Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

40 задач по высшей математике с решениями. Экзаменационные вопросы с ответами - файл 106022 а_ответы на вопросы 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия.doc


40 задач по высшей математике с решениями. Экзаменационные вопросы с ответами
скачать (3511.5 kb.)

Доступные файлы (7):

106022 а_ответы на вопросы 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия.doc444kb.14.06.2010 13:37скачать
106022 а_ответы на вопросы 2 Функции.doc63kb.14.06.2010 13:37скачать
106022 а_ответы на вопросы 3 Дифференциальное и интегральное исчисления.doc564kb.14.06.2010 13:37скачать
106022 а_ответы на вопросы 4 Дифф. ур-я.doc74kb.14.06.2010 13:37скачать
106022 а_ответы на вопросы 5 Ряды.doc111kb.14.06.2010 13:37скачать
106022 а_ответы на вопросы 6-7 компл анализ и теор вероят и мат стат.doc863kb.14.06.2010 13:37скачать
математика106022б.doc714kb.14.06.2010 13:37скачать

содержание

106022 а_ответы на вопросы 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия.doc

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по курсу «МАТЕМАТИКА»

Специальность «ЭКОНОМИСТЫ УПРАВЛЕНИЯ»

ТИУиБ (50 часов)


1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия


  1. Понятие матрицы. Ее виды и элементы.


Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = nее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением: А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадратной матрицы

(1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ аn1 а(n-1)2 a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.


  1. Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования.


Определение: Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается АT. Т.е., если исходная матрица имеет вид



то



Транспонированная матрица обладает следующими свойствами:

  • дважды транспонированная матрица равна исходной матрице, т.е. T)T=A;

  • при транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций;

  • симметрическая матрица не изменяется при транспонировании.




  1. Свойства определителей.


Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т



Следствие:

Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.

Свойство № 2: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:



Свойство № 3: Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.



Свойство № 4: Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.



Следствия из свойств № 3 и № 4: Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.


Свойство № 5: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 6: Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:



Свойство № 7: Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.



  1. ^ Определители второго и третьего ранга.


В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков. Рассмотрим основные правила их вычисления.

Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу:



или схематично



(4.1)

Соответствующее правило вычисления для определителя третьего порядка имеет вид:





(4.2)

При его вычислении часто удобно пользоваться мнемоническим правилом Саррюса:



(4.3)

приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей.

В общем случае для вычисления определителя n - го порядка справедлива.

^ Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения.

Таким образом, для определителя (3.1) справедливы следующие разложения:

разложение по i-ой строке



(4.4)

разложение по j -ому столбцу



(4.5)




  1. ^ Понятие минора и алгебраического дополнения элемента аij матрицы.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:



тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель:



При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:





знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij.

Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. ^ Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.



  1. Правило Лапласа.


^ Теорема Лапласа

Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1£k£n-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA= (1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1£j1<j2<…<jn£n

Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i1,…ik.


  1. ^ Обратная матрица.


Теорема. Всякая невырожденная (т.е. определитель которой отличен от нуля) квадратная матрица A имеет обратную матрицу A-1, которая находится по формуле:



(5.1)

при этом A٠A-1=A-1٠A=E.

Правило (алгоритм) нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица .

Шаг 1-ый. Вычислим det(A) и убедимся при этом, что det(A)≠0 , то есть матрица A - невырожденная.

Шаг 2-ой. Подсчитаем алгебраические дополнения Aij для всех элементов aij матрицы A и составляем матрицу

.

Шаг 3-ий. Транспонируем матрицу и образуем присоединенную матрицу



Шаг 4-ый. Составляем обратную матрицу по следующему правилу:



(5.2)

  1. Алгоритм вычисления обратной матрицы.




  1. Находим определитель матрицы, т.е..

  2. Находим транспонированную матрицу, т.е..

  3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

  4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

  5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.




  1. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.


Рангом r(A) матрицы A называется самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r равен нулю. Имеет место

^ Теорема о ранге матрицы: Ранг r матрицы A равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк).

Лемма. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице.

Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают равным нулю. Если r(A)=r(B), то матрицы A и B называются эквивалентными. В этом случае пишется: A ~B.

 Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований.

Под элементарными преобразованиями понимается:

А) замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими строками;

Б) перестановка строк (столбцов) матрицы;

В) вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы которого равны нулю;

Г) умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на число, отличное от нуля

Д) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов другого параллельного ряда.

Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы; переходя от матрицы A к матрице A1 и т.д., с помощью эквивалентных преобразований, мы получаем, вообще говоря, разные матрицы, но эти матрицы имеют один и тот же ранг. Действительно, сравнивая эквивалентные преобразования матрицы со свойствами определителя видим, что определитель, не равный нулю, и в ходе эквивалентных преобразований остается отличным от нуля.

Если матрица n -го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, то её определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство используется при вычислении ранга матрицы: необходимо привести матрицу к верхней треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдем, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля (или порядку найденного максимального минора M≠0).

  1. ^ Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а A1 - расширенная матрица системы.

,

(8.1)

Число уравнений СЛАУ равно числу неизвестных: m=n.

Теорема (правило Крамера): Система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в случае, когда определитель матрицы системы отличен от нуля



совместна и имеет единственное решение: для всех j: j = 1, 2, 3,…,n.

Здесь через Dj обозначен определитель матрицы, получаемой из матрицы c заменой j-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при определяемом неизвестном) столбцом свободных членов, т.е.



(8.1.1)

  1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и матричным методом.
^

Метод Гаусса.


Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

i=1,…..,m; j=1,…..,n,                     (1)

Пусть. Разделим все члены первого уравнения на :

                                                               (2)

Где

(j =1,2…n + 1),                                                                      (3)

Рассмотрим i-е уравнение системы(1):

                                                            (4)

Для исключения из этого уравнения х1 умножим уравнение (2) на
и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

                                                                    (5)

где                                                     (6)

Таким образом, получаем укороченную систему

                                                                  (7)

коэффициенты которой определяют по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент , то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное х2, причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных х12,...хn рассмотрим уравнения

                                                              (8)

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход):

                                (9)

Заметим, что операции (9) выполняются без деления.
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Матричный метод.

Запишем систему (1) в матричном виде:
AX=B, где



Рассмотрим случай, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений.
Тогда решение системы находится по формуле:

A-1B=X


  1. ^ Векторы на плоскости и в пространстве.



Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию

х • а + у • b = 0,                                 (1)

то х = 0 и у = 0.

В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1) слeдует, что

а = -  y/x • b

А это противоречит   тому,   что векторы а и b неколлинеарны. Таким образом, х = 0.

Аналогично доказывается, что и у = 0.

Говорят, что вектор а является линейной комбинацией векторов a1, a2, a3, ..., an, если он представим в виде

а = x1a1+ x2a2+ x3a3+ ...+ xnan,

где x1 , x2 ,..., xn — некоторые числа.

Так, вектор а = 3a1 — 5a2 + 1/2 a3 есть линейная комбинация векторов a1, a2 и a3.

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

.             m = х • а + у • b.         (2)

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем

т =  х • а  = х • а  + 0 • b.

Тем самым вектор т представлен в виде (2).

Если же вектор т не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис. 25), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем

m =  OE> +  OF>.



Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что OE>= ха,  OF> = yb, откуда и вытекает равенство (2).

Докажем единственность такого представления. Пусть

т = x1a  + у1b   и   т = x2a  + у2b.

Тогда (x1 — x2)а + (у1 — у2)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x1 = x2 и у1 = у2. Единственность доказана.

Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть e1 и e2 — некоторый базис и а — произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что

а = хe1 + уe2.

Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).

  1. ^ Основная задача межотраслевого баланса.


Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как X=(E-A)-1Y.

Матрица D=(E-A)-1 называется матрицей полных затрат.

  1. ^ Теорема Кронекера-Капелли.



Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

 

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

  1. ^ Размерность и базис векторного пространства.


Векторное пространство  называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Размерность пространства  условимся обозначать через dim.

Например, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3.

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространства  называется его базисом.

Теорема 1. Каждый вектор  линейного n- мерного пространства  можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Пусть  - произвольный базис пространства  и . Так как любые n+1 векторов пространства  линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы , т.е. существуют не равные одновременно нулю числа , такие, что

.

При этом , в противном случае хотя бы одно из чисел  было бы отлично от нуля, и вектора  были бы линейно зависимы. Следовательно, .

Полагая , будем иметь .

Это представление  через  единственно. Доказывается от противного. Числа  называются координатами вектора  в базисе .

Теорема 2. Если  - линейно независимые векторы пространства  и любой вектор  линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в .

Доказательство. Векторы , по условию, линейно независимы. Покажем, что в пространстве  нет более чем n линейно независимых векторов. Выберем произвольные  векторов из : . По условию, каждый из них можно линейно выразить через :



Рассмотрим матрицу:

.

Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n, то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно, линейно зависимы и векторы . Итак, пространство  n – мерно и  - его базис.

  1. Переход к новому базису.


Пусть в пространстве  имеется два базиса:  и .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы



При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица  называется матрицей перехода от базиса  к базису .

Определитель матрицы  не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.

Обратно, если , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы , получающиеся из базисных векторов  с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть  в старом базисе и  - в новом. Подставляя в последнее равенство вместо  их выражение из (5.1), получим, что



        Таким образом, старые координаты вектора  получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.


  1. Линейные операторы.


Определение 1. Линейным оператором в линейном n- мерном пространстве Rn называется всякое отображение A: Rn Rn пространства Rn в себя, обладающее свойствами:



Пусть А - линейный оператор в Rn и В = {e1, e2,..., еn} - некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Aek, k = 1, 2, ..., n по базису B:



Тогда матрица



называется матрицей оператора А в базисе В, причем



(Матрица состоит из вектор-столбцов AeRk, k = 1, 2, ..., n.)

Определение 2. Пусть число и вектор х RRn, х 0, таковы, что Ах = х. Тогда число называется собственным числом линейного оператора А, а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .

В линейном n-мерном пространстве Rn это векторное равенство эквивалентно матричному (А - Е)Х = 0, X 0.

Отсюда следует, что число есть собственное число оператора A в том и только в том случае, когда det (А - Е) = 0, т. е. есть корень многочлена

() = det(А - Е),

называемого характеристическим многочленом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора, соответствующего собственному числу , есть некоторое ненулевое решение соответствующей однородной системы линейных алгебраических уравнений.

  1. ^ Квадратичные формы.


Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2

Ф(х1, х2) = а11  ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х1 и х2.

 

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3



не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

 



 


  1. ^ Уравнение линии.


Понятие "уравнение линии" - есть основное понятие аналитической геометрии. Из него вытекают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости:

А) Дана линия, рассматриваемая как множество точек. Составить алгебраическое уравнение этой линии.

Б) Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению её геометрические свойства: форму и расположение.

Линия называется линией n-го порядка (n=1, 2, 3, …), если она определяется уравнением n-ой степени относительно текущих прямоугольных координат.

Ax+By+C=0 - кривые первого порядка;

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 - кривые второго порядка.

Кривая первого порядка - есть прямая линия.

  1. ^ Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.


Общее уравнение прямой

Всякое невырожденное уравнение первой степени Ax+By+C=0 () представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Oxy есть общее уравнение прямой линии.
^

Уравнение прямой в отрезках


Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

, где



Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

            Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

            С = 1, ,       а = -1,   b = 1.

 

  1. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.


Условия параллельности прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями

(1)

с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.     (2)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде

A1x + B1y + C1 = 0,         

A2x + B2y + C2 = 0,     (3)

необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (3)

^ Условия перпендикулярности прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (1) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (5)

  1. Точка пересечения прямых.



A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Если , то координаты точки пересечения прямых находятся путем совместного решения уравнений этих прямых: преобразуем последовательным исключением



 и .

Здесь возможны три случая:

1. прямые не параллельны, координаты точки пересечения даются вышеприведенными формулами.

2. , а прямые параллельны.

3. прямые сливаются друг с другом, т.е. имеется бесчисленное множество точек пересечения.

  1. ^ Окружность и эллипс.


Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)2 + (y - b)2 = r2,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x2 + y2 = r2.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса



где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a2 - b2 = c2.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси



У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.



  1. Гипербола и парабола.


Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы



Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a2 + b2 = c2.

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x2 - y2 = a2.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.



Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями



Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.


Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y2 = 2px.     (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы (*) . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)



Эксцентриситет параболы e = 1.


y2 = 2px (p > 0)


  1. Общее уравнение плоскости.



Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)



где - нормальный вектор плоскости.

     В векторном виде .



     Частные случаи общего уравнения плоскости:

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.

  1. Прямая в пространстве.


Пусть прямая задана в виде , причем - единичный вектор, т.е. m,n,p - направляющие косинусы.

. Разрешим эту систему относительно x и y: , или - уравнение прямой в проекциях. Заметим, что - точка пересечения этой прямой с плоскость xOy.

Пусть даны 2 прямые , . Угол между ними равен углу между их направляющими векторами, т.е. его косинус равен . Если , то прямые перпендикулярны. Если , то прямые параллельны.

Пусть заданы прямая и плоскость . Тогда синус угла между прямой и плоскостью равен . Условие параллельности: , перпендикулярности: .


Скачать файл (3511.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации