла – сумма проводимостей всех ветвей, примыкающих к n-ому узлу,

gij - i-ым и j-ым узлами - сумма проводимостей всех ветвей, находящихся непосредственно между i-ым и j-ым узлами.

Коэффициенты главной диагонали основного определителя положительные, все остальные – отрицательные.

Jq – алгебраическая сумма произведений ЭДС, примыкающих к рассматриваемому узлу, на проводимость ветви, в которой ЭДС находится, и токов источников тока, примыкающих к рассматриваемому узлу. «+» – если источник направлен к узлу, «-» - если от узла.

В данном случае

1 (++) - 2 - 3 (+) = -- J,

- 1 + 2 (++) = E4 .

Здесь RE =0, RJ =.

Уравнения составлены по I закону Кирхгофа. Это видно, если раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые так, чтобы получались токи.

Решая систему, находим неизвестные потенциалы 1 и 2.

4. Принимаем положительные направления токов в ветвях и через найденные потенциалы по закону Ома определяем токи ветвей. В ветви с нулевым сопротивлением ток находится по I закону Кирхгофа в конце расчёта.

I1 = ; I3 = ; I4 = ; I6 = ; I2 = – I3 – I4.

Если в схеме есть несколько ветвей с нулевым сопротивлением, то потенциал одного из узлов, к которым присоединены эти ветви, принимается равным нулю. Тогда сразу можно вычислить потенциал ещё одного узла (рис. 2.3):

a = 0;  b =  a + Ek = Ek.

Для каждой следующей пары узлов, между которыми находится ветвь с нулевым сопротивлением, можно записать

i -  j = Ek ( c -  d = E2 ).

Для остальных узлов с неизвестными потенциалами составляются уравнения стандартным способом по МУП. Дополнительно составляются уравнения для сечений, подграф внутри которых содержит ветвь с нулевым сопротивлением.

Решением полученной системы уравнений получаем значения потенциалов, а токи определяем по закону Ома и I закону Кирхгофа. Итак,  a = 0;  b = Ek.

c -  d = E2,

- I4 + I6 = 0 или - + = 0;

e ( + + ) -  b -  a -  d = - J.

Если в схеме всего два узла, МУП превращается в метод двух узлов (узлового напряжения). Применяется часто при расчёте трёхфазных цепей. Так как в схеме два узла, а потенциал одного из них принят равным нулю, то, отыскивая потенциал другого узла, тем самым находим так называемое узловое напряжение, которое может быть записано сразу одной формулой. Например, для схемы рис. 2.4 пусть  b =0, тогда узловое напряжение


Uab =  a-  b = .

Токи находятся по закону Ома.

Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа, составлением БМ или расчётом другим методом.
2.5. Принцип и метод наложения (МН)

Принцип наложения – это свойство линейных цепей. Оно состоит в том, что ток в любой ветви линейной цепи может быть представлен как алгебраическая сумма токов, вызываемых в этой ветви действием каждого источника в отдельности. Принцип наложения основан на принципе независимости действия ЭДС различных источников. Процессы в линейных цепях описываются уравнениями первой степени. Если в цепи имеется хотя бы одна переменная величина со степенью выше первой, то метод наложения принципиально использован быть не может. Например, МН можно рассчитывать токи в линейных цепях, но нельзя рассчитывать мощности в этих цепях, так как мощность связана с напряжением или током квадратичной, а не линейной зависимостью.

На базе принципа наложения разработан МН. Он прост, но громоздок, так как предполагает многократный расчёт цепи (с каждым источником в отдельности). К основным не относится. Иногда нужен, чтобы посмотреть, как влияет на некоторый ток какой-нибудь источник.

Порядок расчёта:

- принимаем положительные направления токов в ветвях;

- полагаем, что в схеме действует только один источник, например, Е1, остальные

источники заменяем их внутренними сопротивлениями (RE =0, RJ =);

- аналогично рассчитываем цепь при действии второго, третьего источника и т.д.;

- полные токи записываем в виде: Iq = Iq’ + Iq’’ + Iq’’’ + …
2.6. Метод контурных токов (МКТ)

Относится к основным расчётным методам. Базируется на втором законе Кирхгофа. Сущность метода в том, что сначала по числу независимых контуров вводят так называемые контурные токи, для определения которых достаточно уравнений лишь по второму закону Кирхгофа, а затем через контурные токи по принципу наложения записывают искомые токи ветвей. В качестве контурного можно принимать ток ветви, придающей независимость контуру. И наоборот, если в какой-то ветви ток известен и принят в качестве контурного (например, ток источника тока), то эту ветвь уже нельзя включать в другие контуры.

Порядок расчёта рассмотрим на примере (рис. 2.5).

  1. Анализ цепи: В=5, У=3, Вт =1, Во =1.

NМКТ = В-(У-1)-Вт = 5-(3-1)-1=2.

  1. Определяем число независимых контуров в цепи: Nконт = В-(У-1)=3.

Вводим контурные токи II, III, IIII. Направление произвольное.

Если в схеме есть ветви с известными токами, их принимают в качестве контурных.

3. Для контуров с неизвестными контурными токами составляем уравнения по П закону Кирхгофа. Форма уравнений в общем случае следующая:

R11 II  R12 III  R13 IIII  …  R1n In = E11 ,

 R21 II + R22 III  R23 IIII  …  R2n In = E22 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 Rn1 II  Rn2 III  Rn3 IIII  … + Rnn In = Enn ,

где Rii - собственное сопротивление i-ого контура – сумма сопротивлений ветвей, входящих в этот контур;

Rij - взаимное сопротивление i-ого и j-ого контуров – их общее сопротивление. Берётся с “+”, если i-ый и j-ый контурные токи в этом сопротивлении направлены одинаково, и с “-“, если – в противоположные стороны.

Еii - алгебраическая сумма ЭДС источников ЭДС, входящих в i-ый контур. ЭДС берётся с “+”, если её направление совпадает с обходом контура, и с “-”, если нет.

В данном случае

(R2 + R3) II + (R2 + R3) III + R2 IIII = E1 – E2 ;

(R2 + R3) II + (R2 + R3 + R4) III + R2 IIII = – E2 ;

IIII = J .

4. Решая систему, определяем контурные токи.

5. Принимаем положительные направления токов в ветвях и определяем их через контурные токи по принципу наложения:

I1 = II, I2 = -II – III – IIII, I3 = - II – III, I4 = - III.

Проверка правильности решения – по второму закону Кирхгофа, составлением БМ или другим методом.
2.7. Теорема Гельмгольца-Тевенена (об активном двухполюснике). Метод эквивалентного генератора (МЭГ)

Теорема. Если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС Еэкв, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и с сопротивлением Rэкв, равным входному сопротивлению активной цепи относительно разомкнутых зажимов, то ток в присоединённой ветви не изменится.

Доказательство теоремы выполним на основе метода наложения (рис. 2.6).

В качестве эквивалентного источника может быть использован и источник тока. При этом Jэкв = Еэкв/Rэкв ; RJэкв = RЕэкв.

Таким образом, чтобы этой теоремой воспользоваться, нужно найти параметры Eэкв и Rэкв двухполюсника. Их можно найти экспериментально, поставив опыты холостого хода и короткого замыкания (показано на рис. 2.7).

Метод эквивалентного генератора используется для определения тока в отдельной ветви сложной цепи. Порядок расчёта:

1. Определение ЭДС эквивалентного генератора. Для этого:

- в исследуемой ветви принимается положительное направление тока, ветвь размыкается и по току вводится напряжение Uхх ;

- для простейшего контура с участием Uхх по П закону Кирхгофа составляется уравнение. Вошедшие в него токи обозначают индексом х: Iqх ;

- при разомкнутой ветви любым методом находят токи, вошедшие в уравнение;

- подставив их в уравнение, получают Uхх = Еэкв.

2. Отыскание сопротивление эквивалентного генератора Rэкв. Для этого:

- в оставшейся части цепи исключают источники, заменяя их внутренними сопротивлениями RE =0, RJ= ;

- в случае необходимости преобразовывают схему и записывают её входное сопротивление относительно разомкнутой ветви: Rвх = Rэкв .

3. Искомый ток находят по закону Ома: I = .



2.8. Матричные способы анализа ЛИВ-цепей

Применение ЭВМ для расчёта электрических цепей требует представления электрических схем в виде математической модели – системы уравнений в матричном виде. Для этого нужно провести некоторое упорядочение схемы (пример рис. 2.8).

1. Источники тока, используя метод преобразований, привязываем к ветвям, составляющим контур с источником тока: рис. 2.8а – штриховыми линиями.

На графе ветвь изображается в виде рис. 2.9.

Здесь к и к - обобщённые ток и напряжение к-ой ветви.

Iк - ток непосредственно к-ой ветви,

Uк - алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях к-ой ветви (+ - совпадает с током , - - не совпадает),

ек - алгебраическая сумма ЭДС в к-ой ветви.

2. Поскольку источники тока отнесены к ветвям, в графе схемы они не изображаются.

3. Граф должен быть ориентированным (направленным).

4. Номера от 1 до У-1 приписываются ветвям дерева, от У до В – связям.

Используются следующие столбцовые матрицы:

обобщённых токов токов в ветвях ЭДС ветвей

(без источников тока)



=

1

2


.

.

.

в



I =

I1

I2

.

.

.
Iв


E =

е1 e2

.

.

.
eв



=

E1

E2

0

0

0

0

0



источников тока обобщённых напряжений падений напряжений

ветвей ветвей

J =


J1

J 2

.

.

.

J в


=

0

0

J3 = Jк1


J4 = -Iк2

J5 = - Jк1 – Jк2

J6 = - Jк1

J7 = - Jк2

=

1


.

.

.

в



U =

U1

.

.

.

.

Uв

Представим граф некоторой схемы (рис.2.10) в виде таблицы. По горизонтали – У строк согласно числу узлов графа. По вертикали В столбцов по числу ветвей графа. Номер ячейки jк, где j – номер строки, к – номер столбца. В ячейку jк пишем +1, если к-я ветвь соединена с j-ым узлом и направлена от узла (начало ветви), и -1, если к узлу (конец ветви), 0 – если к-я ветвь не соединена с j-ым узлом. (См. таблицу 2.1).








1

0

1

0

0

-1

-1

1

0

-1

0

0

0

0

-1

1

-1

0

0

-1

0

0

1

1
О собенности таблицы: в столбце только две ненулевые ячейки - +1 и -1; сумма чисел каждого столбца равна нулю. Поэтому можно заполнить лишь У-1 строк, так как У-ю строку можно восстановить. Таблице, имеющей У-1 строк придаём смысл матрицы, называемой матрицей соединений. Обозначается А:



А= ajk =

Первый закон Кирхгофа в матричной форме А =0.

Так как для любой ветви = I + J, то A = A I + A J=0 или A I = - A J .

Матрицу соединений можно представить в виде двух подматриц (блоков):
1 … у-1 у … в

1

А = А 1 А2

У-1

(у-1)(у-1) (у-1)n

n = В – У+1 - количество ветвей связи.

Для независимых контуров (их количество n=В-(У-1)) составляется матрица контуров.

С
ветви 1 2 3 4 5 6
троки соответствуют ветвям связи, а столбцы – ветвям графа. Элементы матрицы равны 0, +1, -1, если при обходе контура, образованного ветвью связи и ветвями дерева, вдоль ветви связи ветвь соответственно не входит в контур, входит согласно обходу, входит против обхода. Обозначается В.




В
4

5

6
= bjk =

Второй закон Кирхгофа в матричной форме В =0.

Так как для любой ветви = U E, то B = B U - B E =0 или B U = B E.

Матрица B в виде двух блоков:

1 … у-1 у…в

у

B = В1 В2 … = В 1

В

n (у-1) n n

1– единичная матрица.

Токи и напряжения также представим двумя столбцовыми блоками:

1 1

1 (у-1) 1 … 1 (у-1) 1

у-1 у-1

= =

У у

2 n 1 … 2 n 1

в в
А = А1 А2 1 = A1 1 + A2 2 = 0,

2
B = B1 B2 1 = B1 1 + B2 2 = 0.

2

Первый закон Кирхгофа может быть сформулирован для сечений. Главное сечение разрезает ветвь дерева и ветви связи. В матрице сечений строки – главные сечения (ветви дерева), столбцы – ветви графа. Значения ячеек:

- 0 - если ветвь в сечение не входит;

- +1 – ветвь разрезается и направлена к поверхности согласно данной ветви дерева;

- -1 - ветвь разрезается и направлена к поверхности против данной ветви дерева.

Обозначается D.



ветви 1 2 3 4 5 6


1

2

3
D = djk =

Первый закон Кирхгофа D = 0.

D = D I + D J = 0 или D I = - D J .

1 … у-1 у … в

1

D = D 1 D2D1 = 1 D = 1 D2

У-1

(у-1)(у-1) (у-1)n
D = D1 1 + D2 2 = 0 .

Можно заметить, что B1 = - D или D2 = - B.

Поэтому вводят обозначение B1 = F.

Тогда B = F 1 , D = 1 - Ft

A1 1 = - A2 2 и D1 1 = - D2 2.

Но D1 = 1, поэтому 1 = - D2 2.

Подматрица A1 является квадратной. Поэтому, если определитель её не равен нулю, то она имеет обратную матрицу A .

A A1 1 = 1 1 = 1 = - A A2 2 = - D2 2,

то есть D2 = A A2 , откуда также следует, что - Ft = A A2.

Таким образом, по матрице соединений можно составлять матрицы контуров и сечений, что важно при пользовании ВТ.

Н
ветви 1 2 … в
апряжения и токи связаны между собой через сопротивления и проводимости. Их матрицы обозначаются Z и Y.
Z
1

..

..

в

=
= diag (Z1, Z2, … Zв);


ветви 1 2 … в


Y
1

..

..

в

=
= diag (Y1, Y2, … Yв); Z = Y-1 ; Y = Z-1 .

Для необобщённых U и I U = Z I или I = Z-1 U = Y U.

Можно получить систему уравнений по законам Кирхгофа:

A I = - A J или D I = - D J У-1 уравнений по 1 закону Кирхгофа;

B U = B Z I = B E В-(У-1) уравнений по 2 закону Кирхгофа.


Получается система из В уравнений для искомых В токов – система уравнений цепи в матричной форме.

Примечание. Для получения динамических уравнений вместо U = Z I – закона Ома используются уравнения связи между током к-ой ветви и напряжением на элементах этой ветви.
Метод контурных токов

Уравнение 1 = - D2 2 физически означает, что токи ветвей дерева могут быть определены через токи ветвей связи, которые можно назвать контурными, так как каждая ветвь связи образует независимый контур.

1 - D2 2 - D2 Ft

= = = 2 = 2 .

2 2 1 1
Ft

B = F 1 , следовательно, Bt =

1

= Bt 2 ()


B U = B E; B U = B Z I = B Z (J) = B Z - B Z J = B E

B Z = B (E + Z J).

С учётом () B Z Bt 2= B (E + Z J) ()

B Z Bt - квадратная матрица контурных сопротивлений порядка n n :




B Z Bt =


Z11 Z12 … Z1n

Z21 Z22 … Z2n

. . . . . . . . .

Zn1 Zn2 … Znn
Вектор контурных ЭДС :


B(E+ZJ) =

E11

E22

.

.

.

Enn

Из () определяют контурные токи : 2 = (B Z Bt)-1 B (E + Z J) ,

а затем по () – токи в ветвях.

В этом заключается метод контурных токов.
Метод узловых потенциалов

Потенциал базового (опорного) узла принимается равным 0. Потенциалы остальных узлов относительно базового изображаются матричным вектором


U0 =

U10

U20

.

.

.

UУ-10

Напряжение на зажимах некоторой ветви S, расположенной между узлами k (начало ветви) и m (конец ветви): S = Ukm = Uk0 – Um0.

В матричной форме = At U0.

Кроме того, известно: = UE , = I + J, I = Y U .

A = A I + A J = 0 или A Y U = - A J.

Но U = + E = At U0 + E, поэтому A Y At U0 = - A (J + Y E).

Квадратная матрица узловых проводимостей порядка (У-1)(У-1):



A Y At =


Y11 Y12 … Y1 у-1

Y21 Y22 … Y2 у-1

. . . . . . . . .

Yу-1 1 Yу-1 2 … Zу-1 у-1

Вектор узловых токов от источников:


-A(J+YE) =

J11

J22

.

.

.

Jу-1 у-1

Решение МУП: U0 = - (A Y At) A (J + Y E) .

Через вычисленные потенциалы можно определить токи в ветвях по закону Ома.

Метод сечений рассмотреть самостоятельно.
2.9. Преобразования электрических цепей

Само по себе преобразование электрических цепей не является методом расчёта. Но оно способствует упрощению расчёта цепи. Естественно, что любое преобразование должно быть эквивалентным. Например, если заменяется какой-то участок цепи, то это не должно сказаться на токах и напряжениях на других участках.

Сюда относятся:

- замена последовательного, параллельного и смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным;

- замена реального источника тока эквивалентным источником ЭДС и наоборот;

- замена участка сложной цепи, имеющего два узла, эквивалентной ветвью на основе метода двух узлов;

- замена сопротивления с известным током зависимым источником ЭДС (теорема о компенсации) (рис. 2.11).

Более подробно рассмотрим нижеприведенные преобразования.




2.9.1. Перенос источников в схеме

Из уравнений по П закону Кирхгофа (или МКТ) следует, что токи в схеме зависят от суммарных ЭДС в контуре. Это положение, во-первых, обосновывает возможность переноса источников ЭДС, а во-вторых, указывает, как это сделать: переносить источники в схеме следует таким образом, чтобы суммарные ЭДС всех затронутых контуров оставались бы неизменными (рис. 2.12).

Можно и иначе сформулировать это правило: источник ЭДС может быть перенесен из какой-либо ветви во все другие, присоединённые к этому же узлу.

Из уравнений по I закону Кирхгофа (или МУП) следует, что разности потенциалов определяются суммарными токами в узлах. Отсюда вытекает следующее правило переноса источников тока в схеме: источник тока может быть заменен несколькими источниками тока, подключенными параллельно всем ветвям, которые составляли контур с исходным источником тока (рис. 2.13).

2.9.2. Преобразование пассивных трёхполюсников

Трёхполюсник считается пассивным, если не содержит источников электрической энергии. Среди пассивных трёхполюсников наиболее часто встречаются «звезда» и “треугольник” сопротивлений. Это основные схемы соединения элементов трёхфазных цепей.

Соединение в «звезду» – это соединение трёх сопротивлений, при котором они имеют общую точку и образуют три расходящихся луча. Обозначается Y (рис. 2.14).

Соединением в «треугольник» называют соединение, при котором элементы образуют геометрический треугольник. Обозначается (рис. 2.15).

Существует вывод формул эквивалентной замены n-лучевой звезды m-сторонним многоугольником, причём m = .

Однако обратное преобразование всегда возможно только при m = n = 3. Поэтому рассмотрим эквивалентное преобразование Y . замена будет эквивалентной, если при одинаковых потенциалах одноименных полюсов звезды и треугольника токи, подходящие к этим полюсам, также одинаковы, то есть при одинаковых режимах работы сопротивления между одними и теми же парами полюсов звезды и треугольника равны.

Рассмотрим режим, при котором от внешней части схемы отсоединён, например, полюс 2 (рис. 2.16). Тогда, обозначая внешний ток, который подходит к первому полюсу и выходит из третьего через J, и принимая потенциал третьего узла равным нулю ( 3 = 0), получаем при соединении звездой (имея в виду, что ток I2=0)  2 = R3J, (*)

а для соединения треугольником  2 = R23I12 = J R31 R23 / (R12 + R23 + R31). (**)

Приравнивая правые части (*) и (**), находим, что сопротивление луча звезды

R3 = R31 R23 / (R12 + R23 + R31).

Если отсоединить от внешней схемы первый полюс или третий полюс, получим соответственно R2 = R12 R23 / (R12 + R23 + R31), R1 = R12 R31 / (R12 + R23 + R31).

Таким образом, имея выражение для сопротивления одного луча звезды, круговой заменой индексов можно получить выражения для сопротивлений двух других лучей.

Теперь рассмотрим режим, при котором два полюса, например третий и второй, закорочены (рис. 2.17). по-прежнему обозначая входной ток J, получаем, что в случае соединения звездой ток, проходящий по перемычке,

I2 ===, (***)

а для соединения треугольником I12 = (1-3)/R12. (****)

Приравнивая правые части выражений (***) и (****), получаем

R12 = (R1 R2 + R2 R3 + R3 R1)/R3= = R1 + R2 + R1 R2 /R3.

При соединении других полюсов между собой, получаем

R23 = R2 + R3 + R2 R3 /R1, R31 = R3 + R1 + R3 R1 /R2.

Окончательно имеем следующие формулы:

Y : R1 = ; R2 = ; R3 = .

Y: R12 = R1 + R2 + ; R23 = R2 + R3 + ; R31 = R3 + R1 + .

Многообразие преобразований электрических цепей этим не исчерпывается.


Скачать файл (953.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации