скачать (126.3 kb.)
- Смотрите также:
- Множества [ лекция ]
- №4 [ документ ]
- Программа по курсу «Введение в математический анализ», осенний семестр 2020-2021 учебного года [ документ ]
- №1 основные понятия теории графов, способы задания графов по курсу «Комбинаторика и Теория графов» Вариант №3 Проверил [ документ ]
- Дискретная математика [ лекция ]
- Основы дифференциального исчисления [ документ ]
- №1 студент гр. 221 Монгуш А. О абакан, 2022 [ документ ]
- Решение [ документ ]
- Описать класс множество (Set), содержащий следующие элементы [ документ ]
- Математическое программирование и теория игр [ документ ]
- Лекции. Введение в математический анализ [ документ ]
- Диагра́ммы Э́йлера [ документ ]
Множества, отображения и числа
Множества
В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако, когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов, каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.
Как бы определение №1. Множество — это набор каких-то элементов.
Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть более понятно, давайте приведём пару примеров:
Пример №1. Определим множество которое состоит из трёх элементов — чисел 1, 2 и 3. (Когда какой-то объект впервые определяется, мы часто будем использовать знак «: =» вместо обычного равно, чтобы подчеркнуть, что мы таким образом определяем значение того символа, который стоит со стороны двоеточия.) Чтобы задать множество, можно перечислить его элементы, заключив их в фигурные скобки. (Так, конечно, можно задать не все множества, а только конечные, в которых число элементов конечно; чуть позже мы столкнёмся с бесконечными множествами.)
Важно отметить, что порядок следования элементов при перечислении не имеет значения: можно написать или и получить ровно то же самое множество A. Ещё одно важное замечание: каждый элемент либо входит в множество, либо не входит, нельзя «дважды входить» в множество.
Пример № 2. Бывает пустое множество, которое обозначается (в другом стиле выглядит как ∅). Оно не содержит ни одного элемента:
Утверждение «элемент x входит в множество X» кратко записывается таким образом:
То есть, например, справедливо сказать, что для множества , определенного в примере №1, а .
Определение №1. Пусть есть два множества, . Говорят, что является собственным подмножеством множества
(пишут ), если всякий элемент множества также является и элементом множества – нестрогое вложение.
Например, множество является подмножеством множества из примера №1, а множество — не является.
Замечание №1. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество также является подмножеством самого себя. Если подмножество некоторого множества не является пустым и не является всем множеством, говорят, что оно является собственным подмножеством.
Пример №3. Множества могут быть сами элементами множеств. Например, можно рассмотреть множество всех подмножеств множества : получится такое множество (обозначим его через ):
Число элементов во множестве называется его мощностью. У – элементного множества подмножеств.
Обратите внимание на разницу между знаками и . Например, для множества , справедливо утверждение , справедливо утверждение , но неверно, что , поскольку элементами A являются числа, а не множества. Для множества , наоборот, , зато .
Скачать файл (126.3 kb.)