Билет по матану - Вариант №20 - ЭкзаменМатанализ1семСибГУТИ(ДО).doc

Билет по матану - Вариант №20
скачать (76.7 kb.)

Доступные файлы (1):

ЭкзаменМатанализ1семСибГУТИ(ДО).doc

267kb.

10.02.2010 23:02

скачать

содержание

ЭкзаменМатанализ1семСибГУТИ(ДО).doc

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Экзаменационное задание

по Математическому анализу

1 семестр.

Выполнил:

Группа:

Проверил: ___________________

Новосибирск, 2007

1 курс 1 семестр. «Математический анализ». Экзамен

Билет № 20

1. Методы интегрирования иррациональных функций.

2. Экстремумы функции двух переменных и их нахождение.

3. Исследовать и построить график функции

.

4. Вычислить предел

.

5. Найти интеграл

6. Вычислить интеграл

7. Исследовать сходимость интеграла

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.

1. Методы интегрирования иррациональных функций.

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Сейчас мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.

1) Рассмотрим интеграл

, где ^ R-рациональная функция своих аргументов ^*).

^* Запись указывает, что над величинами, производятся только рациональные операции. Точно также следует понимать в дальнейшем записи вида и т.д. Так, например, запись R(sinx,cos x)указывает,что над sinx и cos x производятся рациональные операции.

Пусть R-общий знаменатель дробей m/n,…r/s.Сделаем подстановку

.Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример 1. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Общий знаменатель дробей 1/2,3/4, есть 4; поэтому делаем подстановку

; тогда

.

2) Рассмотрим теперь интеграл вида

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где

- общий знаменатель дробей m/n,…r/s.

Пример 2. Требуется вычислить интеграл

.

Решение. Делаем подстановку

тогда

2. Экстремумы функции двух переменных и их нахождение.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

,

то точка М₀ называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю ,

либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1) Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

^ Условный экстремум.

Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение j(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.

Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Тогда u = f(x, y(x)).

В точках экстремума:

(1)

Кроме того:

(2)

Умножим равенство (2) на число l и сложим с равенством (1).

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент l так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум.

Выражение u = f(x, y) + lj(x, y) называется функцией Лагранжа.

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

2x + 3y – 5 = 0

Таким образом, функция имеет экстремум в точке

.

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

3. Исследовать и построить график функции

.

План общего исследования функции.

Область определения и точки разрыва
Четность
Периодичность
Определение пересечения с осями координат
С помощью первой производной – монотонность и экстремумы.
С помощью второй производной – выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
Построить график функции.

1) Область определения, четность, периодичность.

Область определения функции лежит

- точек разрыва нет,

значит, и нет асимптот.

2) Четность

ф-ция ни четна ни нечетна

3) функция непериодична, т.к. зависит от x.

4) Найдем точки пересечения с осью 0x(x;y)

;

Найдем точки пересечения с осью 0y(x;y)

5) Найдем точки экстремумов функции.

Необходимый признак экстремума, если x₀-точка экстремума.

; т.к. производная функции в точке экстремума равна нулю (y^’=0) , то

, найдем Корни кв.уравнения

; отсюда следует, что

точки экстремумов функции

6) Выпуклость и вогнутость графика.

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

подставим значения экстремумов в производную функции второго порядка и решим ур-е

,

при x=-1,5; y”=7 функция при x=-1,5 – вогнутая,

при x=2; y”=-7, значит функция при x=2 – выпуклая.

Построим график функции

4. Вычислить предел

при

, поэтому можно записать

(по таблице экв. бесконечно малых величин) и

, отсюда следует, что

Ответ:

5. Найти интеграл

Сделаем замену: arctgx=t

Тогда

Сделав обратную замену t=arctgx получим:

Ответ:

6. Вычислить интеграл

Сделаем замену : sinx=t; cosxdx=dt

При x=0 t=0, при x=

t=1

Ответ:

7. Исследовать сходимость интеграла

В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Этот интеграл сходится, если p > 1, и расходится, если :

При больших значениях