Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Множества, отображения и числа Множества - файл


скачать (126.3 kb.)


Множества, отображения и числа

    1. Множества

В математике принято давать строгие определения всем вводимым понятиям. Однако, когда мы даём определение новому понятию, мы описываем его с помощью слов, каждое из которых, по идее, также нуждается в определении. Поскольку этот процесс не может продолжаться до бесконечности, в какой-то момент мы вынуждены остановиться, и сказать, что некоторые понятия мы не будем определять формально.

Как бы определение №1. Множество — это набор каких-то элементов.

Это как бы определение даёт мало информации — фактически, в нём сказано, что множество — это набор, а что такое набор — так же непонятно. Чтобы стало чуть более понятно, давайте приведём пару примеров:



Пример №1. Определим множество которое состоит из трёх элементов — чисел 1, 2 и 3. (Когда какой-то объект впервые определяется, мы часто будем использовать знак «: =» вместо обычного равно, чтобы подчеркнуть, что мы таким образом определяем значение того символа, который стоит со стороны двоеточия.) Чтобы задать множество, можно перечислить его элементы, заключив их в фигурные скобки. (Так, конечно, можно задать не все множества, а только конечные, в которых число элементов конечно; чуть позже мы столкнёмся с бесконечными множествами.)

Важно отметить, что порядок следования элементов при перечислении не имеет значения: можно написать или и получить ровно то же самое множество A. Ещё одно важное замечание: каждый элемент либо входит в множество, либо не входит, нельзя «дважды входить» в множество.



Пример № 2. Бывает пустое множество, которое обозначается (в другом стиле выглядит как ∅). Оно не содержит ни одного элемента:

Утверждение «элемент x входит в множество X» кратко записывается таким образом:





То есть, например, справедливо сказать, что для множества , определенного в примере №1, а .

Определение №1. Пусть есть два множества, . Говорят, что является собственным подмножеством множества

(пишут ), если всякий элемент множества также является и элементом множества – нестрогое вложение.

Например, множество является подмножеством множества из примера №1, а множество — не является.

Замечание №1. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество также является подмножеством самого себя. Если подмножество некоторого множества не является пустым и не является всем множеством, говорят, что оно является собственным подмножеством.

Пример №3. Множества могут быть сами элементами множеств. Например, можно рассмотреть множество всех подмножеств множества : получится такое множество (обозначим его через ):



Число элементов во множестве называется его мощностью. У – элементного множества подмножеств.

Обратите внимание на разницу между знаками и . Например, для множества , справедливо утверждение , справедливо утверждение , но неверно, что , поскольку элементами A являются числа, а не множества. Для множества , наоборот, , зато .






Скачать файл (126.3 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации