Лекция - Предел функций. понятие функций

Лекция - Предел функций. понятие функций
скачать (580.5 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx

581kb.

16.11.2011 00:29

скачать

содержание

Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:

Загрузка...

1 ТЕМА 7. Предел функции.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимно-однозначное соответствие некоторое множество, то тогда говорят, что на множестве определена функция . Множество называется областью изменения функции, множество – областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества, то тогда говорят, что на множестве задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что есть функция от , используют следующие виды записи: ; ; и т.д.

Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: ; ; и т.д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению , тогда записывают: .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число , тогда говорят, что задана последовательность , которая обозначается как Правило, по которому формируется последовательность , обозначается как и называется общим числом последовательности. Число назовем пределом последовательности при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e , определяющего окрестность точки A, можно указать такую d , что для любого , отличного от из отрезка значений функции принадлежит и это записывают как .

Последовательность называется бесконечно большой , если для любого числа найдется номер N, такой что для всех выполняется неравенство . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают , или .

Последовательность называется бесконечно малой , если

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательность сходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство , где .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.

Функции называется непрерывной при или в точке , если выполняется .А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке , то должно быть справедливо .

Функция называется непрерывной в точке , если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число , для которого выполняется неравенство для всех из отрезка .

Таблица производных

Если x - независимая переменная, то справедливы формулы:

1) ;

2) (ax)' = ax ln a, a > 0, (ex)' = ex;

3) (sin x)' = cos x;

4) (cos x)' = - sin x;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) (sh x)' = ch x;

13) (ch x)' = sh x;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) .

5 Замечательные пределы

Обычно замечательными пределами называют:

1) - замечательный тригонометрический предел.

2) - замечательный показательно – степенной предел.

3) - замечательный логарифмический предел.

4) - замечательный показательный предел.

5) - замечательный степенной предел.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Второй замечательный предел

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.

Следствия

Доказательство следствия

Следствия из второго замечательного предела:

Замечательный логарифмический предел

Доказательство предела

Замечательный показательный предел

Следствия

для ,

Доказательство предела

Доказательство следствия

Замечательный степенной предел

Доказательство предела

2.6 Замечательные пределы

С использованием непрерывности функций можно вывести целый ряд пределов, которые получили общее название замечательных пределов. Ниже приводятся наиболее важные из них.

1. .

2.

3. .

4. .

5. .

6. при a>1 и m>0.

7. при a>1 и m>0.

8. при a>1 и m>0.

6 Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая величина

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Во всех случаях бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx не является бесконечно большой при .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины? Отношение бесконечно малых величин образует так называемое неопределённость .

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если , то бесконечно малая величина β будет более высокого порядка (малости), чем α. Обозначают β = o(α).

Если , то бесконечно малая величина β будет более низкого порядка (малости), чем α. Соответственно α = o(β).

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка. Это обозначается как β = O(α).

Если , то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры

при , так как

, то есть 2x2 + 6x и x при являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, так как ).

7Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к A.

Определения

(определение в терминах «ε−δ») Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если

(окрестностное определение по Коши) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a , если для любой окрестности V(A) точки A существует проколотая окрестность точки a такая, что образ этой окрестности лежит в V(a):

Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье предел вдоль фильтра.

(определение по Гейне) Пусть дана функция и — предельная точка множества M. Будем называть последовательностью Гейне, если и при Число называется пределом функции f при x, стремящемся к a тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности: при

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

8. Непрерывность функции в точке

4.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции

Рис.4.1.

Или, если ввести следующие обозначения :

Dx = x0 - x, Dy = f(x) - f(x0)

Dx - приращение аргумента;

Dy - приращение функции.

Пусть y = f(x),

где х - текущая точка из области определения.

Рис.4.2.

Величина f(x0+0) - f(x0-0) называется скачком функции f в точке х.

Если f(x0-0)=f(x0+0), то х называется точкой устранимого разрыва.

Если доопределить функцию таким образом, что

f(x0)= =, то получим непрерывную функцию.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, в точках второго рода по крайней мере один из пределов не существует

, .

Примеры: Различные разрывы функции в точке представлены ниже.

Рис.4.3

2. Непрерывные функции 9

2.1 Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

2.2 Разрывы функции

Определение. Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева и предел справа функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек разрыва.

1. Устранимый разрыв.

Он имеет место, когда выполнено условие

.

В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

Рис. 2.1 Вид устранимого разрыва

2. Разрыв первого рода (скачок).

Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы и существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

Вид функции в случае разрыва первого рода приведен на рис. 2.2.

3. Разрыв второго рода.

Если хотя бы один из и равен ±¥ или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.

Рис. 2.3. Пример разрыва второго рода.

2.3 Свойства непрерывных функций

Теорема. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой же точке непрерывны и функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (последнее только в случае, если g(x0)¹0).

Определение. Пусть y = f(x) и x = j(t). Тогда комбинация y = f(j(t)) называется суперпозицией функций f(x) и j(t), или сложной функцией.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть x = j(t) непрерывна в точке t0, а функция f(x) непрерывна в точке x0 = j(t0). Тогда функция y = f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Короче говоря, суперпозиция непрерывных функций есть также непрерывная функция.

2.4 Теоремы о непрерывных функциях

Ниже приводятся формулировки основных теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда такая, что f(c) = 0.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке и , . Тогда .

Производная. ^ Геометрический и механический смысл производной 11 12

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f ( x0 + ) - f ( x0 ) называется приращением функции. Производной функции y = f ( x ) в точке x0 называется предел:

Если этот предел существует, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 . Производная функции f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет вид:

y = f ’( x0 ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:

y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = / . При - 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Тема 2.2. Основные приемы дифференцирования функции одного переменного 13

Студент должен

знать: табличные значения производных элементарных функций; правила дифференцирования функций;

Табличные значения производных элементарных функций.

Свойства производной. Правила дифференцирования функций.

Табличные значения производных элементарных функций

Таблица 2.2.1. № y = f ( x ) y = f'( x )

1 y=c, где с = const y'=(c)'=0

2 y=xn y'=n*xn-1

3 y = logax y'=1/(x*ln a)

4 y=ln x y'=1/x

5 y=ax y'=ax*ln(a)

6 y=ex y'=ex

7 y=sin(x) y'=cos(x)

8 y=cos(x) y'=-sin(x)

Свойства производной. Правила дифференцирования функций

Процесс нахождения производной y' от функции У называется дифференцированием функции У.

Дифференцирование любой функции ведется путем сведения дифференцирования данной функции с помощью свойств производных к дифференцированию некой преобразованной функции, составленной из табличных элементарных функций.

Рассмотрим основные свойства производных и примеры их применения для дифференцирования функций.

Свойство 1

Производная суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых:

[u(x)+v(x)+...+w(x)]' =u'(x)+v'(x)+...+w'(x).

Пример

Найти производную функции y = x + 1/x.

Решение:

(x + 1/x)' = x' + (1/x)'.

Производная от х находится по табличной формуле №2.

x' = (x1)' = 1*x1-1=x0 = 1.

Производная от 1/x так же находится по табличной формуле №2.

(1/x)' = (x-1)' = (-1)*x-1-1 = -x-2 = -1/x2.

Таким образом, получаем:

y'= 1 - 1/x2.

Свойство 2

Производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции на вторую и производной второй на первую:

(u*v)' = u'*v + v'*u.

Пример

Найти производную функции y = x* cos(x).

Решение:

(x* cos(x))' = x'* +(cos(x))' x = 1*cos(x) + (-sin(x))*x = cos(x)-x*sin(x). Т.е.

y' = cos(x) - x*sin(x).

Свойство 3

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(c*f(x))' = c*(f*(x))'.

Пример

Найти производную функции y=4lnx.

Решение:

(4*ln x)' = 4*(ln x)' = 4*1/x = 4/x.

Свойство 4

Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель - разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя.

(u/v)' = (u'*v - u*v')/v2.

Производные основных элементарных функций

Производная обратной функции. 14

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к , а ее производная вычисляется по формуле .

Производная обратной функции 14 - 16

Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f -1, производная которой вычисляется по формуле

Производная параметрически заданной функции

Если функция f задана параметрически

x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,

где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то

Производная неявно заданной функции

Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале ]a, b[, то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения .

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости задана функция, и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой функции , определяемой уравнением . В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частная производная по непрерывны в , . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция , задаваемая уравнением , так, что в этой окрестности .

ПРИМЕР 1. Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или .

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции

нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .

Производные высших порядков. 17

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной: . Аналогично определяют производную любого порядка: .

ПРИМЕР 1. Вычисление производных высших порядков

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой

функции: При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

ПРИМЕР 2. Вычисление дифференциалов высших порядков

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь - функция независимого переменного , определенная на промежутке . Тогда - сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь уже функция переменного . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что - функция переменного . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

19

^ Приложения. В Дифференциальное исчисление устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Дифференциальное исчисление К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f (b) = f" (c)(b — а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

Эти предложения позволяют методами Дифференциальное исчисление провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f" (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f" (x) = 0.

Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Дифференциальное исчисление Кроме того, Дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ¥/¥ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Дифференциальное исчисление особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

20

теорема Коши́ о среднем значении утверждает, чтоесли функции f и g непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), при этом g' не обращается в ноль на (a;b), то на этом интервале найдётся такая точка c, что g'(c)(f(b) − f(a)) = f'(c)(g(b) − g(a)).

Геометрически это можно переформулировать так:если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если функция, непрерывная на сегменте [a;b] и дифференцируемая на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство [показать]

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

ИсторияГеометрический смысл теоремы Ролля

Первое строгое доказательство дaл Ролль.

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.Содержание

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связанные определения

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε)

Пусть

Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлемильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a

И n производную в самой точке a, тогда:

— остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Тейлора некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

Kвадратный корень:

для всех

для всех

Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

Скачать файл (580.5 kb.)

Лекция - Предел функций. понятие функций - файл 1.docx

Доступные файлы (1):

1.docx