Контрольные вопросы - Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО

Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО
скачать (945 kb.)

Доступные файлы (1):

1.doc

945kb.

18.11.2011 16:24

скачать

содержание

1.doc

1 2 3 4

Контрольные вопросы

Аналитические методы разработки математических моделей.
Этапы разработки детерминированных моделей.

^ ЛЕКЦИЯ 7. Виды упрощений математических моделей

Упрощение математических моделей.
Качественный анализ уровня адекватности моделей..

Упрощение математических моделей

После перехода от описания моделируемой системы S к ее модели M_к, построенной по блочному принципу, необходимо построить математические модели процессов, происходящих в различных блоках. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (например, уравнений, логических условий, операторов), определяющих характеристики процесса функционирования системы S в зависимости от структуры системы, алгоритмов поведения, параметров системы, воздействий внешней среды E, начальных условий и времени. Математическая модель является результатом формализации процесса функционирования исследуемой системы, т.е. построения формального (математического) описания процесса с необходимой в рамках проводимого исследования степенью приближения к действительности.

Для иллюстрации возможностей формализации рассмотрим процесс функционирования некоторой гипотетической системы ^ S, которую можно разбить на m подсистем с характеристиками y₁ (t), y₂(t), …, y_hy (t) с параметрами h₁, h₂, …, h_nHпри наличии входных воздействий x₁, x₂, …, x_nXивоздействий внешней среды

. Тогда математической моделью процесса может служить система соотношений вида

Если бы функции f₁, f₂, …, f_m были известны, то соотношения (1) оказались бы идеальной математической моделью процесса функционирования системы S. Однако на практике получение модели достаточно простого вида для больших систем чаще всего невозможно, поэтому обычно процесс функционирования системы S разбивают на ряд элементарных подпроцессов. При этом необходимо так проводить разбиение на подпроцессы, чтобы построение моделей отдельных подпроцессов было элементарно и не вызывало трудностей при формализации. Таким образом, на этой стадии сущность формализации подпроцессов будет состоять в подборе типовых математических схем. Например, для стохастических процессов это могут быть схемы вероятностных автоматов (P-схемы), схемы массового обслуживания (Q-схемы) и т.д., которые достаточно точно описывают основные особенности реальных явлений, составляющих подпроцессы, с точки зрения решаемых прикладных задач.

Таким образом, формализация процесса функционирования любой системы S должно предшествовать изучение составляющих его явлений. В результате появляется содержательное описание процесса, которое представляет собой первую попытку четко изложить закономерности, характерные для исследуемого процесса, и постановку прикладной задачи. Содержательное описание является исходным материалом для последующих этапов формализации: построения формализованной схемы процесса функционирования системы и математической модели этого процесса. Для моделирования процесса функционирования системы на ЭВМ необходимо преобразовать математическую модель процесса в соответствующий моделирующий алгоритм и машинную программу.

Подэтапы первого этапа моделирования. Рассмотрим более подробно основные подэтапы построения концептуальной модели системы M_к и ее формализации.

^ 1.1. Постановка задачи машинного моделирования системы. Дается четкая формулировка задачи исследования конкретной системы S и основное внимание уделяется таким вопросам, как: а) признание существования задачи и необходимости машинного моделирования; б) выбор методики решения задачи с учетом имеющихся ресурсов; в) определение масштаба задачи и возможности разбиения ее на подзадачи.

Необходимо также ответить на вопрос о приоритетности решения различных подзадач, оценить эффективность возможных математических методов и программно-технических средств их решения. Тщательная проработка этих вопросов позволяет сформулировать задачу исследования и приступить к ее реализации. При этом возможен пересмотр начальной постановки задачи в процессе моделирования.

^ 1.2. Анализ задачи моделирования системы. Проведение анализа задачи способствует преодолению возникающих в дальнейшем трудностей при ее решении методом моделирования. На рассматриваемом втором этапе основная работа сводится именно к проведению анализа, включая: а) выбор критериев оценки эффективности процесса функционирования системы S; б) определение эндогенных и экзогенных переменных модели M; в) выбор возможных методов идентификации; г) выполнение предварительного анализа содержания второго этапа алгоритмизации модели системы и ее машинной реализации; д)выполнение предварительного анализа содержания третьего этапа получения и интерпретации результатов моделирования системы.

^ 1.3. Определение требований к исходной информации об объекте моделирования и организация ее сбора. После постановки задачи моделирования системы S определяются требования к информации, из которой получают качественные и количественные исходные данные, необходимые для решения этой задачи. Эти данные помогают глубоко разобраться в сущности задачи, методах ее решения. Таким образом, на этом подэтапе проводится: а) выбор необходимой информации о системе S и внешней среде E; б) подготовка априорных данных; в) анализ имеющихся экспериментальных данных; г) выбор методов и средств предварительной обработки информации о системе.

При этом необходимо помнить, что именно от качества исходной информации об объекте моделирования существенно зависят как адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования.

^ 1.4. Выдвижение гипотез и принятие предположений. Гипотезы при построении модели системы S служат для заполнения «пробелов» и понимания задачи исследователем. Выдвигаются такие гипотезы относительно возможных результатов моделирования системы S, справедливость которых проверяется при проведении машинного эксперимента. Предположения предусматривают, что некоторые данные известны или их нельзя получить. Предположения могут выдвигаться относительно известных данных, которые не отвечают требованиям решения поставленной задачи. Предположения дают возможность провести упрощения модели в соответствии с выбранным уровнем моделирования. При выдвижении гипотез и принятия предположений учитываются следующие факторы: а) объем имеющейся информации для решения задач; б) подзадачи, для которых информация недостаточна; в) ограничения на ресурсы времени для решения задачи; г) ожидаемые результаты моделирования.

Таким образом, в процессе работы с моделью системы S возможно многократное возвращение к этому подэтапу в зависимости от полученных результатов моделирования и новой информации об объекте.

1.5. Определение параметров и переменных модели. Прежде чем перейти к описанию математической модели, необходимо определить параметры системы

входные и выходные переменные

воздействия внешней среды

Конечной целью этого подэтапа является подготовка к построению математической модели системы S, функционирующей во внешней среде E, для чего необходимо рассмотрение всех параметров и переменных модели и оценка степени их влияния на процесс функционирования системы в целом. Описание каждого параметра и переменной должно даваться в следующей форме: а) определение и краткая характеристика; б) символ обозначения и единица измерения; в) диапазон изменения; г) место применения в модели.

^ 1.6. Установление основного содержания модели. На этом подэтапе определяется основное содержание модели и выбирается метод построения модели системы, которые разрабатываются на основе принятых гипотез и предположений. При этом учитываются следующие особенности: а) формулировка задачи моделирования системы; б) структура системы S и алгоритмы ее поведения, воздействия внешней среды E; в) возможные методы и средства решения задачи моделирования.

^ 1.7. Обоснование критериев оценки эффективности системы. Для оценки качества процесса функционирования моделируемой системы S необходимо выбрать некоторую совокупность критериев оценки эффективности, т.е. в математической постановке задача сводится к получению соотношения для оценки эффективности как функции параметров и переменных системы. Эта функция представляет собой поверхность отклика в исследуемой области изменения параметров и переменных и позволяет определить реакцию системы. Эффективность системы S можно оценить с помощью интегральных или частных критериев, выбор которых зависит от рассматриваемой задачи.

^ 1.8. Определение процедур аппроксимации. Для аппроксимации реальных процессов, протекающих в системе S, обычно используются три вида процедур: а) детерминированную; б) вероятностную; в) определения средних значений.

При детерминированной процедуре результаты моделирования однозначно определяются по данной совокупности входных воздействий, параметров и переменных системы S. В этом случае отсутствуют случайные элементы, влияющие на результаты моделирования. Вероятностная (рандомизированная) процедура применяется в том случае, когда случайные элементы, включая воздействия внешней среды E, влияют на характеристики процесса функционирования системы S и когда необходимо получить информацию о законах распределения выходных переменных. Процедура определения средних значений используется тогда, когда при моделировании системы интерес представляют средние значения выходных переменных при наличии случайных элементов.

^ 1.9. Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель M_к в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в)принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реавльных процессов при построении модели. Таким образом, на этом подэтапе проводится пробный анализ задачи, рассматриваются возможные методы ее решения и дается детальное описание концептуальной модели M_к, которая затем используется на втором этапе моделирования.

^ 1.10. Проверка достоверности концептуальной модели. После того как концептуальная модель M_к описана, необходимо проверить достоверность некоторых концепций модели перед тем, как перейти к следующему этапу моделирования системы S. Проверять достоверность концептуальной модели достаточно сложно, так как процесс ее построения является эвристическим и такая модель описывается в абстрактных терминах и понятиях. Один из методов проверки модели M_к-применение операций обратного перехода, позволяющий проанализировать модель, вернуться к принятым аппроксимациям и, наконец, рассмотреть снова реальные процессы, протекающие в моделируемой системе S. Проверка достоверности концептуальной модели M_к должна включать: а) проверку замысла модели; б0 оценку достоверности исходной информации; в) рассмотрение постановки задачи моделирования; г) анализ принятых аппроксимаций; д) исследование гипотез и предположений.

Только после тщательной проверки концептуальной модели ^ M_к не позволяют получить достоверные результаты моделирования.

2. Качественный анализ уровня адекватности моделей

Проверка достоверности модели системы. Эта проверка является первой из проверок, выполняемых на этапе реализации модели. Так как модель представляет собой приближенное описание процесса функционирования реальной системы S, то до тех пор, пока не доказана достоверность модели M_м, нельзя утверждать, что с ее помощью будут получены результаты, совпадающие с теми, которые могли бы быть получены при проведении натурного эксперимента с реальной системой S. Поэтому определение достоверности модели можно считать наиболее важной проблемой при моделировании систем. От решения этой проблемы зависит степень доверия к результатам, полученным методом моделирования. Проверка модели на рассматриваемом подэтапе должна дать ответ на вопрос, насколько логическая схема модели системы и используемые математические соотношения отражают замысел модели, сформированный на первом этапе. При этом проверяются: а) возможность решения поставленной задачи; б) точность отражения замысла в логической схеме; в) полнота логической схемы модели; г) правильность используемых математических соотношений.

Только после того, как разработчик убеждается путем соответствующей проверки в правильности всех этих положений, можно считать, что имеется логическая схема модели системы S, пригодная для дальнейшей работы по реализации модели на ЭВМ.

При реализации моделирующих алгоритмов на ЭВМ вырабатывается информация о состояниях процесса функционирования исследуемых систем z (t) є Z. Эта информация является исходным материалом для определения приближенных оценок искомых характеристик, получаемых в результате машинного эксперимента, т.е. критериев оценки. Критерием оценки будем называть любой количественный показатель, по которому можно судить о результатах моделирования системы. Критериями оценки могут служить показатели, получаемые на основе процессов, действительно протекающих в системе или получаемых на основе специально сформированных функций этих процессов.

В ходе машинного эксперимента изучается поведение исследуемой модели ^ M процесса функционирования системы S на заданном интервале времени [О,Т].Поэтому критерий оценки является в общем случае векторной случайной функцией, заданной на этом же интервале:

Часто используют более простые критерии оценки, например, вероятность определенного состояния системы в заданный момент времени t * є [О, Т], отсутствие отказов и сбоев в системе на интервале [О,Т] и т.д. При интерпретации результатов моделирования вычисляются различные статистические характеристики закона распределения критерия оценки.

Рассмотрим общую схему фиксации и обработки результатов моделирования системы, которая приведена на рис. 3. Будем рассматривать гипотетическую модель M, предназначенную для исследования поведения системы S на интервале времени [О, Т]. В общем случае критерием интерпретации результатов моделирования является нестационарный случайный n-мерный процесс

Полагаем для определенности, что состояние моделируемой системы ^ S проверяется каждые Δ t временных единиц, т.е. используется «принцип Δ t». При этом вычисляют значения

, критерия

Таким образом, о свойствах случайного процесса

судят по свойствам случайной последовательности

, или, иначе говоря, по свойствам m-мерного вектора вида

роцесс функционирования системы S на интервале [О, Т] моделируется N-кратно с получением независимых реализаций

вектора

Работа модели на интервале [О, ^ Т] называется прогоном модели.

На схеме, изображенной на рис. 3, обозначено I≡i; J≡j; K≡k; N≡N; T≡t; DT≡Δt; Q≡q.

В общем случае алгоритмы фиксации и статистической обработки

данных моделирования содержат три цикла. Полагаем, что имеется машинная модель M_м системы S.

В н у т р е н и й ц и к л (блоки 5-8), позволяет получить последо-вательность

в моменты времени t=0, Δ t, 2 Δ t,

…, k Δ t=T.

Рис.3.

Основной блок 7 реализует процедуру вычисления последовательности

Именно в этом блоке имитируется процесс функционирования моделируемой системы ^ S на интервале времени [О, Т].

П р о м е ж у т о ч н ы й ц и к л (блоки 3-10), в котором организуется N-кратное повторение прогона модели, позволяющее после соответствующей статистической обработки результатов судить об оценках характеристик моделируемого варианта системы. Окончательное моделирование варианта системы S может определяться не только заданным числом реализаций (блок 10), как это показано на схеме, но и заданной точностью результатов моделирования. В этом цикле содержится блок 9, реализующий процедуру фиксации результатов моделирования по i-му прогону модели

В н е ш н и й ц и к л (блоки 1-12) охватывает оба предшествующих цикла и дополнительно включает блоки 1, 2, 11, 12, управляющие последовательностью моделирования вариантов системы S. Здесь организуется поиск оптимальных структур, алгоритмов и параметров системы S, т.е. блок 11 обрабатывает результаты моделирования исследуемого k–го варианта системы OPM [Q, K], блок 12 проверяет удовлетворительность полученных оценок характеристик процесса функционирования системы

требуемым (ведет поиск оптимального варианта системы ПОВ [S (K)], блок 1 изменяет структуру, алгоритмы и параметры системы S на уровне ввода исходных данных для очередного k–го варианта системы ВИД [S (K)]. Блок 13 реализует функцию выдачи результатов моделирования по каждому k–му варианту модели системы S_k^,т.е. ВРМ [Q K].

Рассмотренная схема позволяет вести статистическую обработку результатов моделирования в наиболее общем случае при нестационарном критерии

. В частных случаях можно ограничиться более простыми схемами.

Если свойства моделируемой системы S определяются значением критерия

в некоторый заданный момент времени, например в конце периода функционирования модели t=kΔ t=T, то обработка сводится к оценке распределения n-мерного вектора

по независимым реализациям

, полученным в результате ^ N прогонов модели.

Если в моделируемой системе S по истечению некоторого времени с начала работы t₀=k₀Δ t установится стационарный режим, то о нем можно судить по одной, достаточно длинной реализации

критерия

, стационарного и эргодического на интервале [t₀, Т]. Для рассмотренной схемы это означает, что исключается средний цикл (n=1) и добавляется оператор, позволяющий начать обработку значений

при j≥k₀.

Другая особенность применяемых на практике методов статистической обработки результатов моделирования связана с исследованием процесса функционирования систем с помощью моделей блочной конструкции. В этом случае часто приходится применять раздельное моделирование отдельных блоков модели, когда имитация входных воздействий для одного блока проводится на основе оценок критериев, полученных предварительно на другом блоке модели. При раздельном моделировании может иметь место либо непосредственная запись в накопителе реализаций критериев, либо их аппроксимация, полученная на основе статистической обработки результатов моделирования с последующим использованием генераторов случайных чисел для имитации этих воздействий.

Л.1 стр.115-132, Л.2,стр. 54-58

Контрольные вопросы

Анализ результатов моделирования системы.
Представление результатов моделирования.
Интерпретация результатов моделирования.

ЛЕКЦИЯ 8. Постановка задачи идентификации

Общая схема идентификации. Основные этапы идентификации.
Априорная и апостериорная информация. Классификация методов идентификации.

Идентификация математического описания объекта является основным этапом в построении адекватной математической модели процесса и поэтому представляет собой одну из центральных задач математического моделирования химико-технологических процессов. Как уже отмечалось, большинство таких процессов представляет собой многофазную много-компонентную среду, распределенную в пространстве и во времени. Су-щественной особенностью этих процессов является их детерминированно-стохастическая природа, определяемая наложением стохастических особен-ностей гидродинамической обстановки в аппарате на процессы массо-и теплопереноса. Как следствие этого, параметры математических моделей отражают стохастические особенности протекания процесса и определяются статистическими методами.

В настоящее время наиболее разработана теория оценивания линейных по параметрам математических моделей. Однако большинство моделей химико-технологических процессов нелинейны по параметрам, что создает значительные трудности при решении задач их идентификации. Поэтому часто идентификацию нелинейных моделей проводят либо с помощью при-ближенных оценок, либо путем линеаризации исходной модели химико-технологического процесса. В настоящей главе будут рассмотрены методы идентификации как линейных, так и нелинейных математических моделей.

Так как наряду с оценкой неизвестных параметров задача идентифи-кации подразумевает сравнение рассчитываемых по модели переменных состояния химико-технологического процесса с наблюдаемыми (экспери-ментальными) значениями, то в данной главе рассматриваются и методы установления соответствия (адекватности) модели реальному объекту.

Л.1 стр.145-162, Л.2,стр. 74-78

Контрольные вопросы

Основные этапы идентификации
Априорная и апостериорная информация
Классификация методов идентификации

ЛЕКЦИЯ 9. Критерий идентификации

Критерий идентификации.
Функционал невязки.

Критерии адекватности моделей. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Поэтому значения переменньгх, получаемые на модели и объекте, различаются. Здесь возникает задача установления близости модели реальному объекту (установления адекватности модели). Прежде чем приступить к проверке и установлению адекватности, необходимо выработать критерий, который позволил бы сделать заключение о соответствии модели и объекта. Они базируются в основном на методах дисперсионного анализа и анализа остатков.

Дисперсионный анализ моделей используется для сравнения величин остятков с величинами характеризуюшими ошибку измерений. Используя такое сравненне, исследователь способен установить как общую адекватность модели, так и способы ее дальнейшего упрощения с помощью выбрасывания из модели незначимых членов. Для этого вычисляют величины сумм квадратов, характеризующие соответственно разброс экспериментальных данных и разброс рассчитанных по модели значений отклика. Разности называемые остатками, представляют собой меру неспособности модели точно описать экспериментальные данные. Очевидно, что если испытывая модель истинна, то остатки фактически есть оценки экспериментальной ошибки измерений.

На основании метода наименьших квадратов можно показать, что для перечисленных сумм справедливо следующее равенство:

SS (1) = SS (2) + SS (3).

При проведении дисперсионного анализа каждому отдельному изме-рению отклика приписывается одна степень свободы. Следовательно, при постановке п опытов для однооткликовой ситуации (ситуации с одной за-меряемой выходной переменной) общая сумма квадратов SS(1) обладает п степенями свободы; SS(3) имеет (п - р) и SS(2) имеет р степенеи сво-боды (р — число параметров в модели , с использованием оценок кото-рых вычисляется сумма SS (2) ).

При проведении повторных измерений в одинаковых условиях экспе-

римента сумма квадратов, содержит всю необходимую информацию об ошибках измерений.

Если проведено п повторных опытов при каждом из ц различных условий проведения эксперимента, то сумма квадратов имеет п- 1 степеней свободы в одном повторном эксперименте (одна степень свободы используется для оценки), в то время как сумма квадратов обла-дает п- р-q(п— 1) степенями свободы: поедеднее число определяется как разность между числом степеней свободы остаточной суммы квадратов.

Суммы квадратов, обусловленные различными источниками, будучи поделенными на соответствующие числа степеней свободы, определяют соответствующие дисперсии. Очевидно, что адекватность модели может определяться отношением дисперсии адекватности модели к дисперсии воспроизводимости. Если это отношение велико (по крайней мере существенно больше единицы), то имеются достаточно веские доводы в пользу того, что испытываемая модель не отражает результаты эксперимента,

Если модель правильно отражает свойства объекга, то расхождения между экслериментальными значениями и соответствующими значениями, вычислениыми по модели, можно рассматривать как случайные величины. Тогда установление адекватности можно проводить с помощыо проверки некоторых статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимают некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности случайной величины. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении статистических показателей, критериев проверки, вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определенными в предположении, что проверяемая гипотеза верна. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, задают уровень значимости р (обычно от 0,1 до 5 %), который определяет вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута на основании анализа выборки.

Оценка адекватности однооткликовых моделей с помощью критерия Фишера. В случае однооткликовых моделей адекватность может быть проверена с помощью критерия Фишера (Ғ -критерия).

Основная гипотеза, которая при этом проверяется, состоит в следую-щем : можно ли считать сравниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генеральной дисперсии ? Если да, то дисперсии незначимо отличаются друг от друга. Рассчитанные по модели значения удовлет-ворительно совпадают с экспериментальными и модель адекватна объек-ту в пределах точности эксперимента. В противном случае модель неадекватна обьекту.

Л.1 стр.166-174, Л.2,стр. 81-88

Контрольные вопросы

Критерий идентификации
Функционал невязки
Минимизация функционала невязки

ЛЕКЦИЯ 10. Общие задачи статистической идентификации.

Структурная статистическая идентификация.
Организация статистической процедуры идентификации модели..

В практике моделирования систем информатики наиболее часто приходится иметь дело с объектами, которые в процессе своего функционирования содержат элементы стохастичности или подвергаются стохастическим воздействиям внешней среды. Поэтому основным методом получения результатов с помощью имитационных моделей таких стохастических систем является метод статистического моделирования на ЭВМ, использующий в качестве теоретической базы предельные теоремы теории вероятностей. Возможность получения пользователем модели результатов статистического моделирования сложных систем в условиях ограниченности машинных ресурсов существенно зависит от эффективности процедур генерации псевдослучайных последовательностей на ЭВМ, положенных в основу имитации воздействий на элементы моделируемой системы.

^ Общая характеристика метода статистического моделирования

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы S с учетом воздействий внешней среды Е статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики [10, 13, 18].

^ Сущность метода статистического моделирования. Таким образом, сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды Е, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

Различают две области применения метода статистического моделирования: 1) для изучения стохастических систем; 2) для решения детерминированных задач. Основной идеей, которая используется для rrрешения детерминированных задач методом статистического моделирования, является замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой стохастической системы, выходные характеристики последней совпадают с результатом решения детерминированной задачи. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближенное решение и погрешность уменьшается с увеличением числа испытаний (реализации моделирующего алгоритма) N.

В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S.

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализации) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.

^ Неравенство Чебышева. Для неотрицательной функции g () случайной величины  и любого K>0 выполняется неравенство

P{g()>=K}M[g()]/K. (4.1)

В частности, если g()=(—x)² и К=k²² (где х—среднее арифметическое;

 — среднее квадратическое отклонение), то

P{| -x|>=k} 1/k²). (4.2)

^ Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при N сходится по вероятности к р, т. е. при любом >0

lim P{|mlN-p|>=}=0, (4.3)

где т — число положительных исходов испытания.

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i-м испытании равна р_i, то относительная частота появления события m/N при N сходится по вероятности к среднему из вероятностей р_i, т. е. при любом >0

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения x₁,x₂,…,x_nслучайной величины , то при N среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию а, т. е. при любом >0

^ Обобщенная теорема Чебышева. Если ₁, … ,_n — независимые случайные величины с математическими ожиданиями а₁, ... а_n и дисперсиями ₁², ..,_n², ограничен-ными сверху одним и тем же числом, то при N среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

^ Теорема Маркова. Выражение (4.6) справедливо и для зависимых случайных величин ₁, … ,_n , если только

Совокупность теорем, устанавливающих устойчивость средних показателей, принято называть законом больших чисел.

^ Центральная предельная теорема. Если ₁, … ,_n — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математическое ожидание а и дисперсию ², то при N закон распределения суммы, неограниченно приближается к нормальному:

N β

lim P{<( x_i-Na)√Nσ<β}=1/√2π ∫ e^-^t^*^t^/2 dt = Ф₀(β)- Ф₀(α) (4.7)

N00 i=1 α

Здесь интеграл вероятностей γ

Ф₀(γ)=1/2π ∫ e^-^t^*^t^/2dt.

-

^ Теорема Лапласа. Если в каждом из N независимых испытаний событие А появляется с вероятностью р, то

lim P{<(m-Np)√Np(1-p) <β}=Ф₀(β)- Ф₀(α) (4.8)

N

где m — число появлений события А в N испытаниях. Теорема Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы.

^ Примеры статистического моделирования. Статистическое моделирование систем на ЭВМ требует формирования значений случайных величин, что реализуется с помощью датчиков (генераторов) случайных чисел. Не останавливаясь пока на способах их реализации для целей моделирования на ЭВМ, поясним сущность метода статистического моделирования следующими примерами.

Пример 4.1. Необходимо методом статистического моделирования найти оценки выходных характеристик некоторой стохастической системы Sr, функционирование которой описывается следующими соотношениями: х = 1 — е ^- " — входное воздействие, v=1-e^-^ — воздействие внешней среды, где  и  — случайные величины, для которых известны их функции распределения. Целью моделирования является оценка математического ожидания М[у] величины у. Зависимость последней от входного воздействия х и воздействия внешней среды v имеет вид y= √x²+v².

Рис. 4.1. Структурная схема системы S_R.

В качестве оценки математического ожидания М[у], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле N

y=1/N ∑y_i,

i=1

где у_i— случайное значение величины у; N — число реализации, необходимое для cстатистической устойчивости результатов.

Структурная схема системы Sr показана на рис. 4.1.

Здесь элементы выполняют следующие функции:

вычисление В₁:возведение в квадрат К,:суммирование С:извлечение квадратного корня И:

Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки M[y] системы Sr, приведена на рис. 4.2. Здесь LA и FI -- функции распределения случайных величин  и ; N- заданное число реализации; Ii-номер текущей реализации; LAT_i; FII_i; EXPe; MYM[y], SYy_i- суммирующая ячейка; ВРМ[...], ГЕН[...], ВРМ[...]—процедуры ввода исходных данных, генерации псевдослучайных последовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно.

Таким образом, данная модель позволяет получить методом статистического моделирования на ЭВМ статистическую оценку математического ожидания выходной характеристики М[у] рассмотренной стохастической системы Sr. Точность и достоверность результатов взаимодействия в основном будут определяться числом реализации N.

Пример 4.2. Необходимо методом статистического моделирования найти оценку площади фигуры (рис. 4.3), ограниченной осями координат, ординатой =1 и кривой  =f(); при этом для определенности предполагается, что 0≤ f()≤1 для всех , 0≤а≤1.

Таким образом, данная задача является чисто детерминированной, и ее аналитическое решение сводится к вычислению определенного интеграла, т. е. искомая площадь фигуры.

Для решения этой детерминированной задачи методом статистического моделирования необходимо предварительно построить адекватную по выходным характеристикам стохастическую систему S_D , оценки характеристик которой будут совпадать с искомыми в данной детерминированной задаче.

Система S_D функционирует следующим образом: получается пара независимых случайных чисел интервала (0, 1), определяется координата точки (х_i х_i₊₁), показанной на рис. 4.3, вычисляется ордината у_i =f(x_i) и проводится сравнение величин _i и х_i₊₁; причем если точка (х_i_, х_i₊₁) попала в площадь фигуры (в том числе и на кривую f(x)), то исход испытания считается положительным h_i= 1 и в итоге можно получить статистическую оценку площади фигуры Sф по заданному числу реализаций N.

Логическая схема моделирующего алгоритма вероятностной системы S_D предcтавлена на рис. 4.5. Здесь Уу=f(а)—заданная функция (табличная кривая);

N—заданное число реализации; Ii номер текущей реализации; XIx_i, XIIx_i₊₁, HIh_i, Ss, SHh^’- суммирующая ячейка.

Таким образом, построение некоторой стохастической системы S_Dпозволяет методом статистического моделирования получить оценки для детерминированной задачи.

Пример 4.3. Необходимо методом статистического моделирования решить следующую задачу. Проводится s= 10 независимых выстрелов по мишени, причем вероятность попадания при одном выстреле задана и равна р. Требуется оценить вероятность того, что число попаданий в мишень будет четным, т. е. О, 2, 4, 6, 8,10. Данная задача является вероятностью, причем существует ее аналитическое решение.

В качестве объекта статистического моделирования можно рассмотреть следующую вероятностную систему Sp, структура которой представлена где элементы выполняют такие функции.

Выходным воздействием в данной системе Sp является событие четного числа попаданий в мишень в серии из десяти выстрелов. В качестве оценки выходной характеристики необходимо при числе испытаний (серий выстрелов), равном N, найти вероятность четного числа попаданий:

Логическая схема алгоритма статистического моделирования для оценки искомой характеристики такой системы ^ Р(у) приведена на рис. 4.7. Здесь Р=р—заданная вероятность попадания в мишень при одном выстреле; N — заданное число реализации; XIx_i, HJh_j, PYP(y), SY y_j- суммирующая ячейка.

В данном моделирующем алгоритме после ввода исходных данных и реализации операторов цикла происходит обращение к генератору случайных чисел, т. е. получаются значения х, случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Вероятность попадания случайной величины в интервал (0, р), где о< 1, равна длине этого отрезка, т. е. Р {xi<p] == p. Поэтому при каждом моделировании выстрела полученное случайное число х, сравнивается с заданной вероятностью р и при х,<р регистрируется «попадание в мишень», а в противном случае — «промах». Далее моделируются серии из десяти испытаний каждая, подсчитывается четное число «попаданий» в каждой серии и находится статистическая оценка искомой характеристики Р (у).

Таким образом, подход при использовании статистического моделирования независимо от природы объекта исследования (будет ли он детерминированным или стохастическим) является общим, причем при статистическом моделировании детерминированных систем (система 5д в примере 4.2) необходимо предварительно построить стохастическую систему, выходные характеристики которой позволяют оценить искомые.

Отметим, что во всех рассмотренных примерах не требуется запоминания всего множества генерируемых случайных чисел, используемых при статистическом моделировании системы S. Запоминается только накопленная сумма исходов и общее число реализаций. Это немаловажное обстоятельство вообще является характерным при реализации имитационных моделей методом статистического моделирования на ЭВМ.

Псевдослучайные последовательности и процедуры их машинной генерации

При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системы S при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от класса объекта моделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования. Для метода статистического моделирования на ЭВМ характерно, что большое число операций, а соответственно и большая доля машинного времени расходуются на действия со случайными числами. Кроме того, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел. Поэтому наличие простых и экономичных способов формирования, последовательностей случайных чисел требуемого качества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования систем [31, 37, 46].

Рассмотрим возможности и особенности получения последовательностей случайных чисел при статистическом моделировании систем на ЭВМ. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел: аппаратный (физический), табличный (файловый) и алгоритмический (программный).

^ Аппаратный способ. При этом способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой — генератором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д. Рассмотрим принцип получения случайных чисел от приставки, основанный, например, на эффекте шума в полупроводниковых приборах.

Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел приведена на рис. 4.8, а. Здесь ИШ — источник шума; КС — ключевая схема; ФИ — формирователь импульсов; ПС — пересчетная схема. При усилении шумов на выходе ИШ получается напряжение, которое является случайным процессом, показанным на временной диаграмме рис.4.8, б. Причем отрезок шумовой реализации u_k(t), сформированный на интервале времени (0,Т) с помощью КС, содержит случайное число выбросов. Сравнение напряжения u_k(t) с пороговым U_n позволят сформировать на выходе ФИ серию импульсов u_ф(t). Тогда на выходе ПС может быть получена последовательность случайных чисел х_i(t). Например, если провести масштабирование и принять длину интервала (0,Т) за единицу, то значения интервалов времени t_i=t_i₊₁-t_iмежду соседними импульсами u_ф(t) будут случайными числами х_i(0,1). Возможны и другие схемные решения аппаратных генераторов случайных чисел [29 , 37]. Однако аппаратный способ получения случайных чисел не позволяет гарантировать качество последовательности непосредственно во время моделирования системы S а ЭВМ, а также повторно получать при моделировании одинаковые последовательности чисел.

^ Табличный способ. Если случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещать во внешнюю или оперативную память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствующий файл (массив чисел), то такой способ будет называться табличным. Однако этот способ получения случайных чисел при моделировании систем на ЭВМ обычно рационально использовать при сравнительно небольшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, когда для хранения можно применять оперативную память. Хранение файла во внешней памяти при частном обращении в процессе статистического моделирования на рационально, так как вызывает увеличение затрат машинного времени при моделировании системы из-за необходимости обращения к внешнему накопителю. Возможны промежуточные способы организации файла, когда он переписывается в оперативную память периодически по частям. Это уменьшает время на обращение к внешней памяти, но сокращает объем оперативной памяти, который можно использовать для моделирования процесса функционирования системы S.

Л.1 стр.178-194, Л.2,стр. 92-98

Контрольные вопросы

Структурная статистическая идентификация.
Статистические аппараты исследования
Организация статистической процедуры.

ЛЕКЦИЯ 11. Прямые методы определения динамических характеристик объектов

Идентификация с помощью сигналов специального вида

2. Идентификация с помощью частотных характеристик.

Идентификация с помощью сигналов специального вида

2.Идентификация с помощью частотных характеристик.

Л.1 стр.176-184, Л.3,стр. 51-68

Контрольные вопросы

Преобразование Фурье
Частотные характеристики.
Переходные функции
Импульсная переходная функция

ЛЕКЦИЯ 12. Параметрическая идентификация объектов

Статические детерминированные модели.
Динамические детерминированные модели.

Применение методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров. Построенные с по-мощью экспериментального либо экспериментально-аналитического метода математические модели содержат неизвестные константы (параметры), значения которых определяются по экспериментальным данным. Если используемые модели линейны относительно искомых параметров, то за-дача их оценки сравнительно легко решается методами линейного регрес-сионного анализа и, в частности, методом наименыиих квадратов.

Оценка неизвестных параметров в методе наименьших квадратов про-изводится с помощью минимизации суммы квадратов рассогласований. Такой подход во многих важных ситуациях приводит к оценкам, обладаю-щим важными свойствами оптимальности.

Схему наблюдений называют линейной моделью. Эту модель удобно записать в матричной форме.

В данном случае применение метода наименыних квадратов состоит в минимизации суммы квадратов

Однако подавляющее большинство моделей нелинейны по парамет-рам, что значительно усложняет методы их оценки. Рассмотрим процедуру идентификации таких моделей более подробно. Пусть имеется т моделей механизма протекания процесса в аппарате.

Между случайными величинами обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохастической.

Если две случайные величины X и Ү независимы, то дисперсия суммы этих величин равна сумме дисперсий:

Д(Х + Ү)=Д(Х) + Д(Ү).

Если же данное равенство не выполняется, то величины X и Ү являются зависимыми.

Матрица в правой части последнего уравнения называется дисперсионно-ковариационной матрицей, Ее диагональные элементы представляют собой дисперсии случайных величин, а недиагональные — ковариации соответствующих случайных величин, определяющие статистическую зависимость между ними.

Рассмотрим сначала однооткликовые модели, т.е. модели с одной вы-ходной переменной. При оценке неизвестных параметров моделей очень часто используется метод максимального правдоподобия, предложенный Р. Фишером и являющийся основой многих процедур проверки гипотез и доверительного интервального оценивания для больших выборок.

Пусть имеется непрерывная случайная величина, закон распределения которой задан плотностью вероятности f(х, Ө). Составим функцию правдоподобия:

Суть метода. максимального правдоподобия состоит в том, что в ка-честве оценок параметров Ө_п — (Ө_1у Ө₂, ..., Ө_р) берут такие значения Ө_1гӨ₂, ..., Ө_р, при которых f_п достигает наибольшего возможного значения. Так как 1пf/_п достигает максимума при тех же значекиях Ө, что и сама f_п, то на практике часто удобнее использовать функцию 1пf_п , которую можно называть логарифмической функцией правдоподобия. Значения Ө\, Ө₂, …, Ө_р являются функциями выборки Хі, х₂, ..., х_п и называются оценками максимального правдоподобия.

Для нахождения оценок максимального правдоподобия следует ре-шить относительно Ө_1гӨ₂,..., Ө_р систему уравнений правдоподобия

Если семейство распределений ошибок воспроизводимости е_и отве-чает условиям регулярности, то оценки максимальңого правдоподобия в большинстве случаев являются состоятельными в том смысле, что оценка

мараметров по вероятности стремится к истинному значению, когда объем опмтов неограниченно растет. Условия регулярности и состоятельности обсспечивают асимптотическую эффективность оценок параметров. Кроме того, если распределение ошибок измерений принадлежит параметрическому эспоненциальному типу, то оценка вектора неизвестных параметров является достаточной, т.е. содержит всю необходимую информацию, имеющуюся в исходных экспериментальных данных. Итак, оценки искомых параметров, найденные методом максимального правдоподобия, при достаточно слабых ограничениях на функцию распределения ошибок е_и и ири больших выборках обладают многими важными оптимальными свойствами.

При практическом использовании метода максимального правдоподо-бин обычно предполагается известным вид плотности распределения ошибок наблюдений, причем наряду с неизвестными параметрами моделей могут быть оценены и неизвестные параметры плотности распределения.

Предположим.что для модели некоторым способом получены оцснки параметров Ө .

Пусть поставлены п опытов. Обозначимчерез р(е_и, ф) плотность рас-пределения случайной величины е_и, а через р(е, ф) — совместную плотность распределения случайного вектора е = (е_ь е₂, ..., е_п), где ф - вектор параметров плотности распределения, содержащий, в частности, для нормальной плотности величины математического ожидания и дисперсии воспроизводимости.

В зависимости от плотности распределения вероятностей ошибок наблю-дений е определяется конкретный вид функции Ь'¹' (Ө ., ф). Так, если слу-чайные величины е_и (и = 1, 2, ...,л) независимы и нормально распределеңы с нулевым средним и известными дисперсиями.

Отметим, что при нормально распределенных ошибках наблюдений оценки нараметров , найденные методом максимального правдоподобия и методом наименьших квадратов, совпадают и поэтому они обладают общими оптимальными свойствами.

В соответствии с принципом максимального правдоподобия оценки параметров максимального правдоподобия Ө при известной дисперсионно-ковариациониой матрице изменений максимизируют , если вектор параметров Ө минимизирует величину .

Если матрица 2 - диагональная, то представляет собой взвешенную сумму квадратов остатков.

Если дисперсионно-ковариационная матрица ошибок наблюдений априори неизвестна, то, используя байесовский подход, оценки параметров максималького правдоподобия получают минимизацией по параметрам

В ряде случаев.особенно при распределениях ошибок наблюдений, ог-личных от нормальных, испояьзование метода максимального правдонодо-бия приводит к иным критериям, характеризующим стеііенъ близости рас-четных и экспериментальных данных. В частности, если ошибка распределена по Лапласу, то необходимо использовать для однооткликовых ситуаций метод наименьших модулей и соответственно критерий равенства.

Интервальные оценки параметров. Выше говорилось о точечных оцен-ках искомых параметров моделей, полученных методом максимального правдоподобия. Последние, хотя и обладают некоторыми оптимальными асимптотическими свойствами, но не обеспечивают важную дополнитель-иую информаиию о точности определяемых оценок и о мере нелинейности модели особенно в малых выборках. Такую ннформацию содержат харак-терситики доверительных областей.

^ Доверительный интервал (доверительная область) для некоторого параметра (совокупности параметров) функции распределения есть интер-

вал (область) в параметрическом пространстве, определяемый достаточной статистикой выборки измеренных величин и обладающий тем свойством что вероятность того, что он содержит "истинное" значение параметра, равна по крайней мере наиеред заданному значению а. Величину а называют доверительным уровнем.

Рассмотрим сначала случай, когда модель f(х, Ө ) является линейной функцией параметров (т.е.f(х, Ө) = хӨ). Оценки максимального правдо-подобия Ө здесь являются наилучшими линейными несмещенными оцен-ками Ө, и точные доверительные области Ө могут быть построены с исполь-зованием декомпозішии суммы квадратов на остаточную сумму квад-ратов и сумму квадартов, обусловленную регрессией.

В случае достаточности оценки остаточная сумма квадратов не за-висит от Ө, а зависит только от х и у.

Рассмотрим теперь задачу построения точных доверительных областей для параметров Ө в случае нелинейных относительно параметоов моделей, общий интегральный вид которых может быть записан как f(д:, Ө). Данная задача по сравнению с линейным случаем резко усложняется, так как для нелинейных по параметрам моделей не существует множества достаточных статистик. Однако при определенных условиях регулярности для f(х , Ө) и при многомерном нормальном распределении существует множество статистик, совместно достаточных для Ө ; это имеет место тогда и только тогда, когда f(х, Ө) существенно линейна.

^ Для аппроксимации f(х, Ө) линейной формой необходимо разложить f(х, Ө) в подходящие многомерные ряды с их последующим усечением Выбор осушествляют таким образом, чтобы было достигнуто наилучшее приближение f(х , Ө) усеченным рядом. Затем выбирают квадратичные формы чтобы построить 100 а %-ные доверительные области для Ө. При этом точность аппроксимации практически не влияет на точность оценки вероятности выполнения неравенства.

Таким образом, в общем случае для нелинейно параметризованных моделей большая часть результатов, полученных для линейных моделей, неприменима. В самом деле, даже если ошибка измерений нормальна, вектор параметров может не быть нормально распределенной величиной.

Для линейных моделей 5 (Ө) представляет собой квадратичную фор-

Му и, следовательно, доверительные области являются эллиптическими,

длм нелинейных они уже не эллиптические и, как правило, несимметричны

• N йананоподобны. Если нелинейно параметризованная модель содержит

' только два параметра, то контур доверительных интервалов сравнительно

■ Легко построить. Если же число параметров больше двух, то можно вычер-

тип. соответствующие сечения на координатных плоскостях. Рассматри-

ввемая процедура построения доверительных областей обладает, однако,

ивжиыми асимптотическими свойствами в том смысле, что действительная

("іістинная") доверительная вероятность сходится к выбранному априори

значению, когда объем выборки неограниченно возрастает. Показано, чтс при определенных условиях регулярности оценки параметров Ө состоятель ны и асимптотически нормальны. В таком случае множество Ө, удовлет воряющих неравенству

8 0) -5 0)<_Х²_а(р), (279)

определяет асимптотически 100 а %-ную доверительную область для Ө.

Все же в большинстве случаев оценивание параметров в нелинейных моделях проводится по небольшим совокупностям экспериментальных данных и поэтому результаты асимптотической теории малопригодны на практике,

Построение доверительных интервалов параметров нелинейных мо-делей может проводиться с учетом степени нелинейности модсли. Мера, учитываюшая степень целинейности /(х, Ө), позволяет усгановить, для каких нелинейно параметризованных моделей /(х, Ө) без заметных по-грешностей можно построить доверительные обяасги, используя вместс /(х, Ө) линеаризованные модели. Однако при величинах меры нелиней-ности, больших единицы, данный метод построеішя доверихельных облас-тей становится уже непригодным.

Интервальные оценки параметров нелинейных моделей при срав-нительно небольших затратах на вычислительную работу позволяет полу-чить метод поочередной оценки приближений искомого параметра (джек-найф-метод). Этот метод, не требующий использования никаких предпо-ложений о нормальности ошибок измерений или их однородности, дает возможность определить оценки Ө, которые асимптогически нормальн'. распределены.

Для проверки гипотезы о среднем значении и вычисления доверитель-иого интервала в одномерном случае обычно используется статистика, по-лучающаяся в результате деления разности между выборочным средним значением 0 и гипотетическим математическим ожиданием 0 генеральной совокупности на среднеквадратическое отклонение а. Основываясь на зтом, можно построить критерий для проверки гипотезы Ө = Ө₀, где Ө₀ — задан-ное число, или построить доверительный интервал для неизвестного па-раметра.

Совокупносгь точек, координаты которых удовлетворяют условию, образуют в р-мерном пространстве гиперэллипсоид, размеры и форма когорого зависят от уровня значимости а. Отметим, что эллипсоид, удовлетворяющий условию , конечно, является случайным, так как случайна выборка Отметим, что численные значения оценки при п зависят от исходного разбиения вектора наблюдений на подвекторы к, так как индквидуальные наблюдения в общем имеют неидентичные распределения. Если план эксперимента предусматривал проведение к повторных измерений а каждой из т точек (п = кт), то обычно выбирают п — к и исключают последовательно по одной полной реплике при конструировании процедуры. Часто при применении этой процедуры полагают, что устраняет неопределенность в разбиении у на подвекторы У^т более надежные результаты. Байесовские оценки параметров. В рассмотренных выше методах оценки параметров нелинейных моделей совсем не использовалась априорная (известная цо эксперимента) информация о параметрах, которой во многих случаях располагает исследователь. Дело в том, что практически всегда ещедо постаиовки эксперимента исследователь имеет некоторое представление о числовых значениях парамегров модели. В частности, исходя из физического смысла изучаемого процесса, он может заранее исключить значения ряда параметров как невозможные, либо установить предлочтителнгость одних числовых значений параметров перед другими. Все свои априорные сведения исследователь закладывает в так называемом априорном распределении параметров Ғ₀ 0) или априорной плотности распределения р_п 0). Функция плотности распределения параметров р₀ 0) является неотрицательной и обладает следующим свойством; Ро 0 і) /ро (Ө 2) > 1. если значения вектора параметров Ө _х правдоподобнее значений 0₂- При этом не требуется выполнения условий нормировки ір₀ (Ө)О.Ө = I. Очевидно, что равномерная априорная плотность распреде-ления параметров характеризует ситуацию, когда все значения Ө равновероятны в допустимой области существования параметров. После формализации априорных сведений об изучаемом процессе и построения априорной плотности распределения параметров р₀ (Ө) исследователь проводит эксперимент. При этом вся экспериментальная информация содержится в функции правдоподобия Ь (Ө\у). Тогда вся информация, характеризующая параметры Ө, будет сосредоточена в апостериорной (полученной после эксперимента) плотности распределения р(Ө \у),

После построения апостериорной плотности распределенияр(Ө |_у) пе-реходят к непосредственному расчету точечных оценок вектора парамет-ров 6. В статистике оценки Ө, использующие априорную инф^ормацию и вычисленные по апостериориой плотности распределения р(Ө\у), носят название байссовских оценок, Чаще всего в физико-химических иссле-д^ованиях в качестве байесовской оценки параметров используют оценку Ө , удовлетворяющую условию,что является естественным обобщением метода максимального правдо-подобия на задачи байесовского оценивания.

Оценки Ө иногца называют обобщенными оценками максимального правдотюдобия. Они, в частности, совпадают с оценками максимального

нравдоподобия, если плотность распределения р₀(Ө) равномерна. Кроме того, вектор истинных значений параметров Ө_ис7 сходится к Ө при любом Ро(Ө) и при неограниченном увеличении объема выборки. Следовательно, оценки Ө обладают свойствами состоятелытости и асимптотической эф-фективности, как и оценки максимального правдоподобия.

Отметим в заключение, что построение точной апостериорной плот-ности распределения параметров Ө возможно только для линейно парамет-ризованных моделей. Однако большинство моделей химико-технологи-ческих процессов являются нелинейно параметризованными. Поэтому для них обычно требуется линеаризация по параметрам.

Л.1 стр.176-181, Л.2,стр. 91-98

Контрольные вопросы

Статические детерминированные модели
Динамические детерминированные модели.
Исходная информация для идентификации.
Оценка по методу наименьших квадратов

ЛЕКЦИЯ 13. Методы статистической идентификации

Интеграл свертки. Определение корреляционных функций сигналов.
Статические методы получения частотных характеристик. Уравнение Винера-Хопфа.

Интеграл свертки. Определение корреляционных функций сигналов

Рассмотрим некоторые особенности статистических методов, используемых для обработки результатов моделирования системы S. Для случая исследования сложных систем при большом числе реализации N в результате моделирования на ЭВМ получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т. е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы S.

Если при моделировании процесса функционирования конкретной системы S учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значения, дисперсии, корреляционные моменты и т. д.

Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события ^ А. В качестве оценки для искомой вероятности р=Р(А) используется частность наступления события m/N, где т — число случаев наступления события А; N — число реализации. Такая оценка вероятности появления события А является состоятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимости получения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь число т (при условии, что N задано заранее).

Аналогично при обработке результатов моделирования можно подойти к оценке вероятностей возможных значений случайной величины, т. е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины η разбивается на п интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы

. Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина m_k/N. Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений m_k при обработке результатов моделирования на ЭВМ.

Для оценки среднего значения случайной величины η накапливается сумма возможных значений случайной величины y_k, k=, которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднее значение

При этом ввиду несмещенности и состоятельности оценки

В качестве оценки дисперсии случайной величины η при обработке результатов моделирования можно использовать

Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, так как среднее значение

изменяется в процессе накопления значений y_k. Это приводит к необходимости запоминания всех N значений у_k. Поэтому более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для оценки дисперсии с использованием следующей формулы:

Тогда для вычисления дисперсии достаточно накапливать две суммы: значений y_kи их квадратов y_k².

Для случайных величин ξ и η с возможными значениями x_k и y_k корреляционный момент

или

Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессе моделирования небольшого числа значений.

Если при моделировании системы ^ S искомыми характеристиками являются математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса у (t) [в интервале моделирования (0, T)], то для нахождения оценок этих величин указанный интервал разбивают на отрезки с постоянным шагом Δt и накапливают значения процесса y_k(t) для фиксированных моментов времени t=t_m=mΔt.

При обработке результатов моделирования математическое ожидание и корреляционную функцию запишем так:

где u и z пробегают все значения t_m.

Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение промежуточных результатов последнее выражение также целесообразно привести к следующему виду:

Отметим особенности фиксации и обработки результатов моделирования, связанные с оценкой характеристик стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Пусть рассматривается процесс у (t). Тогда с учетом этих предположений поступают в соответствии с правилом: среднее по времени равно среднему по множеству. Это означает, что для оценки искомых характеристик выбирается одна достаточно продолжительная реализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксировать результаты моделирования. Для рассматриваемого случая запишем математическое ожидание и корреляционную функцию процесса:

На практике при моделировании на ЭВМ системы S интервал (О, Т) оказывается ограниченным и, кроме того, значения y(t) удается определить только для конечного набора моментов времени t_m. При обработке результатов моделирования для получения оценок

и В (τ) используем приближенные формулы

которые целесообразно преобразовать к виду, позволяющему эффективно организовать порядок фиксации и обработки результатов моделирования на ЭВМ .

Л.1 стр.175-186, Л.2,стр. 93-101

Контрольные вопросы

Определение корреляционных функций сигналов.
Статические методы получения частотных характеристик.

ЛЕКЦИЯ 14. Методы непараметрической идентификации

Аппроксимация характеристик объектов и сигналов
Методы идентификации, основанные на аппроксимации переходной функции.

Л.1 стр.186-196, Л.2,стр. 103-111

Контрольные вопросы

Аппроксимация характеристик объектов и сигналов
Аппроксимация переходной функции.

ЛЕКЦИЯ 15. Идентификация нелинейных динамических объектов

1. Применение гармонической линеаризации при идентификации объектов.

2. Использование метода статистической линеаризации для идентификации нелинейных объектов

3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

1. В инженерной практике большое применение находят приближенные методы, основанные на замене действительных зависимости между входной и выходной переменными приближенными линейными. При этом линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно нелинейные свойства звеньев, т.е. чтобы для линеаризованных элементов не выполняется принцип суперпозиции.

^ Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд состоит в замене характеристики у = f(x) приближенной линейной зависимостью, определяемой двумя первыми членами разложения характеристики в ряд Тейлора . Пусть характеристика у = f(x) дифференцируема и входной сигнал х (f) мало отличается от некоторого среднего значения х₀, тогда зависимость у = f(x) можно заменить приближенной

у = f(x₀) + f ' (х-₀) (х - х₀). (2.131)

Замена нелинейной зависимости у =f(x) линейной геометрически представляет собой замену кривой у= f(x), касательной к ней в точке х₀.

Действующие внешние возмущения можно представить как стационарные случайные функции х (г) с математическим ожиданием т_х и центрированной случайной составляющей л(г):

x(t)^m_x + x(t). (2.132)

В этом случае практически линеаризацию нелинейной характеристики целесообразно производить относительно центрированного входного случайного сигнала x(t), т.е. за центр разложения .х₀ в (2.131) взять математическое ожидание т_х входного сигнала х(1). В результате получается

у (г) *./>У + ./' (т_х) х (г). (2.13.3)

Таким образом, приближенная зависимость (2.133) линейна только относительно случайной составляющей x(t) входного сигнала и нелинейно относительно математического ожидания т_х, поэтому принцип суперпозиции здесь неприменим.

Гармоническая линеаризация. В целом ряде практических задач приходится рассматривать воздействие на линейное звено гармонических колебаний

X(t)= A sin ωt = A sin ψ, ψ=ωt.

Выходной сигнал нелинейного звена также будем периодическим, но не гармоническим.

Идея гармонической линеаризации состоит в том, что выходные периодические колебания у(t) разлагают в ряд Фурье и для дальнейших исследований ограничиваются рассмотрением лишь первых гармоник этого ряда. В этом случае нелинейная зависимость у= у(t)=f(Asinψ) заменяется приближенной

Y(t)=a₀+asin ωt+bcosωt=a₀+ q₁x+q₂x/ω,

где

Статистическая линеаризация. Метод приближенной замены нелинейной характеристики эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется методом статистической линеаризации. В результате такой линеаризации нелинейная зависимость у=f(t) заменяется приближенной

y(t)=k_am_x + k,x⁰(t).

где m_x = const — математическое ожидание стационарного случайного сигнала на входе нелинейного элемента; x⁰(t) — центрированная случайная составляющая входного сигнала х (t).

Предполагается, что выходной стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде

у(t) = т_у. + у^/(t)

где т_у — математическое ожидание у(t); y^/(t) -центрированная случайная составляющая y(t). Коэффициент

к₀ = т_у/т_х

называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по математическому ожиданию. Коэффициент

k₁=±σ_y/ σ _x .

^ 3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

Производная функции определяется разностным отношением:

.

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:

Если а=0 , то получаем ряд Маклорена:

Учитывая , что последующие слагаемые выше второго достаточно малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.

Л.1 стр.192-199, Л.2,стр. 107-110

Контрольные вопросы

Гармоническая линеаризация.
Статическая линеаризация.
Использование функциональных рядов.

^ 3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Практическое занятие 1

1 2 3 4

Скачать файл (945 kb.)

Лекции - Моделирование и идентификация объектов управления в НГО - файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc