Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по системному анализу и моделированию в ЧС - файл Тема 2.2.3-Формальная запись и общие св-ва.doc


Загрузка...
Лекции по системному анализу и моделированию в ЧС
скачать (1769 kb.)

Доступные файлы (21):

Вопросы к экзамену-ЗЧС.doc32kb.22.12.2008 14:07скачать
Тема 1.Лекция 1_ Модели (СРС).doc120kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 1.Лекция 2_Модели систем.doc223kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 1.Лекция 3_Классификация систем.doc93kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 1.Лекция 4_Системы с управлением.doc138kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 2.Лекция 5_Измерительные шкалы.doc77kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 3.Лекция 6_Расплывчатость.doc137kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 4.Лекция 7_Процедуры СА.doc434kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 4_Лекция 8_Агрегирование, связи.doc59kb.14.12.2004 15:11скачать
Тема 5.Лекция 9_Элементы теории управления.doc128kb.15.12.2004 18:30скачать
Тема 2.1-Методология.doc184kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.1-Математические модели.doc3616kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.2-СРС1-Моделирование на основе теории катастроф.doc122kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.2-СРС2-Связи между показателями.doc206kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.3-Формальная запись и общие св-ва.doc82kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.4-ГрафМодели-Орграфы.doc557kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.6-Сети GERT.doc366kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.6-Сети Петри.doc115kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.7-ММ ЧС.doc648kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.8-ММ управления рисками.doc308kb.14.12.2004 15:10скачать
Тема 2.2.8-ММ управления риском.doc253kb.14.12.2004 15:10скачать

Тема 2.2.3-Формальная запись и общие св-ва.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...
ТЕМА 2.2 Лекция 3.


  1. Уровни общности и абстрактности математических моделей

  2. Формальная запись модели.


1. Уровни общности и абстрактности математических моделей


Ранее уже говорилось о сложной структуре задач математического моделирования. Практически всегда создаются и разрабатываются общие модели, описывающие классы по крайней мере близких однотипных систем. Но уровни их общности различны. Можно создать модель давления коленчатого вала на поддерживающие его подшипники, ограничившиеся при этом силовыми и геометрическими характеристиками, типичными, скажем, для автомобильных двигателей. Но можно рассмотреть модель реакций вращающегося твердого тела – две модели будут очень близки, но, естественно, различны по уровню общности. Первую из них есть смысл рассматривать, если в ней учтены особенности, характеризующие именно дальний узкий класс систем.

Наибольший интерес представляют общие модели с достаточно высоким уровнем абстракции. Такие модели могут самостоятельно изучаться, анализироваться, дополняться доказанными свойствами и утверждениями. Сведения, полученные при теоретическом рассмотрении, будут применимы ко всем конкретным системам, содержащимся в них. Эти уровни общности и абстракции могут образовывать целые иерархические структуры, в которых переход к конкретной модели будет проходить в несколько этапов («спуск» ко все более и более частному).

Особенно широко распространено и известно исследование абстрактных математических моделей. Типичными с точки зрения практики являются модели в виде наборов формул, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, дискретных переходов, статистических описаний, аппроксимирующих представлений, описания игровых ситуаций и т.д. Можно говорить о ряде общих моделей в химии, физике, биологии, экологии.

Возвращаясь к превращению общей модели в конкретную, которое достигается наполнением ее информацией, отметим, что тот процесс не всегда прост, особенно при использовании неоднородной и объемной информации. Одновременно он настолько важен и ответствен, что ведет к самостоятельному исследованию понятий удобного хранения, выдачи и подготовки информации непосредственному использованию. В настоящий момент эти исследования образуют отдельную, ориентированную на ЭВМ область знания, называемую организацией банков (баз) данных (знаний).

Взаимоотношения этой новой области с системным анализом будут рассмотрены в главе 4, однако и до этого нам понадобится ряд новых понятий. Поэтому укажем, что данными обычно называют числовой и словесный (говорят также: фактографический) материал, который сам по себе не несет смысловой нагрузки. В противовес этому знаниями называют смысловой материал типа программных средств, методик, указаний, описания моделей.


2. формальная запись модели


1.3.3. Формальная запись модели. Эта запись традиционно занимает существенное место в общей теории систем, но понятна также и для анализа конкретной модели.

Сначала обозначим:

    • набор входных воздействий (входов) в системе – х+ и их допустимую совокупность – Х+, х+Х+;

    • набор выходных воздействий (выходов) в системе – всю их возможную совокупность – Х-, х-Х-;

    • набор параметров, характеризующих свойства систем постоянные вр все время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, - а и всю их допустимую совокупность – А, аА;

    • набор параметров, характеризующих свойства системы, меняющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния), - у и всю их допустимую совокупность – Y, y Y;

    • параметр (или параметры) процесса в системе п. 1.1.4) – t и всю их допустимую совокупность – Т, tT;

    • правило S (функция, оператор) определения параметра состояния системы по входам х+, постоянным параметрам и параметру процесса t. Заметим, что мы всегда будем различать величины и правило их определения. Здесь запись y = S(x+, a, t) означает нахождение параметров по этому правилу, в то время как о величине у можно говорить и вне правила ее определения;

    • правило ^ V (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x+, постоянным параметрам, параметру процесса t и параметрам состояния у, т.е. x- = V(x+, a, t, y);

    • правило W (функция, оператор) определения выходов характеристик системы по входам х+, постоянным параметра и параметру процесса t. Указанное правило V может быть получено подстановкой правила S в правило V, что дает исключение из него параметров состояния: x- = V(x+, a, t).

На основе введения вышеуказанных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж

Σ : x+, x-, a, t, y, S, V, V

x+X+, x- X-, aA, t T, y Y.

Поясним определение модели на ряде примеров.

Сначала рассмотрим упрощенную схему работы дизельного двигателя. В этом случае имеем:

    • входы (внешние воздействия): своевременная подача в меру сгорания газовой смеси определенного состава; внешний момент (нагрузка) в точке вывода мощности;

    • выход: мощность двигателя;

    • неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания, число и расположение цилиндров, степень сжатия; размеры и жесткость поршней, шатунов, коленвала, маховика и их частей силового механизма;

    • параметр процесса: время или угол поворота коленвала;

    • параметры состояния: температура и давление в камере сгорания; скорости (ускорения) движущихся частей, силы трения в двигателе;

    • правило S (уравнения состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;

    • правило V: запись мощности двигателя в виде функции скоростей движения частей силового механизма и внешнего коэффициента; она равна произведению угловой скорости коленвала внешнего момента;

    • правило V: запись мощности в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).

^ II пример.

Во втором, математическом примере рассмотрим в качестве цели систему дифференциальных уравнений решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.

В этом случае имеем:

    • входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение t1, до которого необходимо интегрировать систему;

    • выход: значение y(t1) = y1;

    • неизменные параметры системы: матрица А;

    • параметры состояния: вектор y;

    • параметр процесса – t;

    • правило S: решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента; y = y (t0,, y0,,A, f(t), t);

    • правило V: подстановка в решение дифференциального уравнения значения t1; y1 = y\t=t 1 ;

    • правило V: зависимость y1 = y(t0,, y0,, A, f(t), t1).

III пример.

Третий пример информационный. Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме. В этом случае:

    • входы: объем текста, численная оценка его сложности;

    • выход: длительность  составления резюме;

    • неизменяемые параметры здесь будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысленного чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности усредненное число переделок резюме;

    • параметры состояния определяют объем проделанной работы на данный момент t: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;

    • параметр процесса: стадия работы или время;

    • правило S: зависимость объема проделанной работы, объема и сложности текста, способностей человека, времени;

    • правило V: зависимость величины  от объема проделанной работы;

    • привило V: зависимость величины  от объема текста, сложности и способностей данного человека.

Восемь рассмотренных составляющих кортежа не являются универсальными и обязательными. Это просто наиболее удобные на практике составляющие. Их может быть как больше (см., например, ниже системы управлением), так и меньше. Минимальное число составляющих имеет модель «черного ящика»:


Σ : x+, x--, V,

где х- = V(x+).

Введение в рассмотрение «внутренности черного ящика» приводит к параметрам системы а, а типичное наличие процессов в системе – к параметрам состояния и процесса: у и t. На основании наличия процессов формулируются и правила S, V. Другими составляющими кортежа в определении модели могут быть входные случайные воздействия (представляющие собой часть входов х+), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделенные из параметров а), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием), управление и введенные для целенаправленных систем.

Пример с моделью в виде системы дифференциальных уравнений интересен тем, что если считать выходом не значение функции у в точке t1, а саму функцию, то мы получаем совпадение операторов S и V. Операторное равенство для V при этом является просто переобозначением: х- = у. Такое положение дел, когда выходом в системе служит параметр состояния, достаточно типично. Аналогичная ситуация уже отмечалась нами при определении цели системы в п. 1.1.5. Для этого случая можно вписать вместо (1.8) укороченный кортеж без правил S и V.

В примере с переработкой текста можно вполне обойтись без операторов S и V и строить сразу оператор V. Такая ситуация, когда удобно сразу. Без промежуточных стадий, искать основное правило V, тоже встречается нередко и аналогично случаю с системой дифференциальных уравнений ведет к кортежу без S и V. Кстати, именно этим объясняется наличие на первый взгляд «лишней» составляющей V в (1.8), ведь еще в определении этого правила мы подчеркнули, что оно выводило из предыдущих. Но именно типичность ситуации с отсутствием операторов S и V (или неудобство работы с ними) является основным оправданием практического удобства введения в кортежную запись модели.

Условность составляющих кортежа!

Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи происходит переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Так, некоторую мало меняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам системы а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. Математическим путем заменены переменной нередко меняющиеся местами параметр процесса и один из параметров состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.

Так, в примере о двигателе интересно разобрать вопрос о месте сил трения в кортеже. Напомним, что они отнесены к группе параметров состояния. Однако при широко используемой записи сил трения через кинематические величины и постоянные коэффициенты трения они могут быть выведены из рассмотрения с включением вместо них в список неизменяемых параметров системы указанных коэффициентов. Если же силы трения не зависят от кинематики, т.е. от состояния системы, то они могут считаться и входами. Если же нашей задачей будет исследование именно сил трения в двигателе, то эти силы станут выходами в системе.

лекция 7


1. общие свойства моделей

  1. Линейность и нелинейность

  2. Непрерывность и дискретность

  3. Детерминированность или стохастичность

  4. Стационарность и нестационарность

2. Модели с управлением

3. Имитационные модели


1. общие свойства моделей


Рассмотрим, как отражаются в кортежной записи ММ, рассмотренной на прошлой лекции, основные общие свойства системы.


^ 1.1. Линейность и нелинейность.

Первое такое свойство (1) - линейность или нелинейность. Оно обычно расшифровывается как линейная (нелинейная) зависимость от входов операторов S (линейность или нелинейность параметров состояния) или V (линейность или нелинейность модели в целом). Линейность может являться как естественным, хорошо соответствующим природе, так и искусственным (вводимым для целей упрощения) свойством модели.


^ 1.2 Непрерывность и дискретность

Второе общее свойство модели (2) – непрерывность или дискретность. Оно выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Y, X- ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность – к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействия и др.). В общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояния системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Например, замена непрерывной математической функции – на набор значений в фиксированных точках. (Пример: метод конечных разностей, МКЭ, расчет оболочки).


^ 1.2 Детерминированность и стохастичность

Следующее свойство модели (3) – детерминированность или стохастичность. Если в модели среди величин х+, a, y, x- имеют случайные, т.е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы (см. обсуждение принципа неопределенности в п. 1.2.2). Здесь подчеркнем, что с точки зрения практики граница между детерминированными и стохастическими моделями выглядит расплывчатой. Так, в технике про любой размер или массу можно сказать, что это не точное значение, а усредненная величина типа математического ожидания, в связи с чем и результаты вычислений будут представлять собой лишь математические ожидания исследуемых величин. Однако такой взгляд представляется крайним. Удобный практический прием состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа ее чувствительности. При значительных же отклонениях применяется методика стохастического исследования.


^ 1.4 Стационарность и нестационарность

Четвертое общее свойство модели (4) – ее стационарность и нестационарность. Сначала рассмотрим понятие стационарности некоторого правила (процесса). Пусть в рассматриваемом правиле присутствует параметр процесса, которым для удобства понимания будем считать время. Возьмем все внешние условия изменения данного правила одинаковыми, но в первом случае применяем правило в момент t0, а во втором – в момент t0 + Q. Спрашивается, будет ли результат применения правила одинаковым? Ответ на этот вопрос и определяет стационарность: результат одинаков, то правило (процесс) считается стационарным, а если различен – нестационарным. Если все правила в модели стационарны, то стационарной называется и сама модель. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени некоторых физических величин: стационарным является поток жидкости с постоянной скоростью, стационарна механическая система, в которой силы зависят только от координат и не зависят от времени.

Для отражения стационарности в формальной записи рассмотрим расширенный вид правила ^ S, в которое введена зависимость от начальных условий процесса t0, y0 и зависимость входов от параметра t:


y = S(x+ (t), a, t, t0, y0).


Тогда для стационарного процесса имеет место равенство


S(x+(t+), a, + , t0 + , y0) = S(x+(t), a, t, t0, y0).


Аналогично можно определить стационарность правил V и V.


Можно говорить также и пятом общем свойстве моделей. Это конечность или бесконечность числа входов, выходов, параметров состояния, постоянных параметров системы. Теоретически рассматриваются оба типа, но на практике работают лишь с конечномерными (конечными) моделями.


^ 2. модели с управлением


Если в формальную запись модели Σ : x+, x-, a, y, t, V, V включить правило перехода Su, которое позволяет выбором управления и из некоторой фиксированной совокупности U достигать значения параметра состояния yG, которое, в свою очередь, обеспечивает получение управляемых выходных воздействий f в виде fG, соответствующим выполнению цели G, то мы получим так называемую модель с управлением, кортежная запись которой


Σu : x+, x-,fG, a,u, t , y,Su, V, V,

x+X+, x- X-, aA, uU, t T, y Y.

Составляющая U указывает на те величины, объекты, которыми мы можем распоряжаться для выполнения цели G.

Отметить: здесь составляющая fG и есть сама цель G, записанная в виде требований на выходы модели.

Возникает вопрос: как превратить неуправляемую модель в управляемую? Для этого управления надо выделить из составляющих кортежа Σ : x+, x-, a, y, t, V, V. Такими составляющими являются:

Во-первых, входы x+; часть из них может стать управляемыми, контролируемыми (например, возможность выбора части сил, действующих на систему, посылки управляющих сигналов, допущение альтернативных решений):

Во вторых, параметры системы а, что особенно типично для процесса проектирования; при этом мы можем выбирать размеры тел, массы, материал и, тем самым, создавать систему с нужными свойствами.



Важно отметить следующее: в числе управлений, выделяемых из параметров а могут быть и такие, которые описывают структуру системы. Их выбор будет означать изменение структуры с целью достижения заданного свойства системы.



Выбор структуры – весьма актуальная на практике, но, к сожалению, плохо формализуемая операция. Поясним это на примере. Пусть мы проектируем конструкцию, на которую ставится некий прибор. Выберем стержневую форму конструкции – фиксируем число стержней и их расположение (т.е. выберем структуру). Поставим задачу о выборе параметров стержней неким образом, чтобы, скажем, минимизировать вес конструкции при заданной прочности. Это – управление при заданной структуре. Но ведь мы сами себя ограничили формой конструкции. Возьмем теперь другое расположение стержней или допустим использование пластин. Весьма вероятно, что здесь удастся добиться еще меньшего веса. Мы стали управлять путем выбора структуры. Отметим, что в данном конкретном случае и, к сожалению, в целом практически не существует методов, которые позволили бы осмысленно перебирать структуры из достаточно широкого класса. Как правило, указанные задачи решаются привлечением эвристических операций.


^ О пользе кортежной записи модели. Рассмотрев кортежную запись модели, а также различные свойства моделей на основании такой записи, мы можем сделать вывод, что уточнение математического вида совокупностей (множеств) x+, x-, a, y, t, U и отнесение правил S, V, V к определенным операторам и функциям приводят к строгой математической трактовке записей Σ : x+, x-, a, y, t, V, V и Σu : x+, x-,fG, a,u, t , y,Su, V, V превращает эти модели в модели высокого уровня.

Разбор конкретной модели с помощью кортежей состоит в отнесении различных величин, объектов, понятий к приведенным составляющим кортежей и оказывается эффективным средством уяснения «внутренности» системы, составления и коррекции ее модели, выявления важнейших сторон моделирования.

Продумывание списков существенных входов, выходов, процессов, параметров в системе позволяет выявить избыточность или недостаточность этих компонент модели, учитывать не принимавшиеся ранее во внимание обстоятельства и, тем самым, решать проблему обеспечения адекватности модели реальной системе.


Литература


  1. Губанов В.А., Захаров В.В., Коваленко А.Н. Введение в системный анализ.-Л: Изд. ЛГУ,1988.

  2. Природа моделей и модели природы /под ред. Гвишиани Д.М. – М.: Мысль, 1986.

  3. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии.-М.:Мир, 1981.



Скачать файл (1769 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации