Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Пределы - файл 1.doc


Лекции - Пределы
скачать (242 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc242kb.15.11.2011 22:19скачать

содержание
Загрузка...

1.doc

Реклама MarketGid:
Загрузка...

Предел и непрерывность.

Содержание:


  1. Предел функции

    1. Определения и примеры

    2. Свойства предела функции

    3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

    4. Критерий Коши о существовании предела функции

    5. Предел монотонной функции

    6. Сравнение функций

  2. Непрерывные функции

    1. Непрерывность функции в точке

    2. Точки разрыва

    3. Свойства функций, непрерывных в точке

    4. Глобальные свойства непрерывных функций
^

I Предел функции.

Определения и примеры.


Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E  R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

^ Определение 2 (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом limx af(x) = A, если

 > 0 ()>0: x: 0<|x-a|<  |f(x)-A|<

Пример 1. Доказать, что limx 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

 >0  ()>0  x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<

должно быть выполнено неравенство

|2x+3-5|< или 2|x-1|<.

Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2 выполнится, если /2. Если  = 0,1, то  = 0,05 , при  = 0,01,  = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении , зависящего от .

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

^ Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A  R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a,
если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f()  U(A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

^ Определение 5 (предел функции по Гейне). A=limx af(x)
означает, что

xn a при n ; xn a, f(xn)  A при n 

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности xn1 = 1/ n, xn2 = 1/(/2+2 n), которые обе сходятся к нулю при n. Тогда sin xn1 = sin  n=0, sin xn2 = sin (/2+2 n) = 1, Таким образом, f(xn1) и f(xn2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле

frame1, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q – множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|< равносильно двойному A-<f(x)<A+. Число A есть предел функции f(x) при x a, если для любого  >0 найдется такая  -окрестность точки a, что для всех x a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-<f(x)<A+ (см. рис. 14).



Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.

^ Определение 6 (предел функции в бесконечности).

limx f(x) = A,

если

 > 0  B() >0: x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| <

Определение 7.

limx af(x) = ,

если

A>0 (A) > 0: x 0<|x-a|< , |f(x)| > A

limx f(x) = , если A>0  B(A)>0: x |x|> B, |f(x)|> A

Аналогично формулируются определения при x, а также определения, когда A = .

Замечание. Изученное понятие предела последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при x.

Пример 4. Доказать, что limx 11/(x-1)2 = + 

 > 0 ()>0: x 0<|x-1|< выполняется 1/(x-1)2> 
1/|x-1|2>1/ 2> 



Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть limx a-0f(x) = A – предел слева или limx a+0f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если limx a-0f(x) = limx a+0f(x) = A, то limx a = A. Верно и обратное утверждение.

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 21/x, при x  0.
limx 0-021/x = limx 0-02- = 0
limx 0+021/x = limx 0+02+ = + 

Пределы не равны, следовательно limx 0 21/x не существует.
^

Свойства предела функции.


Теорема 1 (свойства предела функции).

  1. Если  limx af(x) = A , то найдется окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция f(x) будет ограничена.

  2. Если f(x) есть постоянная A в некоторой окрестности точки a, то limx af(x) = A

  3. Если limx af(x) = A1 и limx af(x) = A2, то A1 = A2

Утверждения данной теоремы вытекают из определения предела функции.

^ Теорема 2 (арифметические операции над пределами). Если limx af(x) = A, limx ag(x) = B, то

  1. limx a[f(x) g(x)]=A B,

  2. limx af(x)g(x) = AB

  3. limx af(x)/g(x) = A/B, B  0

Эта теорема непосредственно следует из соответствующей теоремы о пределах последовательностей.

^ Теорема 3 (предел и неравенства). Пусть f:E R, g:E R, h:E R

  1. Если limx af(x) = A, limx ag(x) = B и A<B, то : x f(x)<g(x).

  2. Если для x E f(x)  g(x)  h(x) и существует limx af(x) = limx ah(x) = A. то существует limx ag(x) = A

Пример 6. (Первый замечательный предел)

limx 0(sin x)/x = 1

Доказательство.

  1. Покажем, что

cos 2x<(sin x)/x<1 при 0<|x|</2.

Так как cos2x,(sin x)/x - четные функции, то достаточно рассмотреть случай 0<x</2. Из рис. 15 и определения функций cos x и sin x, сравнивая площади сектора OCD, треугольника  OAB и сектора OAB, найдем





Разделив эти неравенства на (1/2) x, получим требуемый результат.

  1. Из выше полученного результата следует, что

|sin x||x| x R.

  1. Из 2) по теореме о предельном переходе в неравенствах вытекает, что

lim x 0sin x = 0.

  1. Теперь покажем, что

limx 0(sin x)/x = 1.

Cчитая, что |x|</2, в силу полученного в 1) неравенства имеем

1-sin2x<sin x/x<1.

Но limx 0(1-sin 2x) = 1, значит, по теореме о предельном переходе в неравенствах следует, что

limx 0(sin x)/x = 1.

Следствие 1.

limx 0(tgx)/x = 1
limx 0(arcsin x)/x = 1
limx 0 (arctgx)/x = 1

Пример 7. Найти

  1. limx 0(sin 6x)/4x;

  2. limx 0(1-cos x)/x2.

Решение.

limx 0(sin 6x)/4x = (3/2) limx 0(sin 6x)/6x = 3/2;
limx 0(1-cos x)/x2 = limx 0 (2sin2 x/2)/x2 =
=
(1/2)limx 0(sin2x/2)/(x/2)2 = 1/2.

Пример 8. (Второй замечательный предел)

e = limx (1+1/x)x

Как получена данная формула можно найти в книге Зорича В.А.
"Математический анализ" ч.1.

Если в данной формуле положить y = 1/x, то получим вторую запись данной формулы.

limx 0(1+x)1/x = e.

Пример 9. Найти

  1. limx(1+5/x)3x;

  2. limx 0(1-3x)2/x.

Решение.

  1. limx(1+5/x)3x = limx (1+5/x)(x/5)(5/x)(3x) = limx(1+5/x)(x/5)15 = e15;

  2. limx 0(1-3x)2/x = limx 0(1-3x)(-1/(3x))(-3x) · (2/x) = limx 0(1-3x)(-1/(3x))(-6) = e-6.

Упражнение 1. Доказать теоремы 1,2,3.
^

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.


Определение 8 (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x a, если

limx af(x) = 0

Пример 10.
f
(x) = 1/x, x 
f(x) = x2, x  0
f(x) = 1-cos x, x  0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция  (x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+, где limx a (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

  1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

  2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

  3. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует limx a(x) = 0, следует, что >0 1()>0 такое, что  x: 0<|x-a|<1 выполняется неравенство
|(x)|< /2. Аналогично, из существования предела limx a (x) = 0, следует >0 2()>0 такое, что  x: 0<|x-a|<2
выполняется неравенство |(x)|< /2. Тогда  x: 0<|x-a|< = min{1,2} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

|(x)+(x)| |(x)|+|(x)|<.

Определение 9 (бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа  найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:

limxf(x) = >0 ()>0  x:|x|> |f(x)|>.

Предложение 1. (x) бесконечно малая функция при x a  1/(x) — бесконечно большая при x a

Пример 11. y = x2 – бесконечно малая функция при x  0 , а y = 1/x2 – бесконечно большая при x  0.
^

Критерий Коши о существовании предела функции.


Определение 10 (условие Коши). Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа  найдется положительное (), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию

0<|x1-a|<, 0<|x2-a|<,

справедливо неравенство

|f(x1-f(x2)|<.

Теорема 5 (Критерий Коши). . Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a ( limx af(x) = A ) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши.

Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого(левого) пределов в точке a, предела при x().
^

Предел монотонной функции.


Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E R

  1. Если для любых x1, x2 E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

  2. Если для любых x1, x2 E при x1<x2 выполняется f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

M(m) R x X f(x) M (f(x) m).

Определение 13. Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е.

M, m R x X m f(x) M .

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

  1.  x X  f(x) M (f(x) m);

  2.  >0  x0 X: f(x0)>M- (f(x)<m+) (см. рис. 16).



Предположим, что числа (или символы ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

^ Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E R имела предел при x s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
^

Сравнение функций.


Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, >0, такие, что |f(x)| c |g(x)| при |x-a|<, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x a.

Данное определение переносится и на случай, когда x, x.

Пример 12.

  1. Так как |1/x2|  |1/x| при |x|  1, то 1/x2 = O(1/x) при x ;

  2. 1/x = O(1/x2) при x 0 так как |1/x| 1/x2 при |x| 1.

Запись f=O(1) при x a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x a f и g — одного порядка при x a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x  0 являются бесконечно малыми одного порядка при x a , так как

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x|  3  f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x|  1  g=O(f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x a, если (x): f(x) =  (x)g(x), где limx a (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x a, если предел их отношения при x a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

frame3tg x ~ x, x  0, arcsin x ~ x, x  0, arctg x~ x, x  0

ex-1 x, x 0

frame4

frame5Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел

limx af1(x)/g1(x),

то существует

limx af(x)/g(x),

причем

limx af1(x)/g1(x) = limx af(x)/g(x).

Пример 14. Найти предел

limx 0(ln cos x)/sin x2

Решение. Для решения воспользуемся асимптотическими равенствами (1), (2)

limx 0(ln cos x)/sin x2 = limx 0 (ln(1-2sin2x/2))/x2 =

= limx 0(-2sin2x/2)/x2 = -2limx 0(x2/4)/x2 = -1/2.

Определение 18 (символ о). Говорят, что функция f является бесконечно малой по сравнению с g при x a, и пишут f=o(g), x a, если выполнено соотношение f(x) = (x)g(x), где limx a (x) = 0. Иначе говоря limx a f(x)/g(x) = limx a (x) = 0.

Пример 15.

  1. x2 = o(x) при x  0, так как limx 0x2/x = limx 0x = 0;

  2. 1/x2 = o(1/x) при x  так как limx x/x2 = limx 1/x = 0

Справедлива теорема.

Теорема 8. Для того, чтобы функции f(x), g(x) были эквивалентными при x a необходимо и достаточно, чтобы при x a выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x)+o(g(x))

или

g(x) = f(x)+o(f(x)).

Заметим, что функции g(x) в первом условии и соответственно функция f(x) во втором называются главной частью функции f(x) (g(x)).

Пример 16.

  1. Функция x – главная часть функции sin x при x 0, так как sin x = x+o(x) при x 0;

  2. Если Pn(x) = anxn+...+a1x+a0, an 0, то функция anxn является главной частью Pn(x) при x, так как Pn(x) = anxn+o(xn) при x.

Метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычислению пределов.

Пример 17. Найти предел



Решение. Используя асимптотическое равенство (3) и асимптотическое равенство (1), а также учитывая, что x2 = o(x) при x 0 (см. пример 15) и f=o(x2) является функцией o(x) при x 0, найдем



Определение 19. Если f=o(g) при x a и g(x) - бесконечно малая при x a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x a.

Пример 18. x2- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x 0

Определение 20. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x a и f=o(g) при x a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f .

Пример 19. Функции f=x3+x2+2x+1, g=x4+3x2 -бесконечно большие при x, и так как limx f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().

Предложение 2.

  1. o(f)+o(f) = o(f)

  2. o(f) тем более есть O(f)

  3. O(f)+O(f) = O(f)

  4. Если g 0, то o(f)/g=o(f/g), O(f)/g=O(f/g).

Найти пределы функций:

  1. limx 1(4x5+9x+7)/(3x6+x3+1);

  2. limx 2(x3+3x2-9x-2)/(x3-x-6);

  3. limx 0(-3)/x;

  4. limx(-5x);

  5. limx()/(4x+2);

  6. limx52x/(x+3);

  7. limx/6(sin (x-/6))/(-2cos x);

  8. limx 0(tg x-sin x)/x3;

  9. limx 0(1-cos x)/x2;

  10. limx(1+1/x)7x;

  11. limx(x/(1+x))x;

  12. limx 0ln(1+x)/(3x-1);

  13. limx 0(e4x-1)/tg x;

  14. limx e(ln x-1)/(x-e);

  15. limx((2x2+3)/(2x2+5))8x2+3;

  16. limx 1(1+sin  x)ctg x.
^

II Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке


Пусть f:E R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке). Функция
f(x) называется непрерывной в точке a, если

U(f(a))  U(a) (f(U(a)) U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке – " (ср. с определением предела по Коши.)

^ Определение 22 (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если  > 0 ()>0:  x удовлетворяющих условию |x-a|< , выполнено неравенство
|f(x)-f(a)|< 

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a) U(f(a)),  U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E R непрерывна в a E, где a- предельная точка E
 limx af(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

limx af(x) = f(limx ax),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.

Приведем еще одно определение непрерывной функции.

^ Определение 23 (непрерывность "на языке приращений").
Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие

lim x 0 y = 0,

где  y = f(a+ x)-f(a).

Пример 20. Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно,

|sin x-sin a| = 2|cos((x+a)/2)sin ((x-a)/2)| 2|sin((x-a)/2)|
|x-a|/2 = |x-a|<,

как только |x-a|<.

Пример 21. Любая последовательность f:N R есть функция, непрерывная на множестве N, так как каждая точка множества N является его изолированной точкой.
^

Точки разрыва


Пример 22. Исследовать на непрерывность

frame6(рис. 17)



По графику видно, что функция не является непрерывной в точке x = 0. Существуют односторонние пределы функции справа и слева в точке x = 0, которые не равны limx -0f(x) = -1 и limx +0f(x) = 1. То есть определение непрерывной функции в точке не выполнено и точка x = 0 - точка разрыва функции.

Определение 24. Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке.

Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва:

^ Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если

>0 ()>0  x E : |x-a|< |f(x)-f(a)|>.

Различают точки разрыва первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при x a, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует). Так в примере на рис. 15 x = 0 является точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва, когда предел функции при x a существует, но в точке a функция либо неопределена, либо f(a) lim x af(x).

Замечание. В точке устранимого разрыва функцию f(x) можно доопределить так, чтобы она стала непрерывной, положив
f(a) = limx af(x).

Пример 23.

frame8Так как limx asin x/x = 1, то x = 0 является точкой устранимого разрыва.

Пример 24. Функция Дирихле разрывна во всех точках и все точки разрыва второго рода, так как на любом интервале есть рациональные и иррациональные числа.
^

Свойства функций, непрерывных в точке


Отметим основные локальные свойства непрерывных функций.

Теорема 9 (локальные свойства непрерывных функций).

  1. Пусть функция f:E R непрерывна в точке a. Тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

  2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то в некоторой окрестности точки a все значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a).

  3. Если f(x), g(x) - непрерывны в точке a, то функции: f(x)+g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (при g(a) 0 ) непрерывны в точке a.

  4. ^ Если функция g(x):Y R непрерывна в точке b Y, а функция f:E Y непрерывна в точке a, f(a) = b, тогда композиция g° f также непрерывна в точке a.

Данная теорема следует из определения непрерывности функции и соответствующих свойств предела функции.
^

Глобальные свойства непрерывных функций


Определение 26 (непрерывность функции на множестве).
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x) CX.

Определение 27. Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] обозначается следующим образом: f(x) C[a,b].

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций.

^ Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

  1. (Первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(x) C[a,b], то она ограничена на [a,b] (см. рис. 18).



  1. (Вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x) C[a,b], то она достигает на [a,b] своих точных верхней и нижней граней (рис. 19)



  1. (Теорема Коши) Если f(x) C[a,b] и f(a)f(b)<0, то существует c [a,b] f(c) = 0 (см.рис. 20).



Замечание.

  1. Функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут принимать точную верхнюю и точную нижнюю грани, например функция Дирихле.

  2. Если в условиях теоремы отрезок заменить на интервал, то теорема будет неверна, например, функция 1/x на интервале (0,1) непрерывна, но не является ограниченной; функция y = x на интервале (0,1) не достигает своих точных граней.

Пример 25. Исследовать на непрерывность в точке x = 0 и установить характер разрыва функции в этой точке:

  1. f(x) = 1/(1+21/x)

Решение.

limx -01/(1+21/x) = 1
limx +01/(1+21/x) = 0,

так как

limx +021/x = , limx -021/x = 0.

Следовательно, f(x) в точке x = 0 имеет разрыв первого рода.



  1. frame10Решение. Заметим, что на интервалах (-,1), (1,3), (3,) функция непрерывна. Поэтому разрывы возможны лишь в точках x = 1, x = 3, в которых изменяется аналитическое задание функции.

  2. limx 1-01/5(2x2+3) = 1;
    limx 1+0(6-5x) = 1;
    f(1) = 1.

  3. Таким образом в точке x = 1 функция непрерывна. Так как

  4. limx 3-0(6-5x) = -9;
    limx 3+0(x-3) = 0,

  5. то точка x = 3 - точка разрыва первого рода.

Упражнение 2. Исследовать на непрерывность



  1. frame12f(x) = E(x)- целая часть числа;

  2. f(x) = arctg 1/(x-5) в точке a=5;



frame14



Скачать файл (242 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации