Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Семинар 1 - Элементы дифференциального исчисления - файл 1.docx


Семинар 1 - Элементы дифференциального исчисления
скачать (753.8 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx754kb.18.11.2011 15:15скачать

содержание

1.docx





«Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».

Актуальность темы.

Сегодняшний уровень развития медицинской и биологической физики, таких специальных дисциплин как ортопедическая стоматология и ортодонтия требует получения определенных математических знаний, имеющих, в первую очередь, прикладное значение. В данной теме излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач. По существу, каждый пример – это «математическая модель» изучаемого процесса или объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемым процессам или объектам, не передает всех их свойств и особенностей, а является их приближенным отражением. Однако, благодаря замене, например, реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, то есть прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Простые примеры таких моделей, рассмотренные в нижеследующих семинарах, будут продолжены более сложными при изложении основного курса.

Не вызывает также сомнения, что современный врач должен понимать методы обработки медико-биологических данных и владеть ими. Начальные знания здесь могут быть получены при знакомстве с теорией ошибок (погрешностей) измерений.



Семинар 1

Элементы дифференциального исчисления.

Основные вопросы:

  1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

  2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.

  3. Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

  4. Физический смысл производной. Градиент функции.

  5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.

  6. Графики производных функций.

  7. Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.

  8. Функции нескольких переменных. Частные производные.

  9. Задания для самостоятельной работы.


1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

В различных областях науки, техники, медицины имеют дело с постоянными и переменными величинами.

Величины, которые всегда сохраняют свое значение постоянным, называются фундаментальными постоянными. Например, отношение длины окружности R к длине диаметра 2R – число π = 3,14…, гравитационная постоянная G = 6,67 · 10-11 Н · м2/ кг2 и др.

Величины, изменяющие свои значения в процессе, который они описывают, называются переменными.

Рассмотрим второй закон Ньютона:

(1)



Здесь – сила, - ускорение, которое приобретает тело массой m при действии на него силы F, – величины переменные, m в данной формуле обычно величина постоянная.

Переменные величины часто в большей или меньшей степени связаны друг с другом. Например, в уравнении (1) данному значению силы F соответствует определенное, причем единственное, значение ускорения а.

Возьмем другой пример: размер популяции бактерий n в каждый данный момент времени t задается формулой:

n(t) = 106 + 104t – 103t2 (2)

Каждому значению t здесь соответствует единственное значение n.

Введем понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Некоторая переменная величина у1* связана с переменной х функциональной зависимостью, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Одну из переменных, обычно х, значения которой удобно задавать (F, t в формулах (1) и (2)) называют независимой переменной или аргументом, переменную y (в формулах (1), (2)a и n), изменяющуюся в зависимости от изменения аргумента, называют зависимой переменной или функцией данного аргумента.

Условились для краткости записи часть уравнения, задающего функцию, обозначать символами f(x), φ(x) ... и писать:

y = f(x), y = φ(x) (φ – греческая буква «фи»).

В наших примерах a = f(F), n = f(t).

Процессы в живом организме во многих практически значимых случаях описываются переменными величинами, связанными между собой функциональной зависимостью. Рассмотрим два примера.

Задача 1: установлено, что реакция организма r на введенное лекарство в определенной дозе x может описываться следующей функцией:

r = f(x) = x2 (ax), (3)



где а – некоторая положительная постоянная.

В зависимости от ситуации r может быть температурой, частотой дыхания, частотой пульса, кровяным давлением или каким-то другим физиологическим показателем.

Приведенная формула (3) и представляет собой простейшую математическую модель указанного выше процесса. Сразу встает вопрос: при каком значении x реакция максимальна?

Задача 2: реакция организма r на два лекарства как функция времени t определяется следующими выражениями:

r1(t) = te-t , r2(t) = t2 e-t (4)

В данном случае, естественно, встают вопросы: 1) при действии какого из лекарств выше максимальная реакция, 2) какое из лекарств медленнее в своем воздействии?

На поставленные вопросы можно ответить после приобретения необходимых знаний по высшей математике (в частности, см. раздел 5 данного семинара).


^ 2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.

Задать функцию - это значит задать правило или закон, согласно которому по данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у.

Рассмотрим способы задания функции.

  1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m0еk t, где m0 и mсоответственно, исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k -положительная постоянная, е – число примерно равное 2,718

  2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t: U = f(t).

  3. 

  4. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t. На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Последние рассмотрим ниже, а здесь приведем основные виды элементарных функций:

  1. Степенная функция – y = f(x) = xn, где х - аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

  2. Показательная функция – y = f(x) = ax, где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0), например:

y = 10x (a = 10), y = ex, y = e-x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = exвозрастающая экспонента, , y = e-x – убывающая экспонента.

3. Логарифмическая функция с любым основанием а: y = logax, иначе у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x

Если основание а = 10, то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x; если a = e, то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х.

Напомним некоторые правила логарифмирования:

Пусть даны два числа а и b, тогда:

  1. lg (a·b) = lg a + lg b;

  2. lg = lg a - lg b;

  3. 

  4. lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln.

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис.1):


3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная 

величина А, к которой х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремиться к нулю.

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x : 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.


Введем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x1 до х2, то разность x2x1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y2y1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис.2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

^ Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, вычисленный при условии, что Δх → 0 .

Она обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x»). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(5)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх, 

найти приращение функции Δy, составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже (табл.1)


Таблица 1.

№ п/п

Виды функции

Производная функции

1

Постоянная величина y = c

y' = 0

2

Степенная функция y = xn (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным)

y' = nxn-1

3

Показательная функция y = ax (a > 0; a ≠ 1)


y = ex

y = e-x

y' = axln a


y' = ex


y' = - e-x


4

Логарифмическая функция y = logax (a > 0; a ≠ 1)


y = ln x


y' =

y' =

5

Тригонометрические функции: y = sin x



y = cos x


y = tg x


y = ctg x

y' = cos x


y' = - sin x

y' =

y' =


Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z, то используются нижеследующие правила дифференцирования (табл. 2).

Таблица 2.

1. y = u + v – z

1) y' = u' + v' - z'

2. y = u · v

2) y = u' · v + v '· u



3. y =

3) y' =

4. y = a · u, где a = const

4) y' = a · u'


Приведем несколько примеров вычисления производных, используя табл. 1 и табл.2.

  1. (x + sin x )' = (x)' + (sin x)' = 1 + cos x;

  2. (x · sin x )' = (x)' · sin x + x · (sin x)' = sin x + x cos x;

  3. ;

  4. (5 tgx)' = 5 (tg x)' = .

Производные сложных функций.

Напомним, что различают элементарные и сложные функции. Отметим, что аргументом элементарных функций является некоторая переменная величина (координата, время, сила и так далее). Аргументом сложных функций, которые рассматриваются ниже, является функция.

Пусть y = f(u), где u = φ(x), причем f(u) и φ(x) – элементарные функции, первая из них имеет производную по u, а вторая – по x. Рассмотрим зависимость y от x: для этого в значении y заменим u на φ(x) и получим y = f [φ(x)]. Теперь y будет сложной функцией от x, т.е. функцией от функции, зависящей от x.

В этом случае производная y по x вычисляется по следующей формуле:

(6)

Примеры:

  1. y = sin 3x. Здесь u = φ(x) = 3x, тогда y = sin u и по формуле (6) получаем:

.

  1. y = (1+x2)6; u = 1 + x2, y = u6, далее по формуле (6) .

При достаточном навыке вычисления производных сложных функций промежуточную переменную «u» не пишут, вводя ее лишь мысленно;

  1. 

  2. y = ln2x, .

^ 4. Физический смысл производной. Градиент функции.

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстроту (темп) изменения функции.

Начнем с понятного примера. При равномерном движении скорость тела равна отношению пути ΔS, пройденного телом за время Δt, к этому промежутку времени v =. Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δ t→0, т.е.

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (8)

В механике — вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать 

один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x, т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных.

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала . При малых Δx можно записать (см. раздел 7 данного семинара).

^ 5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.

Пусть некоторая функция f(x) задана графически (например, см. рис.3), надо определить значение ее производной в некоторых точках А, В, С, D… графика этой функции (т.е при разных x). Геометрический смысл производной заданной функции состоит в том, что эта производная равна тангенсу угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и положительным на

правлением оси x.



Из рисунка видно, что если функция возрастает, производная положительна (= tg α, α - острый угол, tg α >0), если функция убывает, производная отрицательна (=tg β, β – тупой угол, tg β < 0). Если функция имеет максимальное (точка B) или минимальное значение (точка D), то касательная в этих точках экстремума параллельна оси x и производная f(x) при x = x2 и x = x4 равна нулю (tg 0 = 0).

Максимум и минимум функции можно различать между собой по знаку второй производной заданной функции в соответствующих точках. В точке максимума y'' < 0, а в точке минимума у'' > 0.

Исследование функции на максимум и минимум (на экстремум) рассмотрим на примере задачи 1 (стр.3).

Итак, надо ответить на вопрос: при какой дозе лекарства x реакция организма r будет максимальна?

Напомним, что r = x2 (ax) = ax2x3, a > 0.

1. Найдем первую производную от заданной функции:

r' = 2ax – 3x2

  1. Приравняем эту производную нулю и решим уравнение:

2ax – 3x2 = 0, x(2a – 3x) = 0, решения уравнения: а) x = 0, оно лишено смысла, б) x = 2a/3.

  1. Найдем вторую производную от r (первую производную от r'):

r'' = 2а – 6x,

Определим ее значение при x = 2a/3, r'' = - 2а < 0.

Следовательно, именно при x = 2a/3 реакция организма r будет максимальна.

В данной задаче величина а для каждого препарата определяется из экспериментальных данных.

^ 6.Графики производных функций

В практической медицине часто приходится сопоставлять график изменения некоторой величины, например, со временем с графиком производной этой величины. В частности, в методе, называемом реопародонтография (см. лекцию 

№…) регистрируется зависимость объема кровенаполнения ^ V исследуемого участка сосудистой системы от времени, т.е. V(t), и зависимость первой производной этой функции, которая определяет изменение скорости кровенаполнения. Примеры можно продолжить.

Для нескольких простых функций приведем графики самих функций и их производных.




^ 7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.

Дифференциал заданной функции y = f(x) равен произведению значения производной этой функции в данной точке на дифференциал аргумента (d – символ дифференциала):

(9)

Можно показать, что дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента Δx.

Дифференциал функции не равен приращению функции (dy ≠ Δy), но при малых приращениях Δх:

Δydy (10)

Последний результат важен в прикладном отношении: зная дифференциал функции, можно оценить изменение этой функции и наоборот.

Приведем несколько примеров.

  1. Найдем приближенное приращение функции y = 2x2 + 7 при x = 2 и

Δx = 0,0001.

Решение: Δу≈ dy; dy = y' dx; dy = 4x dx или Δy ≈ 4x Δx

Таким образом, Δу ≈ 4 · 2 · 0,0001 = 0,0008.

2.Рассмотрим шарообразную клетку радиуса R (например, эритроцит в венозном русле), которая, не изменяя формы, увеличивается в объеме. Объем (V = f(R)). Оценим изменения объема клетки ΔV, если ее радиус увеличился от 2,5 · 10-3 до 2,6· 10-3 см.

Решение: ΔVdV = V'dR = = 4π R2ΔR = 7,85 · 10-9 см3.

^ 8.Функции нескольких переменных. Частные производные.

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений 

нескольких величин. Например, объем ^ V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z выражается формулой V = x · y · z, т.е. значения V определяются совокупностью значений x, y и z. Реакция организма r на x единиц лекарственного препарата, вообще говоря, зависит не только от x, но и от времени t, прошедшего с момента поступления лекарства в организм:

r = x2 (a – x) · t e - t.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. ^ Переменная z называется функцией, например, двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y ставится в соответствие определенное значение z, короче: z = f(x, y).

Для функции нескольких переменных вводится понятие частная производная.

Это производная заданной функции по какой-нибудь из переменных. При ее вычислении другие переменные считаются постоянными.

Частные производные обозначаются так: , z'x , z'y .

Рассмотрим вычисление этих производных на конкретных примерах:

1. z = xy + xy2 – 1, z'x = y + y2 (y = const), z'y = x + 2 xy (x = const).

2. z = x3 sin y + y4, z'x = 3x2 sin y (y = const), z'y = x3 cos y + 4y3 (x = const).

^ 9.Задания для самостоятельной работы.

1. Пользуясь определением производной функции, доказать, что производная функции y = x2 равна .

2.Вычислить производные следующих функций:

1) y = 1 + x2 +

2) y = x + + 5

3) y = sin 2x + sin x

4) y = e5x + ln x

5) y =

6) y = e – t (a – t2)5





3. Размер популяции бактерий в момент времени t (время выражено в часах) задается формулой n(t) = 106 + 104 – 103t . Найти скорость роста популяции, когда:

а) t=1 ч; б)t = 5 ч; в) t=10 ч.

4. Разрушение некоторого пломбировочного материала в полости рта протекает в соответствии с уравнением m = m0 e k t, где m – масса материала в момент времени t, k – положительная постоянная. Найти скорость разрушения пломбы.

5. Электрический заряд Q (в Кулонах) определяется формулой: Q = 2t2 + 3t + 1. Найти силу тока в конце пятой секунды.

6. Концентрация некоторого вещества с убывает с увеличением толщины ткани (h) по закону , k – постоянный положительный коэффициент, с0 – концентрация на поверхности. Найти градиент концентрации.

7. Атмосферное давление воздуха p на высоте h над уровнем моря определяется формулой p = p0e-kh, где p0 – это давление на уровне моря, k – положительная постоянная. Найти градиент давления.

8. Решить задачу 2, приведенную в тексте (стр.4).

9. Сопоставьте графики, отмеченные буквами а) и б), на рис. 4 и проанализируйте связь между ними.

10. Вычислить дифференциал следующих функций:

а) y = x3 + 5/x2 + x4 б) y = (1 – cos x) · x2 в) y = 3 tg3x + tg x

11. Найти частные производные:

a) z = e2x sin 3y б) z = y ex + 1 в) z = x/y г) z = cos x/y

Литература.

  1. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.

  2. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов,М: Высшая школа, 1983, 383стр.




1* В конкретных задачах y и x приобретают конкретный смысл.





Скачать файл (753.8 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации