Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекции - Линейная алгебра и геометрия - файл Глава - 1.doc


Лекции - Линейная алгебра и геометрия
скачать (2943.7 kb.)

Доступные файлы (4):

Глава - 1.doc701kb.31.07.2002 09:37скачать
Глава - 2.doc583kb.31.07.2002 09:43скачать
Глава - 3.doc1148kb.31.07.2002 09:51скачать
Глава - 4.doc513kb.31.07.2002 10:01скачать

содержание

Глава - 1.doc


Введение



ВВЕДЕНИЕ


Учебно-практическое пособие для системы дистанционного образования по дисциплине «Математика» («Алгебра и геометрия») предназначено для самостоятельной работы студента при нестационарной форме контроля знаний.

Специфика работы с пособием состоит в том, что студент сначала знакомится с базовыми понятиями и методами алгебры и геометрии, изложенными в соответствующих разделах, изучает практическую часть «Примеры решения задач», а затем переходит к выполнению контрольной работы, предусмотренной программой. После выполнения контрольной работы направляет ее на рецензирование. В случае обнаружения ошибок рецензентом, выявления пробелов в знаниях рекомендуется еще раз вернуться к соответствующим разделам и проработать материал повторно, до полного усвоения неясностей.

Заключительным этапом работы является экзамен (зачет), вопросы к которому также приведены в заключительной части данного пособия.

Разделы пособия и экзаменационные вопросы, которые выходят за рамки программы экономических специальностей отмечены звёздочкой (*). Они могут быть пропущены при изучении материала.

Настоящее пособие представляет собой систематическое изложение первых глав курса «Высшая математика» по программе технического вуза и предназначается для студентов всех специальностей.

Теоретический материал, излагаемый в пособии, сопровождается большим числом примеров. Основные теоремы приведены с доказательствами, так как авторы считают, что изложение математической дисциплины, при котором ряд фактов (часто основополагающих) принимается без доказательства, затрудняет изучение предмета и активное использование его в дальнейшем.

Напомним некоторые обозначения, часто употребляемые в математике.

Большими буквами, как правило, будем обозначать множества (А, В, ..., I, J, ...) (чаще всего числовые), а малыми – их элементы (а, b, ..., i, j, ...). Через обозначается принадлежность элемента i множеству I, а означает, что i не принадлежит множеству I.

Вместо слов «существует», «найдется», «имеется» в записи математических высказываний употребляется символ (перевернутая первая буква английского слова «Exist» – «существовать»), называемый символом существования. Вместо «любой», «каждый», «произвольный», «какой бы ни» используется символ (перевернутая первая буква английского слова «Any» – «любой» или «All» – «все»), называемый символом всеобщности. Так, запись читается: «существует x», а запись означает: «для любого х» или «для всех х».

Знак означает «следует», «вытекает», а знак – «равносильно».

Символ используется для обозначения суммы чисел а1, а2, ... , аn, т.е. а1 + а2 + ...+ аn. Знак тождества между символами означает, что они обозначают один и тот же объект.

^

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Понятие матрицы


Прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.

Для обозначения матриц используются прописные буквы латинского алфавита: А, В, С, ....

Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. В обозначениях элементы матрицы, снабжаются двумя индексами i, j, первый индекс – номер строки, второй индекс – номер столбца, в которых находится элемент, т.е. (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) элементы матрицы. Таким образом, полное обозначение матрицы имеет вид:

. (1.1)

Для краткого обозначения матрицы будем использовать запись:

(1.2)

Числа m и n называются размерами матрицы, т.е. (1.1), (1.2) – записи матрицы размеров m на n (m строк и n столбцов).

Если число строк матрицы совпадает с числом столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица, в которой столбцы заменены строками, а строки столбцами, называется транспонированной и обозначается .

Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами называются главной диагональю, т.е. элементами главной диагонали будут:

Транспонированная матрица получается из матрицы А поворотом на 180° относительно главной диагонали. Например,

если

1.2. Перестановки


Рассмотрим множество чисел состоящее из первых n натуральных чисел. Помимо расположения чисел 1, 2, ..., n, их можно расположить и другими способами. Например, числа 1, 2, 3 можно расположить следующими способами: 2, 3, 1 или 3, 2, 1 и т.д.

Всякое расположение чисел 1, 2, ..., n в некотором определенном порядке, называется перестановкой из n символов (чисел).

Общий вид перестановки:

.

Ни одно из не встречается в перестановке дважды. Например, если перестановка имеет вид (53421) (если чисел в перестановке меньше 10, то они запятыми не разделяются), то j1 = 5, j2 = 3, j3 = 4, j4 = 2, j5 = 1.
Утверждение 1.1

Число различных перестановок равно (, читается: «n факториал»).

Доказательство. Число перестановок совпадает с числом способов, которыми можно составить различные перестановки. При составлении перестановок в качестве j1 можно взять любое из чисел 1, 2, …, n, что дает n возможностей. Если j1 уже выбрано, то в качестве j2 можно взять одно из оставшихся n – 1 чисел, и число способов, которыми можно выбрать j1 и j2 будет равно и т.д. Последнее число в перестановке можно выбрать только одним способом, что дает способов, а значит, и перестановок.

Например, при n = 2 (n! = 2) можно образовать две перестановки: (12), (21); при
n = 3 (n! = 6) можно образовать шесть перестановок: (123), (132), (213), (231), (312), (321).

Числа k и р в перестановке составляют инверсию (беспорядок), если k > р, но k стоит в этой перестановке перед р.

Перестановка называется четной, если ее элементы составляют четное число инверсий, и нечетной в противном случае.

Например, перестановка (1, 2, ..., n) при любом n является четной, так как число инверсий равно 0; (34125) – четная перестановка, так как число инверсий равно 4, здесь 31, 41 – две инверсии, 32, 42 еще две инверсии; (132) нечетная перестановка, так как число инверсий равно 1, эту инверсию составляют числа 3, 2.

Если в перестановке поменять местами два числа k и р (не обязательно стоящие рядом), то получится новая перестановка. Такое преобразование называется транспозицией.

Утверждение 1.2

Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство


Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (..., k, p, ...), здесь многоточием (...) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (..., p, k,...). В этих перестановках каждое из чисел k, р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.

Случай 2. Между транспонируемыми числами k и р находится s чисел, т.е. перестановка имеет вид (..., k, j1, j2, ..., js, p, ...). В этом случае потребуется 2s + l транспозиций соседних чисел: s транспозиций, чтобы поменять последовательно местами k с j1, k с j2,..., k с js, и s + 1 транспозиций, чтобы поменять местами р с k, р с js, р с js-1, ..., p c j1.

Таким образом, в силу доказанного случая 1, четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, исходная перестановка и перестановка, полученная в результате транспозиции, имеют разные чётности.

Для сокращения записи перестановки будем обозначать одним символом, например: , т.е. Обозначим через n() число инверсий в перестановке .

1.3. Определители


Рассмотрим квадратную матрицу порядка n.

Определителем или детерминантом n-го порядка матрицы А называется число

,

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.

Обозначения определителя: , det A, или в полной записи:

.

Таким образом, по определению

(1.3)

В соответствии с доказанным утверждением 1.1, в правой части формулы (1.3) n! слагаемых, причем n!/2 слагаемых со знаком «+» и n!/2 со знаком «–», так как если
– четная перестановка, то , а если – нечетная, то . При этом каждое из слагаемых является произведением n чисел, которые расположены в разных строках и разных столбцах матрицы.

Используя определение определителя порядка n, получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.

При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная – (12) и одна нечетная (21), следовательно:

(1.4)

При n = 3 перестановок вторых индексов – 3! = 6. Четные: (123) (0 инверсий), (231) (2 инверсии), (312) (2 инверсии). Нечетные: (321) (3 инверсии), (132) (1 инверсия). (213) (1 инверсия). Следовательно:

(1.5)

Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно запомнить следующее мнемоническое правило.

^ Правило Крамера (треугольников)

Слагаемые со знаком «+»: Слагаемые со знаком «–»:

В
ычисление определителей более высокого порядка непосредственно по определению затруднительно, так как уже при вычислении определителя 4-го порядка слагаемых в формуле (1.3) будет 4! = 24. Поэтому определители порядка выше 3-го вычисляются с использованием свойств определителей.

Минором элемента матрицы ^ А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).

Например:

если и т. д.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, равное

Таким образом, по определению:



Утверждение 1.3 (О разложении определителя по строке)

Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(1.6)

Свойства определителей

1°. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы , т. е.

det A = det.

2°. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.

3°. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице, у определителя этой матрицы изменится знак.

4°. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.

5°. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на действительное число , то определитель этой матрицы умножится на .

6°. Пусть матрицы А, В, С отличаются друг от друга только k-й строкой, причем элементы k-й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k-х строк матриц А и В т.е.



тогда

7°. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число .

8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е.

(1.7)

Доказательство свойств определителей

Свойство 1°. По определению, если то тогда по формуле (1.3)

(1.8)

где – произвольная перестановка первых индексов. Число слагаемых в этом равенстве и равенстве (1.3) одинаково и равно n! (утверждение 1.1). Покажем, что они имеют одинаковые знаки. Переставим элементы в правой части равенства (1.8) так, чтобы первые индексы составили основную перестановку (1, 2, ..., n). Пусть для этого потребовалось s транспозиций. При этом вторые индексы за те же s транспозиций из основной перестановки преобразуются в перестановку . Так как по утверждению 1.2 каждая транспозиция меняет знак, перестановки и будут одинаковой четности, следовательно слагаемые в формулах (1.3) и (1.8) имеют одинаковые знаки, т.е. det A = det .

Свойство 2°. Так как в каждом слагаемом в формуле (1.3) есть множитель из каждой строки, то все слагаемые равны 0 и det A тоже равен 0.

Свойство 3°. Пусть мы поменяли местами строки с номерами k и p, тогда в формуле (1.3) перестановки из вторых индексов (..., jk, ..., jp, ...) преобразуются в (..., jp, ..., jk, ...), т.е. получаются в результате транспозиции двух чисел. При этом, в соответствии с утверждением 1.2, четность каждой перестановки меняется, следовательно, меняется знак каждого слагаемого в формуле (1.3), значит, у определителя тоже меняется знак.

^ Свойство 4°. Пусть k-я и р-я строки матрицы А одинаковы и det A = а. Поменяем местами k-ю и р-ю строки этой матрицы. При этом матрица А не изменится, а определитель по свойству 3° изменит знак, т.е. det A = –а. Получили равенство а = –а, которое возможно лишь в том случае, когда а = 0, следовательно det A = 0.

Свойства 5°, 6°. Справедливость этих свойств следует из свойств конечных сумм:



^ Свойство 7°. Применяя к определителю матрицы



последовательно свойства 6°, 5°, 4°, получаем: det B = det A.

Свойство 8°. Рассмотрим матрицу А, у которой k-я и р-я строки одинаковы. По свойству 4° det A = 0, а по формуле (1.3) но , значит, следовательно,

Из свойства 1° следует, что все перечисленные свойства справедливы и для столбцов матрицы. В частности, справедливы формулы, аналогичные (1.6) и (1.7)

(1.9)

(1.10)
^

1.4. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера


Система m уравнений с n неизвестными х1, х2, ... , хn вида:

(1.11)

называется системой линейных уравнений.

Если b1 = b2 = ... = bm = 0, то система называется однородной, и неоднородной в противном случае.

Набор чисел называется решением системы, если при подстановке этих чисел в уравнения системы (1.11) вместо неизвестных все уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной, и несовместной, если решений нет.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Коэффициенты при неизвестных aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) образуют матрицу , которая называется матрицей системы.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Преобразования, переводящие систему в эквивалентную ей, называются эквивалентными.

Многие методы решения систем основываются на эквивалентных преобразованиях с целью получения систем более простого вида. Перечислим основные эквивалентные преобразования:

а) перестановка двух уравнений в системе;

б) умножение уравнения на число, не равное нулю;

в) прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число ;

г) перестановка слагаемых в левых частях уравнений.

При исследовании и решении систем линейных уравнений возникают следующие основные задачи:

  • определить, совместна ли данная система;

  • в случае совместности системы определить число решений;

  • указать способ, с помощью которого можно найти все решения.

Рассмотрим, прежде всего, частный случай системы (1.11), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, т.е. m = n. В этом случае матрица системы А является квадратной порядка n и ответ на все поставленные вопросы дает следующая теорема.

Теорема 1.1 (Крамера)

Если , то система совместна, имеет единственное решение, которое определяется равенствами

(1.12)

где – определитель матрицы, которая получается из матрицы системы заменой j-го столбца столбцом, составленным из свободных членов системы b1, b2, …, bn.

Доказательство. С помощью элементарных преобразований приведем систему к простейшему виду, для чего при каждом умножим i-е уравнение на Аij и сложим левые и правые части всех полученных уравнений



в результате получим систему уравнений, эквивалентную исходной, в которой j-е уравнение имеет вид:



или



По теореме аннулирования (формула (1.10))



а по формуле (1.9) (при k = j)



т.е. j-е уравнение в системе имеет вид откуда получаем решение:



Равенства (1.12) называются формулами Крамера.

Например, для системы трех уравнений с тремя неизвестным можно записать:




^

1.5. Действия над матрицами


Рассмотрим две матрицы одинаковых размеров mn: , . Обозначим через I множество, состоящее из первых m чисел натурального ряда, т.е.

I = {1, 2, ..., m}.

Матрицы А и В называются равными, если

,

т.e. в которых равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Обозначается: ^ А = В.

Суммой матриц А и В называется матрица , элементы которой определяются по формулам:



т.e. элементы матрицы ^ С равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Обозначается: С = А + В.

Произведением матрицы А на действительное число называется матрица , элементы которой вычисляются по формуле:



т.е. каждый элемент матрицы А умножается на число .

Обозначается: .

Пусть теперь , , т.е. число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица размера mn , элементы которой вычисляются по формуле:

,

т.е. элемент матрицы С с номерами i и j равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»). Обозначается: .

Например, если то элементы матрицы будут равны:











,

таким образом

.

Произведение матриц не коммутативно (не перестановочно)!, т.е., вообще говоря, . Но, если все-таки , то матрицы А и В называются перестановочными.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, называется единичной и обозначается: Е.

Единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей порядка n, так как нетрудно убедиться, что .

Определим понятие обратной матрицы. Оно определяется только для квадратных матриц. Далее ^ А – квадратная матрица порядка n.

Матрица называется обратной к матрице А, если



Очевидно, если – матрица обратная к А, то матрица А является обратной к (вытекает из определения, оно симметрично относительно матриц А и ), т.е. = А. Поэтому матрицы А и называются взаимно обратными.

Матрица называется невырожденной, если , и вырожденной в противном случае.

Для вырожденной матрицы обратной не существует! Получим формулу для нахождения обратной матрицы.

Транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы ^ А, называется присоединенной и обозначается: Аv. Таким образом, по определению



Найдем произведения . Пусть , тогда



По определению произведения матриц, элементы матрицы С вычисляются по формуле:



Здесь, если i = j, то по теореме о разложении определителя по строке (формула (1.6))



если i j, то по теореме аннулирования (формула (1.7))



Таким образом, матрица С имеет вид:

.

Аналогично можно показать, что = Е, следовательно, выполняются равенства: = = Е. Если А – невырожденная матрица, т.е. , то эти равенства можно переписать в виде:

.

Откуда, по определению обратной матрицы, получаем:

.

Например: если то














^

1.6. Матричное решение систем линейных уравнений


Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:



Пусть матрица системы является невырожденной. Обозначим через ^ Х матрицу-столбец, составленную из неизвестных х1, х2, ..., хn, и через В матрицу-столбец из свободных коэффициентов b1 , b2 ,..., bn , т.е.

.

Тогда систему можно записать в матричном виде:

.

Для того чтобы найти решение системы, умножим левую и правую части последнего равенства на матрицу А–1 слева (произведение матриц не коммутативно), получим:

.

Отсюда матричное решение системы будет:

. (1.13)

Пример. 1.1. Решить систему уравнений:



матричным способом.

Решение. Здесь матрица системы:



является невырожденной, и обратная к ней найдена в примере (разд. 1.5). По формуле (1.13) находим:

,

т. е. x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1 – решение системы.
^

1.7. Ранг матрицы


Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i1, i2, … , ik и k столбцов с номерами j1, j2, ... , jk, . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Аk порядка k.

Определитель матрицы Аk называется минором k-гo порядка (минором порядка k) и обозначается или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбраны, обозначается Mk, т.е. по определению Mk = det Аk. Например, если



и выбраны строки c номерами i1 = 1, i2 = 3 и столбцы с номерами j1 = 2, j2 = 4, то



Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18.

Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и обозначается символами: rаng А или rA.

Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1 равен нулю, то ранг матрицы А равен r.

Пример 1.2. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Здесь

,

следовательно rаng А = 2.

Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных преобразований матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число.

Утверждение 1.4

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Доказательство. Действительно, из свойств определителей получаем, что при преобразовании 1 определитель изменяет знак на противоположный (свойство 1°). При преобразовании 2 определитель умножается на число (свойство 5°). И при преобразовании 3 определитель не изменяется (свойство 8°). Следовательно, если , то после преобразований 1, 2 или 3 он останется не равным 0; если
det Ak = 0, то после преобразований он по-прежнему будет равен 0.

Матрицы, полученные одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Если А и В – эквивалентные матрицы, то будем писать А В.

При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрица приводится к упрощенной (трапециевидной) форме:



где . Тогда rang T = r, так как



а любой минор порядка r + 1 будет равен 0, так как содержит, по крайней мере, одну строку, все элементы которой равны 0 (свойство определителей ). По утверждению (1.4) rang A = rang T, следовательно, rang A = r.

Таким образом, ранг матрицы А равен числу ненулевых строк трапециевидной матрицы Т, эквивалентной матрице А.
^

1.8. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли


Рассмотрим систему линейных уравнений (1.11). К матрице системы допишем справа столбец из свободных членов системы b1, b2, ... , bm, получим новую матрицу, которая называется расширенной матрицей системы и обозначается: , т.е.



Элементарным преобразованиям расширенной матрицы системы (cм. разд. 1.7) соответствуют эквивалентные преобразования системы линейных уравнений (1.11)
(см. разд. 1.4), поэтому решение системы с помощью эквивалентных преобразований можно заменить на приведение расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований к более простой форме. Метод Гаусса состоит из двух частей – прямого и обратного хода. Идея прямого хода метода – с помощью элементарных преобразований привести расширенную матрицу к виду, в котором матрица системы имеет трапециевидную форму.

^ Прямой ход метода Гаусса

Шаг 1. Если а11 = 0, то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент (при применении этого преобразования к столбцам матрицы исключением является последний столбец, он должен оставаться неподвижным). Если в матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевидную форму, и прямой ход завершен. Пусть (верхний индекс указывает на номер шага), умножим элемент первой строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки i = 2, 3, ...., m. Числа подберем так, чтобы первые элементы в строках обратились в 0, т.е. . В результате получим матрицу, в которой в первом столбце под главной диагональю все элементы равны 0. Обозначим п
олученную матрицу :



Ш
аг 2
. Если , то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент матрицы. Если в этой матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевидную форму, и прямой ход завершен. Пусть , умножим элементы второй строки на число и прибавим к соответствующим элементам i-й строки i = 3, 4, ..., m. Числа подберем так, чтобы вторые элементы в строках обратились в нули, т.е. :



В результате, получим матрицу, в которой во втором столбце под главной диагональю все элементы равны нулю.

Будем выполнять указанные преобразования до тех пор, пока матрица системы ^ А не примет трапециевидную форму, пусть это произойдет на шаге r, т.е.

.

Этой матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной (1.11), вида:

. (1.14)

Здесь неизвестные обозначены: y1, …, yn, потому что при применении элементарного преобразования 1 к столбцам расширенной матрицы естественный порядок переменных х1, х2 …, хn нарушается. Например, если в расширенной матрице поменяли местами столбцы с номерами k и р, то в системе на месте слагаемых с номерами неизвестных k будут слагаемые с номерами неизвестных р и наоборот, т.е. уk = xp и уp = хk. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

Теорема 1.2 (Кронекера-Капелли)

Для того чтобы система (1.11) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы rang A = rang .

Доказательство. При помощи прямого хода метода Гаусса, приведем систему (1.11) к виду (1.14).

Необходимость. Если система (1.11), совместна, то и система (1.14) тоже совместна, тогда



(если это не так, например, , то (r + 1)-е уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна, что противоречит условию). Откуда следует, что в трапециевидных матрицах, эквивалентных матрице системы и расширенной матрице (первая получается из второй удалением последнего столбца), содержится одинаковое число ненулевых строк, значит rang A = rang .

Достаточность. Если rang A = rang , то (если это не так, например , то у матрицы, эквивалентной матрице , будет хотя бы на одну ненулевую строку больше, чем в матрице, эквивалентной матрице А, т.е. rang A < rang , что противоречит условию). Отбросим последние m r уравнений в системе (1.14), получим систему r уравнений, которая будет эквивалентна системе (1.14), а значит и системе (1.11) (так как последние уравнения превращаются в тождества 0 = 0).

Назовем неизвестные у1, y2, ..., уr базисными, а уr+1, уr+2 ,…, уn свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений. Получим систему относительно базисных неизвестных:

, (1.15)

которая эквивалентна (1.11), и для каждого набора значений свободных неизвестных yr+1 = t1, yr+2 = t2, …, yn = tn–r по теореме 1.1 имеет единственное решение.

Обратный ход метода Гаусса

Шаг 1. Из последнего уравнения системы (1.15) находим уr, подставив вместо свободных неизвестных произвольные числа tn-r:



^ Шаг 2. Подставляем найденный уr в предпоследнее уравнение и находим yr-1:



. . .

Шаг r. Подставляем найденные уr, …, у2 в первое уравнение находим у1:



В результате, получаем решение системы (1.11), в котором базисные переменные выражены через свободные переменные.

Замечание. Из доказательства теоремы Кронекера-Капелли следует, что:

  • если rangA = rang = n , то система совместна и имеет единственное решение;

  • если rangA = rang < n, то система совместна и имеет бесконечное множество решений;

  • если rangA < rang, то система несовместна.

Пример 1.3. Решить систему линейных уравнений:

.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы:



к трапециевидной форме. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, затем умножим элементы первой строки на –3 и прибавим к элементам второй сроки, элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к элементам третьей строки, получим:
П

олученная матрица не является трапециевидной, так как на главной диагонали есть элемент, равный нулю. Поменяем местами второй и третий столбцы матрицы, затем умножим элементы второй строки на –1 и прибавим к элементам третьей строки, получим:

Матрица имеет трапециевидную форму, причем в полученных матрицах по две ненулевых, строки, т.е. rang A = rang = 2, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений. Полученной матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:



где y1 = x1, y2 = x3, y3 = x2, (второй и третий столбцы в расширенной матрице менялись местами). Пусть у3 = t, тогда из второго уравнения находим у2 = 2,5 и, подставляя у2 в первое уравнение, получим у1 = –3,5 – t. Таким образом, решением данной системы уравнений будут : х1 = –3,5 – t, х2 = t, x3 = 2,5.
^

1.9. Линейные пространства


Множество L называется линейным пространством, а его элементы векторами (будем обозначать их с чертой сверху), если:

1) определена операция сложения, которая ставит в соответствие элемент , называемый суммой, который обозначается

2) определена операция умножения на число, которая ставит в соответствие элемент , называемый произведением вектора на число, который обозначается ;

3) выполняются следующие аксиомы:

1°. ;

2о. ;

3°. существует единственный вектор такой, что справедливо равенство: ;

4°. такой, что ;;

5°. ;

6°. ;

7°. ;

8°. .

Вектор называется противоположным вектору . Вектор называется нулевым вектором. Сумма векторов называется разностью и обозначается: .

Выражение вида называется линейной комбинацией векторов . Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если



и нетривиальной, если . Далее будем использовать факт, что



Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если равенство нулевому вектору возможно лишь для тривиальной линейной комбинации, то система векторов называется линейно независимой.

Таким образом:

система векторов линейно зависима, если такие, что



система векторов линейно независима, если справедливо


Утверждение 1.5. Система из n (n > 1) ненулевых векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.


Доказательство

Необходимость. Так как система векторов линейно зависима, то такие, что

.

Пусть, например, аi 0, тогда



или ,

где .

Таким образом, вектор является линейной комбинацией остальных n – 1 векторов.

Достаточность. Пусть, например,



перенесем , в правую часть равенства и получим нетривиальную линейную комбинацию векторов (так как ), равную .

Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

  • она линейно независима;

  • любой вектор из ^ L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть таких векторов в системе n штук. Обозначим эти векторы: . Коэффициенты линейной комбинации векторов, о которой идет речь в определении (свойство б), называются координатами вектора в базисе , т.е., если , то



и тогда – координаты вектора в базисе . Обозначим через Х матрицу-столбец, состоящую из координат вектора , через e – матрицу-строку, состоящую из векторов базиса , тогда

Утверждение 1.6

Координаты любого вектора определяются в базисе e однозначно.

Доказательство. Пусть тогда

.

Так как система векторов линейно независима, то все коэффициенты полученной линейной комбинации равны 0, т.е.



следовательно, координаты вектора определяются однозначно.

Утверждение 1.7


Координаты вектора в базисе e равны сумме координат векторов . Координаты вектора в базисе e равны координатам вектора , умноженным на .

Доказательство. Пусть тогда



Если , то

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям координат векторов.

Линейное пространство ^ L, в котором существует базис из n векторов, называется n-мерным, а число nразмерностью пространства. Для обозначения n-мерного пространства используется символ .

Утверждение 1.8


В n-мерном линейном пространстве любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов является базисом.

Доказательство очевидно (вытекает из определения базиса). В частности, любых три линейно независимых вектора в образуют базис.

Если – базис в , то равенство



возможно лишь тогда, когда , т.е. система

,

где – координаты векторов в базисе соответственно, должна иметь единственное решение. Тогда по теореме 1.1 получаем условие линейной независимости трех векторов:



Если векторы образуют базис в , то по определению базиса любой вектор можно представить в виде:



или, в координатной записи:



Числа называются координатами вектора в базисе .

ВВЕДЕНИЕ 3

^ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 4

1.1. Понятие матрицы 4

1.2. Перестановки 4

1.3. Определители 6

1.4. Системы линейных уравнений. Формулы Крамера 9

1.5. Действия над матрицами 10

1.6. Матричное решение систем линейных уравнений 15

1.7. Ранг матрицы 15

1.8. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли 17

1.9. Линейные пространства 21



Скачать файл (2943.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации