Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Корнеев, С.А. Техническая теория стержней. Применение обобщённых функций для решения задач сопротивления материалов - файл ИТОГ.docx


Корнеев, С.А. Техническая теория стержней. Применение обобщённых функций для решения задач сопротивления материалов
скачать (1468.1 kb.)

Доступные файлы (1):

ИТОГ.docx1765kb.12.05.2011 19:18скачать

содержание
Загрузка...

ИТОГ.docx

  1   2   3   4   5   6
Реклама MarketGid:
Загрузка...


Министерство образования и науки Российской Федерации


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»


С. А. Корнеев


Техническая теория стержней.
применение обобщённых функций
для решения задач
сопротивления материалов



Учебное пособие


Омск
Издательство ОмГТУ
2011



УДК 539.3/.6

ББК 30.121

К67


Рецензенты:

С. А. Макеев, д-р техн. наук, профессор,
кафедра «Строительные конструкции» СибАДИ;

^ С. П. Андросюк, канд. техн. наук, доцент,
кафедра «Прикладная математика и механика» ОмГУПС


Корнеев, С. А.

К67 Техническая теория стержней. Применение обобщённых функций для ре

шения задач сопротивления материалов : учеб. пособие / С. А. Корнеев. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. – 84 с.


ISBN 978-5-8149-1082-0


Учебное пособие охватывает один из основных разделов сопротивления материалов – техническую теорию стержней. Сформулированы общие понятия и положения. При выводе основных формул и полной системы уравнений механики стержней учтены тепловые эффекты, влияние динамических факторов. Приведены сведения о свойствах обобщённой функции Дирака и единичной функции Хевисайда, на базе которых строится унифицированный метод решения практических задач.

Предназначено для студентов машиностроительных специальностей элитного образования ОмГТУ и магистрантов. Может быть полезно также для студентов, изучающих дисциплины «Прикладная механика» и «Сопротивление материалов», при выполнении УНИРС.


УДК 539.3/.6

ББК 30.121


Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета



ISBN 978-5-8149-1082-0



ОГЛАВЛЕНИЕ

 7

1. Основные понятия и определения 8

1.1. Геометрические характеристики сечений 8

1.2. Классификация стержней 10

1.3. Классификация сил 10

1.4. Уравнения равновесия 12

 13

1.5. Напряжения 13

1.6. Интегральные характеристики напряжений
(внутренние усилия) 14

1.7. Метод определения внутренних усилий 15

1.8. Закон Гука при растяжении 17

1.9. Закон Гука при сдвиге 19

 20

1.10. Гипотеза плоских сечений 20

 22

2. Математическое моделирование
растяжения, кручения и изгиба
прямых Стержней
с учётом температурных эффектов
(малые перемещения) 22

2.1. Статические (динамические) уравнения 22

2.2. Геометрические уравнения 27

2.3. Физические уравнения 31

2.4. Полная система дифференциальных уравнений
технической теории стержней 33

3. Условия прочности и жёсткости 34

3.1. Критерий прочности Губера – Мизеса 35

 38

3.2. Формулировка критерия прочности
для частных случаев напряжённого состояния стержня 38

 40

4. Единое представление распределённой
нагрузки и характеристик жёсткости
стержней через обобщённые функции
Дирака и Хевисайда 40

 41

4.1. Обобщённые функции Дирака и Хевисайда 41

 47

4.2. Табличные интегралы
и их практическое применение 48

 49

4.3. Формулировка силовых граничных условий 49

 50

5. Типовые примеры решения
задач сопротивления материалов 50

5.1. Расчёт балки на изгиб 50

5.2. Расчёт ступенчатых стержней на растяжение 51

 54

5.3. Расчёт разрезной балки на изгиб 54

 57

Контрольные вопросы 58

 75

Задачи для самостоятельного решения 76

ВВЕДЕНИЕ

Сопротивление материалов является одной из первых инженерных дисциплин, изучаемой студентами, при освоении которой приходится сталкиваться с реальными расчётами и элементами проектирования деталей машин и конструкций. При изучении технической теории стержней – одного из основных разделов сопротивления материалов – возникают затруднения, которые связаны, главным образом, с многообразием схем нагружения и вариантов закрепления, наличием ступенчатых стержней с резким изменением формы и размеров поперечного сечения, а также внутренних связей в виде врезанных шарниров и т. п. Обычно для преодоления подобных затруднений используется разбиение расчётной схемы на участки с последующим сшиванием решений. Однако такой подход сопряжён с увеличенным объёмом вычислений при отыскании аналитического решения, а при численном решении – с увеличенным объёмом подготовительной работы.

Другой, более продуктивный путь состоит в привлечении относительно простого и достаточно наглядного математического аппарата обобщённых функций, который широко применяется в математической физике, квантовой механике и других дисциплинах для описания точечных масс и зарядов, точечных источников теплоты, сосредоточенных сил и моментов. Использование обобщённой функции Дирака и тесно связанной с ней единичной функции Хевисайда позволяет применять для решения задач сопротивления материалов единообразный унифицированный метод, который в данном учебном пособии иллюстрируется на типовых примерах. В этом прослеживается преемственность научно-методических исследований профессора В. Д. Белого, который, возглавляя кафедру «Сопротивление материалов» ОмГТУ, уделял большое внимание разработке единого унифицированного метода решения задач механики стержней. Следует также отметить, что в последние годы в учебных изданиях ряда ведущих технических университетов [6, 7, 8] прослеживается тенденция систематического использования функции Хевисайда и её модификаций (например, единичной ступенчатой функции) для облегчения и упрощения работы по проведению расчётов с применением современных вычислительных средств. Если в дополнение к этому использовать обобщённую функцию Дирака, то можно достичь более значимых результатов в указанном направлении.
^



1. Основные понятия и определения


Сопротивление материалов – это наука об инженерных методах расчета элементов конструкций и машин на прочность, жесткость и устойчивость. Одним из основных разделов сопротивления материалов является техническая теория стержней.

Уточним суть некоторых общих понятий.

Деформация – изменение размеров и формы материальных тел под действием внешних нагрузок.

Упругость – свойство материальных тел восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Пластичность – свойство материальных тел не восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Прочность – способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без разрушения и пластических деформаций.

Жесткость – способность конструкций и деталей машин выдерживать рабочие нагрузки без значительных упругих деформаций, которые могут нарушить их нормальную работу.

Устойчивость – способность конструкции и её элементов сохранять определенную начальную форму упругого равновесия под нагрузкой.

^ Материальная однородност: материал, из которого изготовлено тело, проявляет одинаковые свойства во всех точках.

изотропность: материал, из которого изготовлено тело, проявляет одинаковые свойства во всех направлениях.

^

1.1. Геометрические характеристики сечений


Пусть имеется некоторая плоская фигура (сечение тела), связанная с декартовой системой координат и имеющая площадь (рис. 1.1).


Рис. 1.1. Центр тяжести плоской фигуры



По определению центром тяжести плоской фигуры называется геометрическая точка с координатами

, , (1.1)

где

, . (1.2)

Величины (1.2) называются статическими моментами фигуры относительно оси и соответственно. Такое название дано по аналогии с понятием момента силы относительно оси, если только в качестве силы иметь в виду площадь фигуры.

Ось, проходящая через центр тяжести сечения, называется центральной осью. Очевидно, если начало координат совпадает с центром тяжести сечения , то обе координатные оси будут центральными осями. Относительно них , ибо в этом случае .

^ Осевым моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния от рассматриваемой оси. Так, моменты инерции плоской фигуры (рис. 1.1) относительно осей и соответственно равны

, . (1.3)

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно данной точки (полюса ) называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния до полюса (рис. 1.1):

. (1.4)

Поскольку , из (1.3) находим

. (1.5)

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на её расстояния от координатных осей , (рис. 1.1):

. (1.6)



Величины осевых моментов инерции , и полярного момента инерции плоской фигуры всегда положительны. Напротив, центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.

Главные оси, проходящие через цент тяжести плоской фигуры, называются главными центральными осями.

^

1.2. Классификация стержней


В сопротивлении материалов под стержнями подразумеваются тела довольно разнообразной и вместе с тем специфической формы. Представим себе некоторую линию, вдоль которой движется плоская фигура так, что её центр тяжести находится на этой линии, а плоскость фигуры нормальна к ней (рис. 1.2). Если размеры фигуры , существенно меньше длины линии , то описанное указанным образом тело называется стержнем (или брусом); соответственно отмеченная плоская фигура называется поперечным сечением стержня, а отмеченная линия – осью стержня.


Рис. 1.2. Прямой брус (стержень) постоянного сечения


Если поперечное сечение при движении вдоль оси не изменяется, то тогда имеет место стержень постоянного сечения; в противном случае – стержень переменного сечения. Если ось стержня – прямая линия, то это прямой стержень. Если ось стержня – кривая линия, то его называют кри

вым стержнем. Если поперечное сечение при движении вдоль оси вращается вокруг касательной к оси, то стержень называют естественно-закрученным. Примером прямого естественно-закрученного стержня постоянного сечения является рабочая часть сверла. Используются также и другие названия. В частности, стержень, работающий на изгиб, обычно называют балкой, а стержень, передающий вращательное движение, – валом.

^

1.3. Классификация сил


В механике понятие силы является первичным (неопределяемым) понятием. В качестве пояснения (но не определения) можно указать, что под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, которое вызывает их деформацию и ускоренное движение.

По характеру взаимодействия все силы можно разделить на объёмные (массовые) и поверхностные силы.

Массовые (объёмные) силы обусловлены взаимодействием материальных тел на расстоянии, они приложены к каждой точке тела (распределены по всему его объёму). К массовым силам относятся силы гравитационного и электромагнитного взаимодействия. Обычно из чисто формальных соображений к ним добавляют силы инерции (для сил инерции невозможно указать конкретный материальный источник).

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом взаимодействия материальных тел при непосредственном контакте. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные силы подразделяются на сосредоточенные и распределённые. К первым относятся нагрузки, площадь приложения которых несоизмеримо меньше площади поверхности тела. Таковыми являются, например, сила нормального давления и сила трения между колесом тележки и подкрановой балки, а также силы взаимодействия балки с опорами , , , Z2 (рис. 1.3, а). При составлении расчётной схемы суммарный эффект от действия этих нагрузок представляется в виде сосредоточенных сил и моментов (рис. 1.3, б). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределённая. Таковыми являются, например, силы давления, вызываемые весом бетонного блока (рис. 1.3, в). Действие этого блока на подкрановую балку заменяется погонной нагрузкой , которая характеризует величину силы давления, приходящейся на единицу длины (рис. 1.3, а).



По отношению к выбранному материальному телу (элементу конструкции) все действующие силы подразделяются на внешние и внутренние силы. Под внешними силами (нагрузками) понимаются силы взаимодействия данного материального тела со всеми другими окружающими его телами. Под внутренними силами понимаются силы взаимодействия между частями данного тела.


Рис. 1.3. Подкрановая балка и её расчётная схема


Понятно, что деление сил (нагрузок) на внешние и внутренние силы является условным. Одна и та же сила может быть и внутренней и внешней, всё зависит от выбора объекта исследования. К примеру, на бетонный блок, лежащий на подкрановой балке, действует вес и распредёленная нагрузка , направленная в противоположную сторону (рис. 1.3, в). По отношению к блоку обе эти нагрузки внешние. Однако для механической системы, включающей в себя блок и балку, погонная нагрузка является внутренней распределённой силой.




Рис. 1.4. Типовые связи (опоры) и их реакции


Как правило, равновесие конструкций, состоящих из одного или нескольких элементов, обеспечивается наложением тех или иных связей. Наиболее распространёнными связями являются гладкая или шероховатая поверхность (опора), шарнирно-неподвижная опора (шарнир), шарнирно-подвижная опора (опора на катках), невесомый стержень, заделка (рис. 1.4). Для конструкции в целом, состоящей из стержней 1–3, реакции врезанных шарниров , (на рис. 1.4 не показаны) являются внутренними силами. Но для каждого из стрежней в отдельности эти реакции будут внешними силами, как и реакции остальных связей (опор).

В соответствии с этим внешние силы, действующие на выделенное тело, подразделяются на активные (заданные) силы и реактивные силы. Реактивные силы возникают в связях, наложенных на тело, их величина определяется действующими на тело активными силами.

^

1.4. Уравнения равновесия


В теоретической механике доказывается, что для равновесия свободного абсолютно твёрдого тела, находящегося под действием некоторой системы внешних сил , необходимо и достаточно выполнения двух векторных уравнений равновесия (рис. 1.5):

, , (1.7)

где


– момент силы относительно точки , – радиус-вектор приложения указанной силы с началом в точке (центре) . Если тело несвободно 

(из-за наложенных на него связей), то, пользуясь принципом освобождаемости от связей, последние надо мысленно отбросить и заменить их действие силами реакций, которые будут внешними силами по отношению к освобождённому указанным образом телу.

В проекции на координатные оси два векторных уравнения (1.7) дают шесть скалярных уравнений равновесия:

(1.8)

С их помощью можно найти не более шести неизвестных величин, в большинстве случаев – это реакции внешних (для данного тела) связей.


Рис. 1.5. Равновесие материального тела


Применительно к деформируемому твёрдому телу уравнения (1.7), (1.8) являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия. В качестве наглядного примера можно указать на ножницы (рис. 1.6). Для их равновесия нужно наложить дополнительные связи, например, заварить врезанный шарнир .


Рис. 1.6. Равновесие деформируемого тела
^



1.5. Напряжения


Рассечём тело некоторой плоскостью и отбросим одну из частей тела (рис. 1.7, а). Для плоскости сечения выберем то направление орта нормали , которое является внешним для оставшейся части тела. Поскольку до рассечения между обеими частями имело место взаимодействие, то в соответствии с принципом освобождаемости от связей действие отброшенной части на оставшуюся часть следует заменить поверхностными силами, распределёнными по всему сечению. На бесконечно малую площадку сечения с центром в точке будет действовать бесконечно малая сила . Величина


называется вектором напряжения на данной площадке. В общем случае вектор напряжения зависит не только от положения точки , но и от ориентации площадки, т. е. от направления орта нормали , что и отражено в обозначении в виде нижнего индекса.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена по нормали , а другая – перпендикулярно к ней (рис. 1.7, б). Составляющая , направленная по нормали , называется нормальным напряжением на площадке . Составляющая , лежащая в плоскости площадки , называется касательным напряжением на этой площадке. Очевидно, что

.


Рис. 1.7. Вектор напряжения (а), нормальное и касательное напряжения (б)



Так как при сечении тела была взята внешняя нормаль , растягивающие нормальные напряжения являются положительными, а сжимающие напряжения – отрицательными. Можно было бы поступить и наоборот, выбрав при сечении тела внутреннюю нормаль. Тогда сжимающие напряжения были бы положительными, а растягивающие напряжения – отрицательными. Оба случая используются на практике.

^

1.6. Интегральные характеристики напряжений
(внутренние усилия)


Рассмотрим произвольное плоское сечение нагруженного стержня (рис. 1.8). Выберем декартову систему координат , , с началом в центре тяжести сечения . Ось направим по нормали сечения .

На каждой элементарной площадке сечения будет действовать вектор напряжения (нормаль направлена по оси ). Полное напряжение разложим на нормальное напряжение и касательное напряжение . В плоскости площадки направление касательного напряжения в общем случае произвольно. Чтобы обойти эту неопределённость, разложим полное касательное напряжение по координатным осям и , обозначив составляющие через , соответственно (рис. 1.8).


Рис. 1.8. К определению интегральных характеристик напряжений

Компоненты главного вектора и главного момента распределённых по сечению напряжений относительно центра тяжести плоского сечения называются или интегральными характеристиками напряже

ний, или внутренними силовыми факторами, или внутренними усилиями в сечении. Они равны

(1.9)

Каждая из компонент (1.9) имеет характерное название: – продольная (нормальная) сила; , – поперечные (перерезывающие) силы; , – изгибающие моменты; – крутящий момент.

^

1.7. Метод определения внутренних усилий


Рассмотрим тело, имеющее форму стержня и находящееся в покое под действием некоторой системы внешних сил. В данную систему сил в общем случае могут входить как активные (заданные) силы, так и пассивные силы (реакции внешних связей). Если число компонент реакций внешних связей не превышает числа независимых уравнений равновесия, то задача по отысканию внутренних усилий оказывается статически определимой задачей. В противном случае задача является статически неопределимой.

Суть метода по отысканию внутренних усилий, называемого методом сечений, можно пояснить на примере прямого стержня (рис. 1.9). Мысленно рассечём стержень на две части , произвольной плоскостью. Выберем декартову систему координат , , с началом в центре тяжести сечения . Оси , расположим в плоскости сечения, а ось направим по внешней нормали сечения одной из частей, например части (рис. 1.9, а). В согласии с выбранным направлением оси и для удобства дальнейшего изложения условно будем называть часть левой частью стержня, а часть – правой частью стержня.

Поскольку до рассечения обе части взаимодействовали друг с другом, действие одной части на другую следует заменить поверхностными силами, распределёнными в плоском сечении по некоторому закону (рис. 1.9, б). Согласно третьему закону Ньютона (закону действия и противодействия) в каждой точке сечения поверхностные силы, действующие на левую часть со стороны правой части , равны и противоположны по направлению поверхностным силам, действующим на правую часть со стороны левой части . Эти поверхностные силы являются для стержня внутренними силами, а для каждой из частей , – внешними си

лами. Так как , нормальные и касательные напряжения в сечениях левой и правой частей равны по величине и противоположно направлены. По отношению к единой (для обеих частей стержня) декартовой системе координат , , это означает, что:

, , .

Следовательно, интегральные характеристики напряжений (1.9), соответствующие каждой из частей, также имеют противоположные знаки:

(1.10)

Иными словами, в сечениях обеих частей стержня соответствующие интегральные характеристики напряжений равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.9, в).

После рассечения и приложения поверхностных сил обе части стержня становятся свободными телами, находящимися в состоянии покоя. Это позволяет составить две системы уравнений равновесия для каждой из частей стержня в отдельности. Для части имеем

(1.11)

Соответственно для части

(1.12)

Понятно, что обе части стержня – левая часть и правая часть – абсолютно равноправны. Поэтому в качестве внутренних силовых факторов в данном сечении стержня можно взять как величины , , , , , , так и величины , , , , , . Это вопрос простого соглашения. Посему за внутренние силовые факторы в данном сечении стержня принимаем значения интегральных характеристик напряжений для той части стержня, которая расположена слева от этого сечения (т. е. для части ):

(1.13)


Рис. 1.9. Определение внутренних усилий методом сечений



Благодаря равенствам (1.10), (1.13) из уравнений (1.11), (1.12) получаем две группы расчётных формул:

(1.14)

(1.15)

По первой группе расчётных формул (1.14) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком минус суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к левой (от сечения) части стержня.

По второй группе расчётных формул (1.15) внутренние силовые факторы в произвольном сечении стержня равны взятым со знаком плюс суммам соответствующих проекций и моментов всех внешних сил, приложенных к правой (от сечения) части стержня.

Обе группы расчётных формул эквивалентны (из одной вытекает другая). Поэтому вопрос о том, какой из групп пользоваться, решается исходя из соображений простоты и удобства рассмотрения конкретной задачи. В частности, если заранее из уравнений равновесия для стержня в целом определены реакции всех внешних связей (статически определимая задача), то тогда одних уравнений (1.14) достаточно, чтобы найти значения всех внутренних усилий. При этом уравнения (1.15) можно использовать для проверки правильности полученного результата. Конечно, можно поступить и наоборот: найти по уравнениям (1.15) внутренние усилия и проверить результат подстановкой в уравнения (1.14).

^

1.8. Закон Гука при растяжении


По определению относительная деформация стержня равна

,

где , – первоначальная и текущая длина стержня соответственно.




Если удлинение стержня вызвано действием растягивающих нормальных напряжений , то относительная деформация


называется силовой деформацией (рис. 1.10, а). Если удлинение стержня вызвано изменением температуры , то деформация


называется температурной деформацией (рис. 1.10, б).


Рис. 1.10. Силовая (а) и температурная (б) деформации


В общем случае удлинение стержня происходит за счёт действия приложенных нагрузок и изменения температуры. Поэтому


и

. (1.16)

Как показывает опыт, силовая деформация стержня (рис. 1.10, а) пропорциональна действующим напряжениям , а температурная деформация стержня (рис. 1.10, б) пропорциональна приращению температуры :

, . (1.17)

Постоянная называется модулем Юнга (модулем растяжения или модулем упругости первого рода), постоянная – температурным коэффициентом линейного расширения. Для углеродистых сталей при комнатной температуре модуль Юнга и коэффициент линейного расширения имеют следующий порядок величины:  21011 Па,  1210–6 К–1.



Подставляя (1.17) в (1.16), имеем

(1.18)

или

. (1.19)

Равенство (1.19), как и эквивалентное ему равенство (1.18), носит название закона Гука при растяжении.

К примеру, если оба конца стержня закреплены, то его длина неизменна, а деформация . Тогда по формуле (1.16) при нагревании (охлаждении) стержня силовая деформация равна и противоположна по знаку тепловой деформации:

.

Согласно (1.19) возникающие при этом напряжения равны

.

Следовательно, когда приращение температуры , в стержне действуют сжимающие напряжения: . Напротив, в случае в стержне возникают растягивающие напряжения: .

^

1.9. Закон Гука при сдвиге


Рассмотрим куб со стороной , на верхней грани которого действуют равномерно распределённые касательные напряжения интенсивностью (рис. 1.11, а). Для того чтобы главный вектор системы внешних сил был равен нулю, к нижней грани должны быть приложены противоположно направленные касательные напряжения той же интенсивности. С другой стороны, оба усилия, действующие на верхней и нижней гранях, представляют собой пару сил с моментом . Для уравновешивания к левой и правой граням должны быть приложены равномерно распределённые касательные напряжения интенсивностью , которые создают пару сил с противоположным по направлению моментом . Из условия равновесия получаем

. (1.20)



Соотношение (1.20) известно под названием закона парности касательных напряжений. Более точная его формулировка имеет следующий вид: составляющие касательного напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой и перпендикулярны линии пересечения этих площадок.


Рис. 1.11. Напряжённо-деформированное состояние при чистом сдвиге


Под действием касательных напряжений грани параллелепипеда, свободные от напряжений и имевшие первоначально форму квадрата, превращаются в ромб (рис. 1.11, б). Иными словами, рёбра не меняют своей длины, а соответствующие прямые углы искажаются. Поэтому деформация чистого сдвига заключается в изменении первоначально прямых углов.

Грань, находящуюся в условиях чистого сдвига, удобно повернуть так, чтобы одна из её сторон совпала со стороной квадрата, представляющего начальное недеформированное состояние этой грани. Благодаря этому шагу можно добиться большей наглядности (рис. 1.11, в). Угол называется углом сдвига.

Как учит опыт, в пределах упругости связь между углом сдвига и касательным напряжением носит линейный характер:

 . (1.21)

Постоянная , имеющая размерность напряжения, называется модулем сдвига (модулем упругости второго рода). Для углеродистой стали

.

У изотропных тел изменение температуры не приводит к скашиванию граней куба, поэтому деформация сдвига носит чисто силовой характер.
^



1.10. Гипотеза плоских сечений


В названии техническая теория стержней ударение на термин «техническая» подчёркивает тот факт, что в сопротивлении материалов задачи механики деформируемого твёрдого тела решаются приближёнными методами, основанными на ряде упрощающих предположений (гипотез) о характере напряжённо-деформированного состояния стержней. Благодаря этим гипотезам существенно упрощается вывод расчётных формул, позволяющих судить о прочности, жёсткости и устойчивости разнообразных конструкций и их элементов с приемлемой для практики точностью.

Одной из фундаментальных гипотез, принятием которой сопротивление материалов отличается от теорий упругости и пластичности, является гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли (по имени учёного Якова Бернулли, впервые её высказавшего в 1705 г.).

Гипотеза плоских сечений. ^ Плоские сечения, нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси стержня после деформации.

Обычно данная традиционная формулировка дополняется (явно или неявно) следующим важным уточнением: в процессе деформирования расстояние между точками поперечного сечения не меняется1.

С логической точки зрения, принятие гипотезы плоских сечений означает наложение на материал стержня внутренних связей, обеспечивающих абсолютную твёрдость поперечных сечений и неизменность угла между деформируемой осью стержня и его поперечными сечениями. Поэтому напряжения от действия сил реакций указанных внутренних связей накладываются на напряжения от деформации материала стержня. Определить их можно только из уравнений равновесия (движения) тех или иных элементарных объёмов стержня.

Таким образом, в общем случае деформация прямого стержня сопровождается искривлением его оси, называемой изогнутой или упругой осью. При этом согласно гипотезе Бернулли поперечные сечения стержня перемещаются как абсолютно твёрдые плоские фигуры, которые совершают поступательное перемещение вместе со своим центром тяжести и поворачиваются на угол вокруг некоторой оси, проходящей через этот центр (рис. 1.12). Здесь – некоторая фиксированная точка оси недеформированного стержня, взятая за начало координат ; , – ради

ус-векторы центров тяжести , произвольного поперечного сечения в недеформированном и деформированном состоянии стержня соответственно; – координата точки , – криволинейная координата точки ; , – орты осей и , жестко связанных с сечением. При деформировании стержня оси и занимают новое положение и с направляющими ортами , . Наконец, и – орты касательных к оси (исходной и изогнутой) стержня, совпадающие с ортами нормали , поперечного сечения до и после деформирования:

, .

Забегая вперёд, можно отметить, что в приближении малых перемещений, когда угол поворота достаточно мал, из формулы Эйлера вытекают приближённые равенства

, , . (1.22)


Рис. 1.12. Общий случай деформации стержня


Замечание. Формула Эйлера описывает распределение скоростей в абсолютно твёрдом теле при его вращении с угловой скоростью относительно неподвижной точки (например, центра тяжести тела). За малый промежуток времени тело поворачивается на малый угол , а радиус-вектор произвольной точки тела получает малое приращение . Поэтому . Отсюда, полагая поочерёдно , , , приходим к выражениям (1.22).
  1   2   3   4   5   6



Скачать файл (1468.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации