Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО - файл 1.doc


Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО
скачать (945 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc945kb.18.11.2011 16:24скачать

содержание

1.doc

1   2   3   4

ЛЕКЦИЯ 3. Математические модели объектов идентификации.


  1. ^ Основные термины в математическом моделировании. Множество моделей, структуры моделей. Первичная классификация математических моделей.

  2. Непрерывные и дискретные модели. Линейные и нелинейные модели. Статические и динамические модели. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.


М а т е м а т и ч е с к о е обеспечение имитационной системы включает в себя совокупность математических соотношений, описывающих поведение реального объекта, совокупность алгоритмов, обеспечивающих как подготовку, так и работу с моделью. Сюда могут быть отнесены алгоритмы ввода исходных данных, имитации, вывода, обработки.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

^ Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят честный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратур-ного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временнбго и пространствен-ного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные) ; процессы,в ходе ко-торых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без простран-ственного изменения параметров. Так как математические модели являют-ся отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, — статические мо-де/іи; 2) модели, переменные во времени, — динамические модели; 3) мо-дели, неизменные в пространстве, — модели с сосредоточенными параме-рами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, — модели с распределенными параметрами. Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Модели с сосредоточенными параметрами. Для данного класса моде-лей характерно постоянство переменных в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения либо дифференциальные уравнения первого порядка для нестационарных процессов. Примером объекта, оиисываемого данным классом моделей, может служить аппарат с идеальным (полным) перемешиванием потока. Скорость мешалки такова, что концентрация во всех точках аппарата одинакова.

Модели с распределенными параметрами. Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве, или если указанные изменения происходят только в пространстве, то модели описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. Их математическое описание включает обычно дифференцдальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные случас стационарных процессов с одной пространственной пе-ременной. Примером нроцесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с болыним отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1.3).

Статические модели. Статические модели отражают работу объекта в стационарных условиях, т.е. когда параметры процесса не меняются во времени. Соответственно математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравне-ний либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределен-ными параметрами. Примером объекта, описываемого статической мо-делью, служит апнарат гюлного смешения объемом V в установившемся режимс работы, в который непрерывно подаются реагеиты Л и Вв количестве ьА, ювА + ив — и) и отводится продукт реакции Р.

Динамические модели. Динамическая модель отражает изменение объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную по времени. Часто динамическую модель объекта строят в видс передаточных функций, связывающих входные и выходные переменныс (ирсдсгавлсние динамических моделей в виде передаточных функций особснно удобно для целей управления объектом). Примером динамической модели можст елужить модель рассмотренного выше аппара-та полного смешения, но работающего в неустановившемся режиме.

Математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализованный в форме модели-рующей программы. Согласно этому определению математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы

моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания,. реализованные как модели-рующая программа на одном из языков программирования.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень цетализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.


Л.1 стр.135-152, Л.4 стр.39

Контрольные вопросы


  1. Что понимается под математическим моделированием ?

  2. Классификация математических моделей

  3. Линейные и нелинейные модели

  4. Статические и динамические модели.

  5. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами


ЛЕКЦИЯ 4. Принципы составления математических моделей динамики



  1. Основы динамики технологических процессов

  2. Динамика материальных потоков. Примеры.


1. Основы динамики технологических процессов

Анализ технологических процессов показывает, что выходная переменная имеет сложную зависимость от параметров и времени. При этом детерминированные факторы определяют величину и характер изменения математического ожидания выходной переменной, тогда как неуправляемые и неконтролируемые факторы- величину и характер случайных отклонений выходной переменной от величины математического ожидания.

Построение любой математической модели начинают с физического, описания объекта моделирования. При этом выделяют "элементарные" процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат отра-жению в модели, и формулируют основные допущения, иринимаемые при их описании. В свою очередь, перечень учитываемых "элементарных" про-цессов определяет совокупность явлений, описывающих объект, которые включают в математическую модель. В цанном случае под "элементарным" процессом понимается физико-химический процесс, относящийся к опре-деленному классу явлений, например массообмен, теплопередача и т.д. Здесь следует отметить, что название "элементарные" процессы отнюдь не означает, что данные процессы являются простейшими и оиисываются не-сложными уравнениями. Так, массообмен является предметом целой тео-рии, до настоящего времеки еще далекой до полного завершения. Это название означает лишь, что такие процессы являются составляюшими много более сложного всего химико-технологического процесса.

Обычно при математическом моделировании объектов химической технологии принимаются во внимание следуюшие "элементарные" про-цессы: 1) движение потоков фаз; 2) массообмен между фазами; 3) тепло-передача; 4) изменение агрегатного состояния (испарение, конденсация, растворение и т.д.); 5) химические превращения.

Полнота математического описания "элементарных" проиессов в модели зависит от их роли во всем химико-технологическом процессе, степени изученности, глубины взаимосвязи "элементарных" процессов в объекте и желаемой точности всего описатгая. Взаймосвязь "элементар-ных" процессов может быть чрезвычайно сложной. Поэтому на практике часто делают различные допущения относительно характера связей, что позволяет избежать необходимости введения в модель недостаточно изу-ченных зависимостей и, следовательно, излишнего усложнения описания.

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирова-ния процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратурное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) - блоке "гидро-динамика". Поэтому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока ста-новится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соотяетствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнешй математической модели процесса з целом. Что касается сос-тава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно боль-шая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока цолжно включать уравнения, параметрами которых являются только физи-ко-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возмож-ным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математичес-кого описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнению ма-тематической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать опре-деленные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использо-вании блочного принципа в математическомописании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применять эмпирические соотношения.

2. ^ Динамика материальных потоков. Примеры Поведение потоков в реалных аппаратах настолько сложно, что в настоящее время дать строгое математическое опжание их в большинстве случаев не прсдставляется возможным. В то же время изв&пһо.что струк-тура потоков оказыьает сущеілвенное влияние на эффекхивность химико-технологических процессов, поэтому ее леобходимо учитывать при моце = лировании процессов. При этом математические модели структуры пото-ков являются осңовой, на которой строится математическое описзние химико-технологического процесса. Как уже отмечалось, точное описание реальных потоков (например, с помощью уравнения Навье—Стокса) при-водит к чрезвычайно трудным для решения задачам. Поэтому разработан-ные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах яв-ляются достаточно простыми и носят полуэмпирический характер, Тем не менее уже они позволяют получать модели, достаточно точно отражающие реальный физический процесс (модели, адекватные объекту).

При проведениихимико-технологических процессов часто важно знать степень полноты их завершения, что, в свою очередь, зависит от распреде-ления по времени пребывания частиц потока в аппарате, поскольку некото-рые доли потока могут задерживаться в аппарате, а другие, наоборот, про-скакивать, что непосредственно связано с временем контакта и диффузией.

Распределение времени пребывания частиц потока в аппарате (РВП) имеет стохастическую природу и оценивается статистическим распреде-лением.

Наиболее существенными источниками неравномерности распределе-ния элементов потока во времени пребывания в промышленных аппаратах являются: 1) неравномерность профиля скоростей системы; 2) турбулизация потоков; 3) наличие застойных областей в потоке; 4) каналообразование, байпасные и перекрестные токи в системе; 5) температурные градиенты движущихся сред; 6) тепло- и массообмен между фазами и т.п.

Может оказаться, что истинное время пребывания в аппарате частиц потока недостаточно для осуществления процесса диффузии, а от этого зависит эффективностъ всего диффузионного процесса в целом. Поэтому важным является учет реальной структуры потоков фаз в аппарате (а, сле-довательно, по времени пребывания) с помощью модельных представлений о внутренней структуре потоков.

Для процессов массопередачи описание структуры потоков имеет еще и тот смысл, что позволяет установить перемещение и распределение веществ в этих потоках. Поэтому все гидродинамические модели потоков записываются преимущественно в виде уравнений, определяющих изме-нение концентрации всщества в потоке.

Далее будут рассмотрены экспериментальные методы исследования структуры потоков в реальных аппаратах, наиболее распространенные математические модели структуры потоков и методы определения пара-метров моделей


Л.1 стр.51-81, Л.3,стр. 15-35

/1/ гл.2.1-2.4. /2/ гл. 1.4-1.9.


Контрольные вопросы


  1. Математические модели динамики

  2. Динамика материальных потоков

  3. Динамика массообменных процессов

  4. Динамика теплообмена



ЛЕКЦИЯ 5. Преобразование уравнений.


  1. Методы линеаризации нелинейных уравнений.

  2. Преобразование дифференциальных уравнений к операторному.




  1. Методы линеаризации нелинейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений- задача, к решению которой хорошо приспособлены аналоговые вычислительные машины.

Нелинейность резко усложняет решение, и, как правило, в этом случае требуется использование численных методов.

Часто применяется метод линеаризации нелинейных уравнений. Для линеаризации нелинейной функции необходимо ее разложить в ряд Тейлора или Маклорена.

Производная функции определяется разностным отношением:

.

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:





Если а=0 , то получаем ряд Маклорена:





Учитывая , что последующие слагаемые выше второго достаточно малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.


  1. ^ Преобразование дифференциальных уравнений к операторному

Результаты моделирования динамических процессов часто сводится к решению дифференциальных уравнений. Если применить к дифференциальным уравнениям операционные исчисления, то облегчается решение дифференциальных уравнений.

К операторным методам относится метод преобразования Лапласа:

.

Обратное преобразование имеет вид:



F(p)=L[f(t)] – называется изображением функции f(t), называемой оригиналом.

Основные свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность


L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(p)+F2(p)

L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(p)


2. Свойство подобия


L[f(at)]=1/a F(p/a)


3. Правило дифференцирования


L[df/dt]=pF(p)-f0

L[d2f/dt2]=pF(p)-(pf0+f1)


4. Правило интегрирования


L[∫f(t)dt]= F(p)/p +(f-1)/p

L[ ∫∫ f(t) (dt)2 ]= F(p)/p2 + (f-1)/p2 +(f-2)/p


5. Теорема о предельном значении


lim f(t) = lim p F(p)

t→0 p→0


  1. Теорема о начальном значении


lim f(t) = lim F(p)

t→0 p→∞


  1. Теорема о запаздывания


L [ f(t-τ) ] =e-τp F(p)


  1. Теорема о сдвиге


L [ e ± λ t f(t) ]= F(p ±λ)


  1. Теорема о свертке


Если F1(p)= L[ f1 (t) ] и F2(p)= L[ f2 (t) ] , то

F1 (p) F2 (p)= L [ ∫ f1 (t- τ) f2 (τ) dt ]


Л.1 стр.81-192, Л.3,стр. 25-55


Контрольные вопросы


  1. Линеаризация уравнений

  2. Оригинал и изображение

  3. Свойства преобразования Лапласа



ЛЕКЦИЯ 6. Аналитические методы определения характеристик объектов.

1.Основные уравнения динамики

Можно выделить следующие подходы к разработке математических моделей технологических объектов: теоретический (аналитический), экспериментально-статистический, методы построения нечетких моделей и комбинированные методы. Дадим пояснения к этим методам.

^ Аналитическими методами составления математического описания технологических объектов обычно называют способы вывода уравнений статики и динамики на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в исследуемом объекте, а также на основе заданных конструктивных параметров аппаратуры и характеристик перерабатываемых веществ. При выводе этих уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, а также кинетические закономерности процессов переноса массы и теплоты, химических превращений.

Для составления математических моделей на основе теоретического подхода не требуется проведения экспериментов на объекте, поэтому такие методы пригодны для нахождения статических и динамических характеристик вновь проектируемых объектов, процессы которых достаточно хорошо изучены. К недостаткам таких методов составления моделей можно отнести сложность получения и решения системы уравнений при достаточно полном описании объекта.

Детерминированные модели процессов нефтепереработки разрабатываются на основе теоретических представлений о структуре описываемой системы и закономерностях функционирования её отдельных подсистем, т.е. на основе теоретических методов. Располагая даже самыми обширными экспериментальными данными о системе, нельзя описать её работу средствами детерминированной модели, если эти сведения не обобщены и не приведена их формализация, т.е. представлены в виде замкнутой системы математических зависимостей, отображающих с той или иной достоверностью механизм исследуемых процессов. В таком случае следует воспользоваться имеющимися экспериментальными данными для построения статистической модели системы.

Этапы разработки детерминированной модели представлены на рис. 4.








Постановка задачи




Построение физической модели




Формулировка математической модели




Выбор метода и разработка алгоритма

решения задачи




Выбран аналитический метод?







Аналитическое Программирование и отладка

решение задачи программы на ЭВМ




Выбор параметров вычисли-

тельного процесса

Эксперименталь-

Решение контрольных задач ное определение

констант модели

Нет

Контрольные экспе- Проверка адекватности Корректировка

рименты на натур- модели модели

ном объекте Да




Исследование процесса с Информационная

помощью модели модель




Оптимизационная Оптимизация процесса с Определение целевой

модель помощью модели функции и ограничении




Управление процессом с Модель управления

помощью модели


Рис.4. Этапы разработки детерминированной модели


Несмотря на существенные различия в содержании конкретных задач моделирования разнообразных процессов нефтепереработки, построение модели включает определенную последовательность взаимосвязанных этапов, реализация которых позволяет успешно преодолевать возникающие трудности.

Первым этапом работы является постановка задачи (блок 1), включающая формулировку задания на основе анализа исходных данных о системе и её изученности, оценки выделяемых для построения модели ресурсов (кадры, финансы, технические средства, время и т.д.) в сопоставлении с ожидаемым научно-техническим и социально-экономическим эффектом.

Постановка задачи завершается установлением класса разрабатываемой модели и соответствующих требований к ее точности и чувствительности, быстродействию, условиям эксплуатации, последующей корректировки и т.д.

Следующим этапом работы (блок 2) является формулировка модели на основе понимания сущности описываемого процесса, разделяемого в интересах его формализации на элементарные составляющие явления (теплообмен, гидродинамика, химические реакции, фазовые превращения и т.д.) и согласно принятой степени детализации - на агрегаты (макроуровень), зоны, блоки (микроуровень), ячейки. При этом становится ясно, какими явлениями необходимо или нецелесообразно пренебречь, в какой мере надо учесть взаимосвязь рассматриваемых явлений. Каждому из выделенных явлений ставится в соответствие определенный физический закон (уравнение баланса) и устанавливаются начальные и граничные условия его протекания. Запись этих соотношений с помощью математических символов - следующий этап (блок 3), состоящий в математическом описании изучаемого процесса, образующем его исходную математическую модель.

В зависимости от физической природы процессов в системе и характера решаемой задачи математическая модель может включать уравнения баланса массы и энергии для всех выделенных подсистем (блоков) модели, уравнения кинетики химических реакций и фазовых переходов и переноса вещества, импульса, энергии и т.д., а также теоретические и (или) эмпирические соотношения между различными параметрами модели и ограничения на условия протекания процесса. В связи с неявным характером зависимости выходных параметров Y от входных переменных X в полученной модели необходимо выбрать удобный метод и разработать алгоритм решения задачи (блок 4), сформулированной в блоке 3. Для реализации принятого алгоритма используются аналитические и численные средства. В последнем случае необходимо составить и отладить программу для ЭВМ (блок 5), выбрать параметры вычислительного процесса (блок 6) и осуществить контрольный счёт (блок 8). Аналитическое выражение (формула) или программа, введенная в ЭВМ, представляют новую форму модели, которая может быть использована для изучения или описания процесса, если будет установлена адекватность модели натурному объекту (блок 11).

Для проверки адекватности необходимо собрать экспериментальные данные (блок 10) о значениях тех факторов и параметров, которые входят в состав модели. Однако проверить адекватность модели можно только в том случае, если будут известны (из табличных данных и справочников) или дополнительно экспериментально определены некоторые константы, содержащиеся в математической модели процесса (блок 9).

Отрицательный результат проверки адекватности модели свидетельствует о её недостаточной точности и может быть следствие целого набора различных причин. В частности, может потребоваться переделка программы с целью реализации нового алгоритма, не дающего столь большой погрешности, а также корректировка математической модели или внесение изменений в физическую модель, если станет ясно, что пренебрежение какими-либо факторами является причиной неудачи. Любая корректировка модели (блок 12) потребует, конечно, повторного осуществления всех операций, содержащихся в нижележащих блоках.

Положительный результат проверки адекватности модели открывает возможность изучения процесса путём проведения серии расчётов на модели (блок 13), т.е. эксплуатации полученной информационной модели. Последовательная корректировка информационной модели с целью повышения её точности путём учёта взаимного влияния факторов и параметров, введения в модель дополнительных факторов и уточнение различных «настроечных» коэффициентов позволяет получить модель с повышенной точностью, которая может быть инструментом для более глубокого изучения объекта. Наконец, установление целевой функции (блок 15) с помощью теоретического анализа или экспериментов и включение в модель оптимизирующего математического аппарата (блок 14) для обеспечения целенаправленной эволюции системы в область оптимума даёт возможность построить оптимизационную модель процесса. Адаптация полученной модели для решения задачи управления производственным процессом в реальном масштабе времени (блок 16) при включении в систему средств автоматического регулирования завершает работу по созданию математической модели управления.


Л.1 стр.111-122, Л.4,стр. 47-65

1   2   3   4



Скачать файл (945 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации