Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Ответы - Державний екзамен з методики викладання математики Часть 1 (питання+відповіді) - файл n1.doc


Ответы - Державний екзамен з методики викладання математики Часть 1 (питання+відповіді)
скачать (727.5 kb.)

Доступные файлы (1):

n1.doc728kb.23.01.2013 19:58скачать

Загрузка...

n1.doc

1   2   3   4
Реклама MarketGid:
Загрузка...

Критерії оцінювання навчальних досягнень учнівз математики


Початковий рівень - учень (учениця) називає математичний об’єкт (вираз, формули, геометричну фігуру, символ), але тільки в тому випадку, коли цей об’єкт (його зображення, опис, характеристика) запропоновано йому (їй) безпосередньо; за допомогою вчителя виконує елементарні завдання.

Середній рівень - учень (учениця) повторює інформацію, операції, дії, засвоєні ним (нею) у процесі навчання, здатний(а) розв’язувати завдання за зразком.

Достатній рівень - учень (учениця) самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, вміє виконувати математичні операції, загальні методи і послідовність (алгоритм) яких йому(їй) знайомі, але зміст та умови виконання змінені.

Високий рівень - учень (учениця) здатний(а) самостійно орієнтуватися в нових для нього(неї) ситуаціях, складати план дій і виконувати його; пропонувати нові, невідомі йому(їй) раніше розв’язання, тобто його(її) діяльність має дослідницький характер.

Оцінювання якості математичної підготовки учнів з математики здійснюється в двох аспектах: рівень оволодіння теоретичними знаннями та якість практичних умінь і навичок, здатність застосовувати вивчений матеріал під час розв’язування задач і вправ.

20. Методика вивчення теми «Додатні і від’ємні числа»
При вивченні цієї теми відбувається подальше розширення поняття числа, вводяться відємні числа, дії над додатніми і відємними числами, відбувається ознайомлення з координатами, ускладнюються перетворення виразів, обгрунтовується загальний метод розвязання рівнянь (перенесення доданків). Розширення числового запасу істотно впливає на характер вправ в темі. Введення відємнних чисел дає можливість обгрунтувати такі перетворення виразів, як розкриття дужок, приведення подібних доданків, перенесення членів рівняння з однієї частини в іншу, властивості рівнянь.

Вивченню дій з додатніми і відємними числами передує формування понять, пов'язаних з введенням відємних чисел. Перше методичне завдання полягає в тому, щоб переконати учнів у необхідності введення нових чисел. Досягається це за допомогою доцільно підібраних завдань (білка бігає по дереву вгору і вниз, скільки відповідей можна дати на питання: де знаходитиметься білка, якщо вона віддалиться від дупла?) Потім необхідно представити ці завдання в більш матеріалізованій формі – наприклад, замість дерева узяти пряму, замість дупла – деяку фіксовану точку прямої, замість білки довільну точку. При розвязанні задач і виконанні ще декількох аналогічних вправ учні повинні переконатися, що відомих ним чисел недостатньо для характеристики положення точки на прямій по відношенню до початку відліку.

Всі відомі до цього натуральні й дробові числа назвали додатними.

Від'ємні числа стали записувати зі знаком «-».

Додатні та від'ємні числа зручно зображувати на координатній прямій.

Потім вводять поняття координатної прямої, продовжуючи ліворуч відомий учням координатний промінь.

Дії над додатними і від'ємними числами. Правила дій додавання та множення над додатними і від'ємними числами в теоретичних курсах вводять за означенням, а дії віднімання та ділення означують як обернені до додавання і множення. У школі бажано за допомогою розв'язування вправ підвести учнів до самостійного формулювання цих правил, що водночас забезпечить обґрунтування доцільності прийняття саме таких, а не інших правил.

Додавання. До правила виконання додавання двох від'ємних чисел можна підвести учнів на прикладі задачі про зміну температури, або продемонструвати на координатній прямій.

Аналізуючи обидва приклади, учні самостійно зроблять висновок щодо знака суми і модуля її: сума двох від'ємних чисел є число від'ємне; модуль суми дорівнює сумі модулів доданків.

Віднімання. У разі віднімання принциповим положенням обчислень і виконання тотожних перетворень є заміна дії віднімання дією додавання числа, протилежного від'ємнику. Загальне правило:

щоб від одного числа відняти друге число, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне від'ємнику.

На підтвердження цього правила розглядають приклади.

Множення і ділення. Доцільність прийняття правила знаків при множенні додатних і від'ємних чисел найкраще пояснити потребами самої математики: ми приймаємо такі правила знаків, щоб закони дій, встановлені для додатних чисел, залишились в силі і для від'ємних чисел. Потрібно прийняти три твердження щодо добутку двох від'ємних чисел, чисел з різними знаками й умову рівності нулю добутку.

21. Методика вивчення звичайних дробів в 5-6 класах.

За чинною програмою звичайнi дроби в школi вивчаються в три етапи.

На першому, пропедевтичному, етапi в З класi початкової школи учнiв ознайомлюють i з поняттями «дрiб», «чисельник», «знаменник», вчать порівнювати найпростіші дроби, знаходити дрiб числа i число за його дробом двома діями

На другому етапi в 5 класi перед вивченням десяткових дробiв передбачено розширення вiдомостей про звичайнi дроби. Тут повторюються вiдомостi з З класу i, крiм того, вводяться новi понятгя — «правильний i неправильний дрiб»; «цiла i дробова частина числа». Учнi вчатья виділяти цiлу частину дробового числа i розв’язувати обернену задачу, порiвнюють дроби з однаковими знаменниками, додають i вiднiмають такi дроби.

Основна мета вивчення звичайних дробiв у 5 класi — ознайомити учнiв з початковими відомостями про них в обсязi, достатньому для вивчення десяткових , дробiв.

Вимоги до знань i умінь на цьому етапі навчання такi:

розумiти суть звичайного дробу, чисельника i знаменника, правильного i неправильного дробу, цілої і дробової частини числа;

знати правила порiвняння, додавання i вiднiмання звичайних дробiв з однаковими знаменниками;

читати i записувати дробовi числа; порiвнювати, додавати і вiднiмати звичайні дроби з однаковими знаменниками;

розв’язувати текстовi задачі, пов’язанi зі звичайними дробами, арифметичними способами.

На третьому етапi в 6 класi продовжується вивчення звичайних дробiв. Туг розглядаються основна властивiсть дробу, скорочення, порiвняння, додавання і вiднiмання дробiв з рiзними знаменниками, множення і діленя звичайних дробів.

Основна мета вивчення звичайних дробiв в 6 класi — сформувати міцнi навички перетворення дробiв і виконання чотирьох арифметичних дiй над ними.

Вимоги до знань і умiнь на третьому етапi такi:

знати основну властивiсть дробу і застосовувати її до скорочення дробiв i зведення дробiв до найменшого спiльного знаменника;

знати правила додавання і вiднiмання дробів з рiзними знаменниками, множення i дiлення дробiв;

вмiти виконувати чотири арифметичнi дiї над довiльними звичайними дробами;

розв’язувати арифметичними способами текстовi задачi, де використовуються звичайнi дроби.

Вчитель повинен розумiти принципову вiдмінність звичайного мiж поняттями «дрiб» i «дробове число». Про змiст цих понять, зв’язок i вiдмiннiсть між ними йдеться в статгi А. М. Колмогорова з циклу статей про теоретичнi основи шкiльного курсу математики. Дрiб — це лише форма, символ для запису числа (так само десятковий дрiб, проценти) як дробового, так i цiлого.

У З класi i в курсi математики 5—6 класiв дрiб трактується спочатку як частина цiлого (яблука, круга, вiдрiзка тощо), а в 6 класi i як частка вiд дiлення двох натуральних чисел. Пiд час формування поняття звичайного дробу, порiвняння дробiв з однаковими знаменниками варто широко залучати наочнiсть i практичнi дiї учнiв на розбивання відрiзкiв, круга, прямокутникiв та iнших об’єктiв на рiвнi частини i позначення за допомогою дробу рiзних частин цiлого, а також пов’язувати вивчення цього матерiалу з метричною системою мір (довжина, площа, об’єм, грошовi одиницi, час тощо) i вимирювань рiзних величин, що природно показує учням походження дробiв з практики вимiрювань.

Важливо розглянути зображення дробiв на координатному променi i розв’яування оберненої задачi. На координатному променi ефективно iлюструється основна властивiсть дробу i порiвняння дробiв.

22. Методика вивчення функції в основній школі.

Поняття ф-ції - одне з фундаментальних мат. понять, безпосередньо пов'язаних з реальною дійсністю. Поняття функція було введено в кін. 17ст.(functio в перекладі “виконання”). Термін “функція” ввів Лейбніц в 1694р. У 18ст. математики під функцією розуміли всякий аналітичний вираз (формули). У 19ст. закріпилося нове поняття про функцію, як про залежність однієї змінної величини від іншої (класичний напрям). В 20ст. функція визначається через відповідність або відношення (суч. напрям трактування поняття ф-ції).

У новій програме з математики (1970) ф-ція визначалася через відношення, з 1977-1985 через відповідність. З 1985 - як залежність однієї змінної величини від ін.

Зміст матеріалу по Бевзу: 8 кл. Ф-ція. Обл. визнач. ф-ції., способи задання, графік ф-ції, лінійна ф-ція, пряма і обернена пропорційність, їх вл-ті. Графіки ф-цій: у=х2, у= 9 кл. Ф-ції і їх графіки. Повторення 8 кл. Перетворення графіків. Квадратична ф-ція і її графік. Графічне розвязання нерівностей і систем рівнянь з 2-ма змінними. Зростаюча, спадна, парна, непарна. Найпростіші степеневі ф-ції і їх вл-ті.

Основна мета: Сформувати уявлення про ф-цію як матем. модель залежності між величинами і об'єктами б.-я. природи, навчити будувати графіки ф-цій.

Методика введення поняття графіка ф-ції у 8 кл. Вводиться поняття ф-ції конкретно-індуктивним методом: треба використовувати лінійну ф-цію, задану з допом. формули але формулу не повідомляти в готовому вигляді, а отримати її як рез-т узагальнення індуктивного вирішення завдань: №1. Площа квадрата залежить від сторони. Для кожного значення змінної а, можна знайти відпов. значення змінної S. №2. Шлях, пройдений автобусом із швидкістю 50 км/ч залежить від часу. Для кожного t >= 0 : t = 0,5 ; S = 25 ; t = 2 ;S = 100… №3. Маса шматочка крейди залежить від його обема. №4. Кожному значенню температури повітря t відпов. єдине значення висоти h стовпчика рідини в термометрі. №5.Кожному значенню змінної х відпов. єдине значення виразу 2х. Висновок: Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини М відпов. одне значення змінної у називають функцією від х. Змінну х називають аргументом функції. Множина М – обл. визначення функції; залежність між х і у – функціональною залежністю. Аргумент називають ще незалежною змінною, а функцию – залежною змінною.

За Макаревичем: кожному значенню незалежної змінної відпов. єдине значення залежної змінної. Таку залежність однієї змінної від іншої називають функціональною залежністю або функцією. Незалежну змінну інакше називають аргументом, а про залежну змінну говорять, що вона є функцією від цього аргументу. Значення залежної змінної наз. значеннями функції, всі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють область визначення функції.

Далі по Бевзу розгл. 2 способи задання функції: формулами; таблицями.(у=2х-1; таблиці квадратів, синусів, косинусів і т.д.) Далі (по Бевзу) дається поняття про графіки ф-ції. Розглядаються ф-ції У=2х-3 де –2= Далі аналогічно будується графік у=6/х, де 1=
23 .Методика вивчення рівнянь і нерівностей в основній школі

Лінія рівнянь і нерівностей – 1 з осн. змістовних ліній в ШКМ.

Це пояснюється тим, що рівняння і нерівності широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних завдань.

У методичній літературі зустрічаються 2 підходи до трактування змісту поняття рівняння: функціональний підхід і визначення рівняння за допомогою поняття словесної форми: рівність, що містить невідоме число, називається рівнянням. Саме так трактують в ШКМ поняття рівняння(II підхід).

У програмі з математики передбач. систематичне вивчення рівнянь, нерівностей і їх систем. Вивчення відомостей про них в осн. школі проводиться на індуктивному рівні з використанням елементів дедукції. Заг. поняття і їх вл-ті вводяться індуктивно, а розгляд окр. видів здійсн. з використанням елементів дедуктивних міркувань.

Зміст: 5кл. – 1 пункт «Вирази. Рівняння»; 6кл. – в останній темі 1 пункт «Осн. вл-ті рівнянь»; 7кл. Розділ I. Рівняння – заг. відомості про рів-ня, рівносильні рів-ня, лінійні рів-ня. Розділ IV – рів-ня з 2-ма змінними; 8кл. Дробові рівняння в темі «Раціональні вирази». Розділ VII – квадратні рівняння. Теорема Вієта; 9кл. – Нерівності (розділ IX).

Осн. етапи вивчення рівнянь та нерівностей: 1).Вивчення осн. типів рівнянь (лінійні рів-ня з 1-ю змінною, лінійні рів-ня з 2-ма змінними, квадратні рів-ня). 2).Поступове розширення кількості вивчених класів рівнянь (рівняння I ступеня; біквадратні рівняння; рів-ня, що приводяться до квадратного; цілі раціональні рівняння; дробові раціональні рівняння). 3).Формування прийомів розвязання і аналізу рівнянь, що мають широку область застосування.

Загальні засоби можна розділити на 3 групи: 1)логічні методи обгрунтування рішень (рівносильні перетворення або логічне слідування); 2)обчислювальні прийоми, за допомогою яких проводяться спрощення частин рівнянь, перевірка знайдених рішень і т.д.; 3)наочно-графічні прийоми.

У поч. класах (1-4 кл.) розгляд. лінійні рів-ня вигляду 5+х=7; х-4=9+6; х:2+8=20 і т.д. Невідоме число спочатку знаходять підбором, а потім на підставі правил знаходження невідомих компонентів. Термін «рівняння» вводиться в 3кл. При вивченні всіх тем курсу в 5кл. застос. ті ж прийоми і методи, але заздалегідь проводиться спрощення виразів. Тільки у останній темі курсу 6кл. вивч. пункт «Осн. вл-ті рів-нь», в якому обгрунтовується заг. метод розвязання рівнянь – перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу. Після розв. 2-х задач, що підводять до вивч. теми, робляться 2 важливі висн.: 1)якщо до обох частин рів-ня додати або відняти одне і те ж число або вираз, що містить невідому, то отримаємо вірне рів-ня; 2)доданки можна переносити з однієї частини рів-ня в іншу, міняючи при цьому їх знаки на протилежні. А після розв. дек-кох рівнянь робиться 3-й висновок – про множення і ділення обох частин рів-ня. Терміни «рів-ня», «корінь рів-ня» і їх визначення вводяться в 5 кл. в темі «Рів-ня». У 7кл. у розділі «Рів-ня» систематиз. відомості про рів-ня, посилюється роль теоретич. відомостей при розгляді рівнянь, вивч. лінійні рівн-ня. Заг. метод розв. лін. рівнянь з 1-м невідомим корисно представити у вигл. схеми.В курсі алгебри 8кл. вивч. квадратні рів-ня абстрактно-дедукт. методом. Вчитель відразу дає визначення квадратного рівн-ня і неповних квадратних рівнянь, наводить приклади і способи розвязання кожного виду неповних квадратних рівнянь (доцільно у вигляді схеми). Для виведення формули кореня квадратного рів-ня необх. ознайомити учнів із способом виділення квадрата двочлена. Необх. етапом при виведенні формули кореня служить дослідження, що виявляє 3 можливі випадки: D<0 – відсутність кореня; D=0 – 1 корінь х=-b/а; D>0 – 2 корені х1,2=(-b)/2а. Звідси алгоритм: 1)обчислити D; 2)порівняти з нулем; 3)застосувати формулу.



24. Методика вивч. тригонометричних функцій в курсі планіметрії.

Тригонометрія традиційно є однією з найважливіших складових частин ШКМ. У математиці тригонометричні функції (ТФ) часто визначаються аналітичним шляхом, але ТФ можуть бути визначені і геом. засобами. Такі визначення і викор. в ШКМ, оскільки вони наочні і доступні.

Етапи вивчення ТФ в школі:

  1. ТФ визначаються для гострого кута прямокутного трикутника;

  2. введенні поняття узагальнюються для кутів від 0о до 180о ;

  3. ТФ визначаються для довільних кутових величин і дійсних чисел.

Перші два етапи реалізовуються в курсі геометрії (8кл), третій в курсі алгебри і початків аналізу (10кл).

  1. На першому етапі cos, sin, tg визначаються не для довільного гострого кута, а для гострого прямокутного трикутника. Наприклад, косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

При закріпленні визначення cos ? необхідно 2 типи завдань:

  1. сформулюйте визначення cos ?;

  2. як знайти cos ?, користуючись його визначенням.

Аналогічна робота з визначенням sin, tg. Необхідно на цьому етапі чітко відпрацювати алгоритми – правила знаходження катета або гіпотенузи.

На основі даних визначень будується невеликий пропедевтический курс тригонометрії, який має найголовніше загальноосвітнє значення. Він складається з основної тотожності: sin2?+cos2?=1, 1+tg2?=1/cos2?, 1+1/tg2?=1/sin2 ?, які дають можливість по даному значенню однієї з ТФ, знайти 2 інші, знаходити значення деяких кутів і т.д. Вивчаються формули зведення і теореми зростання синуса і спадання косинуса.

II етап - в темі «Декартові координати на площині»(8кл.) даються за допом. координат генетичні визначення (генезис-походження) синуса, косинуса, тангенса кутів від 0о до 180о. У цих визначеннях указуються побудови і обчислення, що дозволяють знайти значення ТФ.

Візьмемо коло на площині ху з центром в поч. координат і радіусом R. Неай ? гострий кут, який утворює радіус ОА з додат. піввіссю ох. Нехай х і у – координати т.А. значення sin?, cos?, tg? для гострого кута ? виражаються через координати т.А: cos?=x/R; sin?=y/R; tg?=y/x. Словесне визначення sin?: синусом кута ? наз. відношення ординати у точки А(х;у) кола до її радіуса R.

Доведення формул зведення для кута (180о-?) дає можливість обчислювати ТФ тупих кутів, а сформовані тут уміння викор. при розвязанні трикутників в курсі 9 класу.

Оскільки для геометрії важливий не загальнофункціональний погляд на ТФ (обл. опр., обл. значень, монотонність і так далі), а їх прикладна сторона (розвязання прямокутних і довільних трикутників, теорема синусів і косинусів, застос. тригонометричної тотожності),то на І і ІІ етапах немає терміну «тригонометрична функція», замість нього вживаються слова «косинус кута», «синус кута», «тангенс кута».

III етап (Алгебра і початок аналізу, 10кл. Шкіль). Зміст: «Тригонометричні ф-ції» - 18год.: ТФ кута, система радіан. вимірювання кутів і ін. ТФ числового аргументу. Періодичність ТФ, побудова графіків ТФ, властивості ТФ, співвідношення між ТФ, тригонометрична тотожність. Основна мета: ввести поняття ТФ довільного кута і ТФ числового аргументу, побудувати графіки і довести основні властивості ТФ.

У геометрії ТФ розглядалися як функції кута. Проте вимоги самої математики і її застосування вимагають розгляди ТФ числового аргументу. Вивчення теми поч. з повторення матеріалу про ТФ з курсу геометрії 8 кл. і введення поняття кута повороту. Після знайомства кутів, учні знайомляться з різними системами вимірювання дуг, грунтовно вивч. система радіанної міри і формули переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки.

Перед введенням визначень ТФ числового аргументу повторюються відомості про незалежність ТФ від радіусу R кола і тому вважають R=1, а відповідне коло називається одиничним. Далі розв. завдання, що підводить: на одиничному колі побудувати точки, на яких відображається початкова точка Р0(1;0), при повороті навколо центру на кут ? радіан, якщо: ?=0; ?=?/4; ?=-?/4; ?=-1; ?=2. Після розв. зробити висновок: кожному дійсному числу ? на одиничному колі відповідає точка Р?, положення якої залежить від числа ?; кожній точці Р? на одиничному колі відповідає певна абсциса і ордината, які також залежать від ?. Отже, маємо залежність між дійсним числом ? і абсцисою і ординатою відповідної точки одиничного кола, на яке відображається початкова точка Р0 при повороті на кут ? радіан. Ці залежності отримали назву тригонометричних функцій числа, або ТФ числового аргументу.

Графіки ТФ будуються геометричним методом. Вони викор. при вивченні властивостей ТФ і їх доведеннях. Доцільно всі відомості про вл-ті ТФ дати у вигляді опорної таблиці.

25. Методика вивчення тотожних перетворень математичних виразів.
Тотожні перетворення являють собою одну із головних ліній шкільного курсу математики. На їх основі в учнів формується уява про аналітичні методи математики.

До математичних основ тотожних перетворень відносяться:

означення тотожності і тотожного перетворення;

розгляд різних наукових підходів до тлумачення тотожних перетворень;

виділення основних тверджень.

В алгебрі дії над буквеними виразами лише позначаються і можуть бути виконані тільки при виборі чи завданні конкретних числових значень її змінних. При цій умові основою тотожних перетворень є закони арифметичних дій, властивості операцій з 0 і 1 і властивості тотожностей.:

а) А = А; б) А = В <=> В = А; в) (А = В і В = С) => А = С

Тому на основі систематизації відомостей про згадані твердження, нові твердження доводяться.

По строгості доведення тотожності діляться на три типи:

неповністю строгі міркування, які вимагають використання методу математичної індукції для наданню їм повної строгості;

повністю строгі міркування, які спираються на основні властивості арифметичних дій і не використовують інших властивостей числової системи;

повністю строгі міркування, які використовують умовне розв’язання рівнянь виду ?(х) = а, де ?(х) елементарна функція, що вивчається.

Тотожні перетворення виразів в курсі математики середньої школи.

Базисна програма з математики не виділяє тотожні перетворення в одну окрему тему курсу математики середньої школи; матеріал, пов’язаний з тотожними перетвореннями, розосереджений по всім класам, по всьому курсу математики, а саме:

5-6 класи – закони арифметичних дій; застосування законів арифметичних дій для раціональних виразів, розкриття дужок, зведення подібних членів;

7-9 класи – додавання, віднімання і множення многочленів; розкладання многочлена на множники;

10-11 класи (курс В) тригонометричні формули додавання, наслідки із них. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тотожні перетворення виразів, а яких є степені і корні. Логарифмічні тотожності:

alogax = x; loga(xy) = logax + logay;

loga(x / y) = logax - logay;

logaxp = plogax

Тотожні перетворення виразів, в яких є логарифми.

Мета вивчення тотожних перетворень в середній школі така:

спрощення виразів;

доведення тотожностей;

зведення рівнянь і нерівностей до простої форми;

використання при розв’язуванні задач (і геометричних також) аналітичним методом.

Пропедевтика тотожних перетворень в початковій школі і в 5-6 класах середньої школи пов’язана в першу чергу з вивченням властивостей арифметичних дій і записом їх в буквеному вигляді. До простих перетворень виразів, які вивчаються в 5-6 класах, відносяться розкриття дужок і зведення подібних доданків. Ці перетворення розглядаються в зв’язку з розв’язуванням найпростіших рівнянь.

Поняття тотожності і тотожного перетворення формується за трьохетапною схемою:

1 етап – тотожність для цілих раціональних виразів;

2 етап – тотожність для дробових раціональних виразів;

3 етап – тотожність на множині.

Види тотожних перетворень: тотожні перетворення цілих раціональних виразів, дробово-раціональних виразів, ірраціональних виразів, тригонометричних виразів.

Слід зауважити, що застосовуючи те чи інше тотожне перетворення, необхідно чітко формулювати цільову установку цього перетворення.

Тотожні перетворення складають одну із основних змістовно-методичних ліній шкільного курсу алгебри. Вони є базою для вивчення рівнянь і нерівностей, дослідження функцій і організацій обчислень. Тотожні перетворення знаходять широке застосування в курсах геометрії, алгебри і початків аналізу, фізики, хімії і інших предметів. Від рівня сформованості навичок тотожних перетворень залежить результативність навчання учнів математики і іншим дисциплінам.

В процесі вивчення учні 7-9 класів повинні:

засвоїти поняття тотожності і саму ідею тотожних перетворень;

оволодіти умінням виконувати тотожні перетворення цілих, раціональних виразів, нескладних виразів, які містять степені і корні, тригонометричні вирази;

засвоїти важливу ідею алгебри – ідею підстановки; якщо в тотожності замість змінної підставити вираз, то знову одержимо тотожність (при цьому треба слідкувати за допустимими значеннями змінних);

навчитися застосувати апарат тотожних перетворень при доведенні алгебраїчних теорем, розв’язанні рівнянь і нерівностей, побудові графіків функцій.

26. Геометрія як навчальний предмет в основній школі, цілі і задачі навчання геометрії, вимоги до математичної підготовки учнів. Методика проведення перших уроків планіметрії.

Мета викладання геом. в 7-9 кл.: систематич. вивч. вл-тей геом. фігур на площині, формув. пр-рових уявлень, розв. логіч. мислення, засвоєння апарату, потрібного для вивч. суміжних дисциплін.

Навч. матеріал курсу групується навколо 5-ти змістовних ліній: 1)геом. фігури та їх вл-ті; 2)геом. побудови; 3)геом. перетворення; 4)геом. величини, їх вимірюв. і обчислення; 5)координати і вектори.

Геом. як наука - частина мат-ки, початковим предм. якої є пр-рові віднош. і форми тіл, без урахув. ін. їх вл-тей (густини, маси).

Виникнення геом. з давніх-давен було зумовлене практич­ними потребами людей. Найпрост. геом. твердж. і поняття були відомі ще в Старод. Єгипті. Бл. 300р. до н.е. вже з'явились порівняно строгі логічні доведення, які були зібрані в «Началах» Евкліда. Новий підхід до розв'язування геом. фактів за­пропонував у Іпол. XVIIст. Декарт. Він відкрив м-д координат, чим було закладено основи аналітичної геом. У 1826 р. Лобачевський запропонував с-му аксіом, відмінну від аксіом Евкліда, - була відкрита можливість існуван­ня неевклідової геометрії.

У ШК до 60-х рр. XX ст. в основу логічної побу­дови підручників геометрії у всіх кр. було покладено аксіо­матику Евкліда (підручник Кисельова). З 70-х рр. у республіках ко­лишнього СРСР протягом кількох років планіметрія викладалась за посібником, створеним з безпосередньою участю Колмогорова. Однак посібник зазнав гострої критики через занадто високий його теоретичний рівень, заформалізованість термінологією і символікою множин, недоско­налість системи задач. З 1982-1983н.р. 6 класи всіх шкіл України і кількох областей Білорусі, Росії почали працювати за четвертим виданням навчального посібника Погорєлова. Після кількох перевидань і перемоги на Всесоюзному конкур­сі 1990 р. цей посібник разом з книжкою Атанасяна та ін. було введено як паралельні підручники для 7-11 класів сер. школи.

Підручник Погорєлова побудовано за традиційною схемою, на дедуктивній основі, хоч і не строго аксіоматичним. Виклад теоретич. матеріалу ґрунтується на 7-ми первіс­них (неозначуваних) поняттях. 6 з них - планіметричні (точка, пряма, довжина відрізка, гра­дусна міра кута, відношення «належати» для точок і прямих і «лежить між» для 3-х точок прямої), і одне вводиться в сте­реометрії - поняття «площина». Осн. вл-ті неозначуваних понять описуються 9-ма аксіомами планіметрії і 3-ма аксіомами стереометрії: IV.Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини. VII.Від півпрямої на площині, яка її містить, в задану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один. VIII.Хоча б яким був трикутник, існує рівний йому трикутник
у даній площині в заданому розташуванні стосовно даної півпряімої в цій площині.

За рахунок зміни послідовності викладу теорем традиційного курсу вдалося стисло викласти теоретичний матеріал і доповнити курс новими темами: декартові координати, вектори, геометричні перетворення.

Уже в § 1, де вводяться всі первісні поняття й аксіоми, почи­нає послідовно розвиватися ідея аксіоматичної побудови геомет­рії. Аксіоми і теореми широко використовуються для доведення теорем і розв'язування задач.

У підручнику Погорєлова є 3 класи понять: 1)пер­вісні, які не означуються; 2)ті, що вводяться описово, без строго­го означення; 3)поняття, які означаються за до­помогою первісних понять або означених раніше.

Координати і вектори на площині і в просторі та геометричні перетворення введено радше із загальноосвітньою метою, ніжяк апарат для доведення теорем і розв'язування задач. У підручнику Погорєлова значно менше місця і уваги приділено геометричнимпобудовам. Означення тригонометричних функцій вводиться вже у8кл. спочатку через відношення сторін в прямокутному трикутнику, а пізніше координатним способом. Апарат тригонометріїзастосовується для розв'язування прямокутних і косокутних трикутників і в теоретичному матеріалі.

Методичні особливості підручника Погорєлова визна­чаються 3-ма факторами. По-перше, підручник призначений для учнів. По-друге, автор ви­ходить з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. По-третє, основним засобом навчання геометрії вважається розв'язування задач.

Організації самостійної роботи сприяють наведені після кож­ного параграфа запитання для повторення. Запитання складено так, що на кожне з них учень може знайти відповідь в тексті під­ручника.

Методика проведення перших уроків планіметрії.

Говорячи «перші уроки системного курсу геометрії» маємо на увазі всі уроки, на яких вивч. §1 навч. посібників. Вони викликають особливі труднощі. Це обумовлено цілим рядом причин: психологічними особливостями учнів цього віку, виділенням курсу геометрії в окрему навч. дисципліну і новизною його ст-ри, різким підвищенням рівня строгості логічних міркувань, введенням вел. числа нових понять, термінів, нової символіки; підвищенням рівня абстрактності матеріалу, що вивчається; новим змістом задачного матеріалу і т.д.

Методика викладання перших розділів курсу планіметрії передбачає: 1)поступовий плавний перехід від конкретного до загальнопостійного звернення до навколишньої дійсності і ін. видів наочності; 2)особлива увага навчанню учнів - саме логічно міркувати, обгрунтовувати, доводити висловлювані припущення; 3)навчання орієнтуватися в мат. термінах – аксіомах, визначень, теорем.

З найперших уроків необх. в єдину с-му пов'язати розповідь вчителя, текст підручника, відповідні записи на дошці і в робочому зошиті. На І уроці геом. необх. ознайомити учнів з іст. виникнення геом., розповісти про систематичні об'єкти, з яких поч. вивч. системного курсу геом.

Ряд мат. понять є основними (первинними) невизначуваними. У навч. посібнику Погорелова такими поняттями є: точка, пряма, приналежність, лежать між півплощинами, міра кута, довжина відрізка. Вл-ті неозначуваних понять описуються аксіомами. Всі решта понятть §1 – означувані. Перш ніж формулювати визначення якого-небудь поняття, необх., використовуючи наявні наочні уявлення учнів про ці об'єкти, виділити окремі його частини. Наприк., в процесі введення поняття відрізку можна виділити його частини і зобразити їх на малюнку різними кольорами. Схематичний запис означення відрізка допоможе кращому його засвоєнню.

Одна з цілей включення аксіом в ШКГ – сформулювати базу для побудови доведень. Вдало підібрана система аксіом покликана забезпечити рац. і просту побудову всього курсу. Приведення аксіом на початку курсу – означає систематизацію раніше відомих знань. Новим для учнів є не зміст аксіом, а гранично точна мат. мова, на якій вони формулюються. На поч. курсу відбувається активне засвоєння учнями мат. термінології, необхідної для вивчення всього курсу. Методична схема введення аксіом: 1)ввести аксіому на наочній основі; 2)сформулювати аксіому; 3)виконати логічний аналіз формулювання; 4)провести мат. диктант. У §1 тільки одна теорема, але більшість завдань направлені на виховання в учнів потреби в доказових міркуваннях. Зразками таких міркувань є розвязаання задач в тексті навч. посібника. Спонукати учнів до обгрунтувань питаннями: Чому, звідки це слідує? і т.д.

27. Методика вивчення трикутників в основній школі
Особливо слід відзначити роль трикутника в курсі планіметрії. Трикутник просторово локальний, замкнутий і конструктивно простий. Це найекономніший вид многокутників. Для його задання досить вказати його вершини - або три попарно пересічні прямі. Тому він зручний у використанні для вивчення вл-тей реального простору.

Вчителю слід ясно представити всю систему знань про трикутники для того, щоб добитися повного і осмисленого засвоєння їх. Вивчення трикутників розподілене практично по всіх класах основної школи. Курс 7кл. - це, по суті, геометрія трикутника.

7кл. У пункті 9 «Трикутник» дається означення трикутника. У попередніх класах трикутник розглядається як частина площини. Це було зручно для практичних занять з вирізанням фігур з паперу. Але в системному курсі геометрії протягом тривалого часу (до 9кл) не потрібна внутрішність трикутника, вона знадобиться в 9кл. при визначенні поняття площ.

Трикутником називається фігура що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і 3-х відрізків, що попарно сполучають ці точки. В означенні слід звернути увагу учнів на те, що 3 точки, які є вершинами трикутника, не лежать на одній прямій, продемонструвавши 2 малюнки і каркасні моделі трикутників. При введенні поняття рівності трикутників можна дати коротше формулювання: Трикутники рівні, якщо у них відповідні елементи рівні. Взагалі таке визначення відрізняється від традиційного, де рівними називаються трикутники, що суміщаються при русі. Але поняття руху визначається пізніше, оскільки воно складне. Відповідність елементів встановлюється автоматично самим записом. Матеріал про ознаки займає центральне місце в обох навч. посібниках. Вел. його роль і для подальшого вивчення геометрії. По-перше, він знайомить учнів з дедуктивними обгрунтуваннями, по-друге, використання ознак стає осн. методом доведення теорем і розвязання задач в подальшому курсі.

У навч. посібнику Погорелова ознаки строго доводяться спираючись на аксіоми і теореми рівності трикутників. При доведенні необх. викор. серію малюнків, які відображають динаміку доведення, окремі його етапи.

Починаючи вивчення ознак рівності трикутників, вчитель відзначає, що не обов'язково знати про наявність у них шести пар відповідних рівних елементів, достатньо 3 пари. Які це пари, ми дізнаємося після розгляду трьох теорем, які наз. ознаками рівності трикутників.

Слід врахувати що ці теореми, які вивчаються на самому початку систем. курсу для семикласників представляють значну трудність. Тому відтворення повних доведень можна вимагати тільки від сильних учнів, останні повинні усвідомлювати хід доведення і зміст використовуваних в них міркувань. Засвоєння теорем повинне відбуватися в процесі розвязання задач.

28. Методика вивчення геометричних побудов в курсі планіметрії.

Г.п. грають важливу роль в мат. підготовці учнів. Виконання різних г.п. сприяють розвитку логічного мислення, пр-рової уяви учнів, формують графічні навики, розвивають конструктивні здібності, допомагають кращому засвоєнню теоретич. матеріалу і т.д. Діючі навч. посібники, написані так, що всі розділи програми вивч. з широкими залученнями г.п. і вимірювань. На г.п. грунтується викор. в геом. конструктивних прийомів при вивч. різних понять і доведенні теорем.

Вже в 1-4кл. учні будували геом. фігури з використанням вимірювальних і креслярських інструментів. У 5-6кл. учні знайомляться вже з основними побудовами: побудова паралельних і перпендикулярних прямих, побудова кута, відрізка, трикутників. З перших уроків систематичного курсу геометрії в 7кл. у учнів виробляються навики побудови осн. геометричних фігур: точки, прямої, відрізка, кута. Осн. засоби, використовувані в ШКГ для г.п.: лінійка, циркуль, косинець і транспортир. Учень повинен точно знати конструктивні можливості кожного з них. В курсі 7кл. є розділ «Геометричні побудови». Тут розглядається 5 осн. завдань на побудову з допомогою тільки циркуля і лінійки (класичні побудови). Досвід показує, що засвоєння учнями основних простих побудов краще всього відбувається в умовах алгоритмічного підходу: всі алгоритми пов. бути записані в робочому (або спеціальному) зошиті, учні зобов'язані промовляти їх, одночасно виконуючи відповідну побудову.

Приклад алгоритму побудови бісектриси кута: 1)описати з вершини кута як з центру коло довільного радіусу; 2)з точок перетину побудованого кола із сторонами кута описати два кола з тим самим радіусом; 3)з вершини кута через точку перетину кіл провести півпряму, яка і буде бісектрисою кута.

Завдання на побудову є традиційним матеріалом, що вивчається в планіметрії. У 7кл. слід сформувати поняття про задачі на побудову і виробити навики у розвязанні задач на побудову трикутників, а в 8кл. – чотирикутників. Розрізняють 4 етапи при розвязанні б.-я. задачі на побудову. У 4ст. до н.е. грецькі математики розробили цю схему, якою ми користуємося і понині: 1.Аналіз – припускаючи, що завдання вирішене, зробити схематичний мал. шуканої фігури, з'ясувати такі співвідношення між елементами завдання, які дозволяють звести її до основних завдань. 2.Побудова – по складеному при аналізі плану і його запис. 3.Доведення того, що побудована фігура володіє необхідними вл-тями. 4.Дослідження – чи при всяких даних задача має розвязок, скільки розвязків, чи немає окремих випадків. У осн. школі не ведеться спец. навчання виконанню всіх 4 етапів.

Із загальних прийомів розвязання задач на побудову, що вчаться в 7кл. знайомляться з методом геометричних місць. Суть методу ГМТ треба пояснити на прикладі розвязання конкретної задачі і сформулювати правило-орієнтир: 1.з'ясувати, до знаходження якої точки зводиться розв. задачі і яким 2-м умовам вона повинна задовольняти; 2.відкинути одну з умов задачі і побудувати ГМТ, що задовольняє 2-ій умові; 3.відкинути другу умову і побудувати ГМТ, що задовольняє першій умові. Шукана точка буде перетином побудованих ГМТ.

У стереометрії важко обійтися без зображення фігур. До стереометричних побудов пред'являють 3 вимоги: наочність, правильність, простота зображення. Іноді в цілях прискорення удаються до неповних зображень (тільки осьовий перетин конуса, циліндра, тіл обертання, комбінації тіл і ін.), застосовують лекала, шаблони. Специфіка завдань на побудову в просторі полягає в тому, що не існує креслярських інструментів, що дозволяють креслити геометричні фігури безпосередньо в просторі. Вони зображаються плоским малюнком, а отже такий малюнок є умовним і це викликає утруднення у учнів в їх виконанні і розумінні. Стереометричні завдання на побудову зустрічаються двох видів: 1)уявні (умовні) побудови; 2)побудови на проекційному кресленні. Слід зазначити, що завдання на побудову «присутнє» по суті при розв. б.-я. задачі на доведення і обчислення, їх розв. залежить від креслення.
1   2   3   4



Скачать файл (727.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации