Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции по механике разрушения - файл 1.doc


Лекции по механике разрушения
скачать (1627.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc1628kb.15.11.2011 23:05скачать

1.doc

1   2   3   4   5   6   7   8   9

^

Рис. 42. К определению работы, затрачиваемой на рост трещины



Работа, необходимая на продвижение трещины на а, должна быть равна изменению энергии деформации. Эта работа равна половине произведения необходимых для закрытия трещины поверхностных сил, действующих на берегах трещины, на соответствующие перемещения. Множитель ½ введен потому, что перемещение пропорционально поверхностным силам. Под перемещениями точек поверхности трещины следует понимать перемещения в области а.

Согласно первоначальному предложению Ирвина, интенсивность высвобождения энергии может быть представлена следующим образом


.


Входящие в эту зависимость компоненты напряжений могут быть определены по асимптотическим формулам для напряжений, действующих в вершине трещины. После подстановки и взятия интеграла для плоской деформации получается следующая зависимость

.


Итак, получили непосредственную связь между интенсивностью высвобождения энергии и коэффициентами интенсивности напряжений.


  1. ^ Пластическая зона у вершины трещины



Выше использовали допущение, что вокруг трещины существует поле напряжений упругости. В таком случае в вершине трещины напряжения должны стремиться к бесконечности. Однако в реальных материалах, прежде чем напряжения станут чрезмерно большими, появятся пластические деформации. Таким образом, обычно под действием внешних сил у вершины трещины появится пластическая зона. В линейной механике разрушения размеры этой зоны достаточно важны. Точное определение конфигурации и размеров пластической зоны является сложной задачей. Ирвином предложена приближенная поправка на пластичность, которой можно пользоваться в том случае, когда размеры пластической зоны малы по сравнению с длиной трещины.

В целях упрощения на начальном этапе ограничимся задачей о плоском напряженном состоянии. На рис. 43 показано распределение напряжений y перед вершиной трещины при  = 0. На участке длиной rp* перед вершиной трещины напряжение y выше предела текучести материала. В первом приближении можно заменить напряжение y, действующее на этом участке, пределом текучести. Размер пластической зоны может быть задан величиной rp*. Воспользовавшись асимптотическими формулами, запишем

.


Если положить  = 0, r = rp* и y = т и провести соответствующие преобразования, можно установить

.




Рис. 43. Распределение напряжений упругости перед трещиной и оценка пластической области на основе баланса нагрузок

Рис. 44. Конфигурация пластических областей, полученных по критерию текучести Мизеса и изменение пластической области по толщине листа


Следует обратить внимание на то, что при использовании такой аппроксимации не учитывают нагрузку, которой на рис. 43 соответствует заштрихованная часть графика. В результате этого величина rp* оказывается заниженной по сравнению с реальным размером пластической зоны. Поэтому целесообразно воспользоваться второй аппроксимацией, в основе которой лежит изложенное ниже равновесие нагрузок. При этом Ирвин рассуждал следующим образом. Пластические деформации, существующие у конца трещины, вызывают некоторое изменение в распределении напряжений. Можно положить, что такое распределение существует для более длинной трещины по сравнению с действительно существующей.

На рис. 43 показано, что действительная трещина имеет длину а. Перед этой трещиной образуется пластическая зона размером rp. Распределение напряжений вокруг пластической зоны приближенно можно представить таким же распределением напряжений, которое получается при замене длины трещины а на а*=а+а (а << а). Если считать, что имеет место равновесие нагрузок, то следует положить, что заштрихованная на этом рисунке область А равна заштрихованной области В. Тогда с использованием асимптотических выражений можно установить, что





Из условия А = В




Из этих формул с учетом a << a можно установить следующее




Таким образом, можно видеть, что при второй аппроксимации, когда принимали во внимание равновесие нагрузок, размер пластической зоны получался в два раза больше по сравнению с размером, соответствующим первой аппроксимации. Эффективную длину трещины а* можно представить в виде суммы а+rp*. Коэффициент интенсивности напряжений для такой трещины может быть представлен в следующем виде




Параметр rp* носит название поправки Ирвина на пластичность.

Для плоской деформации нельзя просто воспользоваться приведенными выше зависимостями. Прежде чем приступить к рассмотрению такого состояния, следует проанализировать различие, существующее в конфигурациях пластических зон при плоском напряженном состоянии и плоской деформации. Для этого следует использовать условие текучести Мизеса, представленное через главные напряжения





а также асимптотические выражения для компонентов напряжений. Для главных напряжений можно записать следующие зависимости


.


Если подставить последние формулы в условие Мизеса, воспользовавшись обозначениями пластической зоны, можно определить форму границы, отделяющей упругую область от пластической. В таком случае можно записать

- для плоского напряженного состояния


,


- для плоской деформации


.


Если в этих зависимостях положить r = rp(), то можно получить расстояние от вершины трещины до границы, отделяющей упругую область от пластической. Таким образом,

- для плоского напряженного состояния

,


- для плоской деформации


.


Рассмотрим различия, существующие между плоским напряженным состоянием и плоской деформацией. При различных  построим соответствующие графики. Такие графики представлены на рис. 44. Здесь в качестве единицы длины использована величина (K/Т)2. Форма и размеры пластической зоны, соответствующей плоскому напряженному состоянию, существенно отличается от формы и размеров пластической зоны, характерной для плоской деформации. В целом можно считать, что при одинаковых внешних силовых воздействиях пластическая зона при плоской деформации меньше пластической зоны при плоском напряженном состоянии. Следует иметь в виду, что в случае толстых пластин со сквозной трещиной на поверхностях определяющим является плоское напряженное состояние, а внутри пластины – плоская деформация. Поэтому вдоль фронта трещины пластическая зона будет изменяться с минимальными размерами в центральной части листа. Характер такого изменения представлен на рис. 44.

Рассмотрим теперь величину поправки Ирвина для плоской деформации. Для этого в последнее выражение, соответствующее плоской деформации, подставим  = 0. В результате получим





В данном случае по сравнению с плоским напряженным состоянием появляется коэффициент (1-2)2, который приводит к уменьшению рассматриваемого параметра. Это видно из рис. 44.

Таким образом, пластическая зона при плоской деформации по сравнению с пластической зоной при плоском напряженном состоянии по своей величине является очень небольшой. Это, по-видимому, является результатом того, что при плоской деформации эффективный предел текучести оказывается значительно выше предела текучести при одноосном растяжении. Для учета этого часто используют коэффициент стеснения пластической деформации. Он представляет собой отношение максимального напряжения max к пределу текучести:  = max/Т. В этом случае эффективный предел текучести выражается произведением Т. Обычно сложное напряженное состояние может быть представлено главными напряжениями. Можно ввести два новых параметра и представить главные напряжения через максимальное 2 = n1, 3 = m1. При этом условие текучести Мизеса запишется в виде





Тогда для коэффициента стеснения пластической деформации можно установить



Подставив значения и положив  = 0, получим для плоского напряженного состояния при n = 1 и m = 0  = 1, для плоской деформации при n = 1 и m = 2  = 1/(1-2).

Положим, например, что коэффициент Пуассона  = 1/3. При плоском напряженном состоянии max = 1 = Т, а при плоской деформации max = 1 = Т 3Т. Таким образом, в действительности при плоской деформации напряжение оказывается в три раза выше. Перед вершиной трещины в ее плоскости при  = 0 распределение напряжений будет иметь вид, приведенный на рис. 45. Следовательно, при плоском напряженном состоянии напряжения в пластической зоне равны Т, а при плоской деформации напряжения равны Т непосредственно в вершине трещины, после чего происходит резкое повышение напряжения до эффективного напряжения текучести 3Т.




Рис. 45. Распределение напряжений у вершины трещины

при плоском напряженном состоянии и плоской деформации


Таким образом, можно видеть, что по величине и форме пластической области, а также по распределению напряжений в ней плоская деформация существенно отличается от плоского напряженного состояния. Это обстоятельство тесно связано с особенностями разрушений, с которыми приходится иметь дело в случае плоских пластин. Из рис. 46 можно установить следующее. Ввиду того, что в окрестностях центральной плоскости пластины определяющей является плоская деформация, разрушение должно происходить в плоскости xz, где действуют максимальные нормальные напряжения. В окрестностях же свободных поверхностей пластины доминирующим является плоское напряженное состояние, и стеснение пластических деформаций оказывается не столь значительным. Это позволяет считать, что разрушение в основном происходит в результате сдвига по плоскостям, расположенным под углом 450 к поверхности пластины (плоскости xy) под действием максимальных касательных напряжений. Получающийся при этом вид излома, который можно наблюдать у поверхностей пластины, носит название губ среза.



Рис. 46. Плоскости максимальных касательных напряжений у вершины трещины

при плоском напряженном состоянии и плоской деформации


13. Использование коэффициента интенсивности напряжений в рамках линейной упругой механики разрушения

13.1. Критерий разрушения Кс


КИН используется в рамках ЛУМР как силовой критерий разрушения, не требующий объяснений, связанных с энергетическим балансом при распространении трещины, как в основополагающей работе Гриффитса. В основе силового критерия лежит предпосылка, согласно которой разрушение возникает тогда, когда у трещины в пределах достаточно большой области напряжение превышает предельное значение. Эту предпосылку можно непосредственно связать с КИН, характеризующим поля напряжений в соответствии с асимптотическими формулами для компонент напряжений и деформаций. КИН зависит от нагрузки и конфигурации образца. Даже в том случае, когда схема приложения нагрузки и конфигурации образцов оказываются различными, при одинаковых КИН поля напряжений оказываются одинаковыми. Предельное значение К, при котором возникает разрушение, можно обозначить символом Кс, который отражает одну из характеристик материала, носящую название вязкости разрушения.

Расчет на прочность, предлагаемый механикой хрупкого разрушения, включает в себя следующие основные моменты:

а) выбор формы, размера и местоположения наиболее опасного трещиноподобного дефекта;

б) определение КИН на фронте трещины с учетом внутренних напряжений металлургического, технологического или эксплуатационного происхождения;

в) выбор критерия локального разрушения на фронте трещины, изучение докритического развития трещины и отыскание критического (предельного) состояния, которое соответствует выходу конструкции на нерасчетный режим (например, разрушению).

Первый из этих вопросов решается на основе натурных и лабораторных наблюдений и во многом пока зависит от интуиции инженера.

Второй вопрос решается на основе методов классической теории упругости.

На последнем этапе расчета на прочность вычисленное значение наибольшего КI (как определенной функции нагрузок, размеров тела и длины начальной трещины) приравнивается некоторому критическому значению этого коэффициента, характеризующему сопротивление материала отрыву на фронте трещины нормального разрыва.

Практически наиболее важную роль играют следующие критические КИН:

а) вязкость разрушения КIc (при монотонном нагружении до начала локально нестабильного разрушения в условиях стесненной плоской деформации);

б) величина Кс (при монотонном нагружении пластин со сквозными трещинами);

в) величина КY (при циклическом нагружении);

г) величина КIscc (в условиях длительного нагружения постоянной нагрузкой в коррозионно-активной среде).

Величина Кс изменяется в пределах (1…3) КIc. Величина КY представляет собой практический предел усталости, она равна примерно (0.1…0.05) КIc. Пороговый коэффициент интенсивности напряжений КIscc существенно зависит от внешней среды, он может меняться в пределах (0.1…1) КIc.

Если КI меньше КY (или соответственно КIscc), то трещина не растет. На самом деле это заключение справедливо только для некоторой фиксированной базы испытания, играющей роль гарантийного срока (менее 108 – 109 циклов для КY и менее года для КIscc).

Указанный метод расчета хрупкой прочности по критическим КИН нельзя считать вполне удовлетворительным, так как он не учитывает медленного докритического развития усталостных и коррозионных трещин. Однако ясно, что этот фактор идет в запас прочности, поэтому в ряде случаев бывает достаточно получаемых оценок.

Размерности КИН: напряжение (длина)1/2 или сила/(длина)3/2.

К примеру, 0.825 кН/мм3/2 = 825 Н/мм3/2 = 825 H/(мммм1/2) = 825 H/мм2мм/мм1/2 = 825 МПа(0.001 м)1/2 = 26 МПам1/2.

Температурные зависимости вязкости разрушения (МПам1/2)

Сталь

Температура, К

213

233

253

273

293

Статическое нагружение

10ХСНД

70

71

71

70

68

09Г2С

65

61

59

58

57

Вст3сп

54

55

56

56

56

Ст20

51

52

53

55

58

15Х2НМФА

102

115

124

141

154

Динамическое нагружение

10ХСНД

23

28

38

50

60

09Г2С

39

43

48

60

68

Вст3сп

24

25

31

40

50

Ст20

20

22

27

33

43

15Х2НМФА

58

66

75

81

87

^ 13.2. Ограничения линейной упругой механики разрушения

Уравнения ЛУМР, являясь приближенными, имеют верхний и нижний пределы применимости. Это связано с тем, что решения с использованием КИН приводят к сингулярности напряжения у вершины трещины при r = 0, и хотя они могут давать достаточно хорошую оценку величины пластической зоны, они не применимы для описания поля деформации внутри пластической зоны и, следовательно, не пригодны для описания процесса вязкого разрушения внутри пластической зоны. Пределы применимости модели интенсивности упругих напряжений становятся очевидными при высоком уровне напряжений. Тогда К-решения фактически уже не описывают действительного поля напряжений, и, следовательно, истинных размеров пластической зоны. Это может привести к неоправданно консервативным результатам расчетов, так как перераспределение напряжений в результате пластического течения и притупления вершины трещины, связанного с ним, делают допустимыми более высокие эксплуатационные нагрузки, особенно для высокопластичных материалов.

Принято, что ЛУМР может быть использована при соблюдении условий rpa/50, W/50, B/50, где W, B – ширина и толщина пластины. При этом напряжения не должны превосходить т/5. В конечном итоге испытания на основе методов ЛУМР и применение концепции КIc для материалов с высокой вязкостью и пластичностью (хрупкому разрушению предшествует развитие большой пластической зоны у вершины трещины) требуют весьма крупных образцов, в которых трещины и их пластические зоны не зависят от границ образца и достигается плоское деформированное состояние, т.е. выполняется условие B  2.5(K/т)2.

Также недоступна для описания аппаратом ЛУМР трещина, возникшая у дна надреза, т.е. находящаяся в пластической зоне. Здесь справедливо условие rp > a, и, очевидно, ЛУМР не может быть применена в такой ситуации.

За пределами указанных ограничений применение ЛУМР дает ошибку, возрастающую с ростом отношения размера пластической области к размеру упругой области. До какого момента можно допускать существование указанной ошибки? Ответ на этот вопрос зависит от тех требований, которые приняты при проектировании.

В случае разрушения хрупких материалов в ЛУМР вводят соответствующую поправку на пластичность, что позволяет уменьшить эту ошибку.

В заключение отметим, что нижний предел размеров любой трещины, которая поддается описанию на основе законов механики сплошной среды, можно найти, введя понятие размера минимальной пластической зоны, например, субъячейки, т.е.  10 мкм, что дает минимальную длину трещины  0.5 мм. При меньших размерах ЛУМР становится неприменимой, и трещины длиной менее 0.5 мм рассматриваются как короткие.


^ 14. Оценка коэффициента интенсивности напряжений

14.1. Аналитические методы


В настоящее время аналитическими методами теории упругости решено большое количество задач для различных конфигураций твердого тела, трещины и условий нагружения.

Плоские статические задачи. В задачах о плоской деформации и плоском напряженном состоянии КИН определяются по асимптотике комплексного потенциала Ф(z) в конце разреза.

Разрезы вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности в бесконечной упругой плоскости. Если совокупность математических разрезов расположена вдоль одной и той же прямой или вдоль одной и той же окружности и других границ упругое тело не имеет, то могут быть решены следующие краевые задачи:

а) на разрезах произвольно задана нормальная и касательная нагрузка;

б) на разрезах заданы произвольные смещения;

в) на одном берегу разрезов задаются смещения, а на другом берегу – нагрузки;

г) участки с произвольно заданными смещениями или нагрузками чередуются любым образом вдоль нижнего и верхнего берегов разрезов;

д) берега разрезов взаимодействуют, причем касательное напряжение взаимодействия произвольным образом зависит от нормального давления;

е) касательное напряжение на разрезах обращается в нуль, участки с произвольно заданным нормальным смещением или с нормальной нагрузкой расположены произвольно на берегах разрезов.

Для указанных типов задач можно найти КИН; некоторые случаи рассмотрены ниже.

Если в упругой плоскости имеется один прямолинейный разрез и сосредоточенные сила и момент приложены симметрично к верхнему и нижнему берегам щели (рис. 47), то

.


Для распределенных на некотором участке верхнего берега щели нагрузок (рис. 48) имеем





Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49




.


В случае, изображенном на рис. 49, имеем


.



Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52


Для примера на рис. 50 на правом и левом конце соответственно


.


Для щели, располагающейся вдоль длины окружности (рис. 51), КИН в наиболее опасной точке О имеют вид




.


В случае перешейка между двумя полубесконечными щелями имеют место следующие формулы

- у левого конца перешейка





- у правого конца перешейка





Разрез в полуплоскости. Задача о растяжении упругой полуплоскости с краевой щелью (рис. 53) рассматривалась многими авторами. Ее решение получено многими способами – как точными аналитическими методами, так и приближенными:

.


Коэффициент 1.12 вычислен с погрешностью 1%. Как видно, влияние свободной границы тела приводит к увеличению КИН на 12%.

Для задачи на рис. 54

.


Коэффициент 0.68 вычислен с ошибкой 3%.

В случае полубесконечного разреза, приближающегося к свободному краю полуплоскости (рис. 55) КИН равен


.





Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55


Разрезы, исходящие из круглого отверстия. Решена задача о всестороннем и одностороннем растяжении плоскости с одной и двумя щелями, исходящими из кругового отверстия (рис. 56).





Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58


Имеем

.


Решена задача о всестороннем растяжении плоскости со звездообразной щелью (рис. 57). Окончательный результат имеет вид


,


где (т) – коэффициент, зависящий от числа разрезов n.

Для круглого диска с внутренней щелью, раздавливаемого двумя сосредоточенными силами (рис. 58),

.


Рис. 59.


Тела сложной формы. Изучены многие случаи различных криволинейных отверстий со щелями. В случае всестороннего растяжения упругой плоскости с гипоциклоидальным отверстием, контур которого описывается уравнениями


,


где n – целое положительное число, КИН равен


.


Гипоциклоида имеет n+1 точку возврата, каждая из которых с точки зрения концентрации напряжений эквивалентна концу трещины (на рис. 59 изображена астроида с n=3).

Пространственные задачи. В силу сложности решения пространственных задач готовых решений накоплено значительно меньше, чем для плоского случая. Приведем окончательные результаты вычисления КИН в пространственных задачах.

Дискообразная щель. В общем осесимметричном случае дискообразного разреза вдоль z=0, x2+y2<a2 в безграничном пространстве (рис. 60) имеем

Рис. 60.





Здесь предполагается, что нагрузки симметрично приложены к верхнему и нижнему берегам щели, а на бесконечности напряжения исчезают.

При чистом изгибе стержня с дискообразной щелью (рис. 61) КИН будет следующим

.


Здесь Jy – соответствующий момент инерции поперечного сечения стержня, b – расстояние центра щели от нейтральной линии.




Рис. 61 Рис. 62


При скручивании круглого цилиндрического стержня с дискообразной щелью (рис. 62) имеем (здесь предполагается, что центр щели лежит на оси стержня, а плоскость щели перпендикулярна этой оси)

.

Итак, имеется большое количество решенных аналитическим способом задач по определению КИН для тел с трещинами различной конфигурации, но все же число этих задач ограничено.


^ 14.2. Метод конечных элементов


В настоящее время известны различные методы расчета КИН, использованные на использовании МКЭ. Они имеют свои преимущества и недостатки. Рассмотрим некоторые из них.


^ 14.2.1.Прямой метод


В этом случае для определения КИН в асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины непосредственно подставляют возникающие в окрестности вершины трещины напряжения или перемещения, полученные с помощью МКЭ. При использовании напряжений этот способ называется прямым методом напряжений, а при использовании перемещений – прямым методом перемещений. Значения напряжений или перемещений, которые необходимо подставить в формулы, следует выбирать такими, чтобы они были определяющими для рассматриваемого типа деформирования. Например, в случае трещины типа I необходимо подставить компоненту напряжения y, которая действует на оси х в направлении оси у. По сравнению с методом напряжений метод перемещений дает более надежные результаты с точки зрения точности.

Расчет КИН прямым методом требует, чтобы решение для напряжений и перемещений имело достаточно высокую точность в окрестности вершины трещины. При использовании обычных элементов нельзя отразить особенность при приближении непосредственно к вершине трещины. Поэтому нельзя ожидать, что точность расчета напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины будет высокой. Следовательно, установленные по этим параметрам КИН также будут иметь не слишком хорошую точность. Поэтому при определении КИН с помощью обычных элементов необходимо предусмотреть меры, позволяющие улучшить точность решения. К таким мерам можно отнести следующие.

(1) У вершины трещины, насколько это возможно, желательно использовать разбиение на малые элементы (мелкую дискретизацию).

(2) Часто могут возникать ситуации, например при решении трехмерных задач, когда разбиение на мелкие элементы оказывается нерациональным с точки зрения вычислительных ресурсов. В таких случаях сначала находят решения для грубого разбиения, а затем выделяют окрестность вершины трещины, выполняют мелкое разбиение и решают задачу. При этом в качестве граничных условий используют перемещения узлов и узловые силы, полученные в предыдущем решении. Такой способ решения называют поэтапным.

(3) Используя асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины, в точках, расположенных на различных расстояниях r от вершины трещины, расчетным путем определяют значения К и строят график зависимости К от r. Искомое значение К, соответствующее рассматриваемой трещине, принимают равным тому значению, которое получается в результате экстраполяции при r  0 (рис. 63). Следует иметь в виду, что значения К, соответствующие точкам, наиболее близко расположенным к трещине, обладают не очень хорошей точностью. Поэтому при проведении экстраполяции эти значения исключают.

1   2   3   4   5   6   7   8   9



Скачать файл (1627.5 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации