Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации - файл


скачать (374.7 kb.)


Пермский государственный технический университет

Кафедра Информационных технологий

и автоматизированных систем


РЕФЕРАТ

по дисциплине «Теория принятия решений»

МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Выполнил студент:

группы АСУ -07

Проверил:

Гольдштейн А.Л.

Пермь, 2010

Содержание



Содержание 3

Классификация задач. 4

Участники процесса принятия решений 4

Альтернативы 5

Критерии 7

Типы задач принятия решений 8

Предварительная структуризация задач принятия решений 9

Основная часть 12

Преимущества и недостатки метода 15

Иерархическое представление 17

Шкала отношений 18

Матрицы парных сравнений 19

Собственные векторы и значения матриц 21

Пример решения задачи многокритериального выбора на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями. 23

Постановка задачи. 24

Этап №1. Построение иерархии. 25

Этап №2. 25

Этап №3. Попарное сравнение критериев 25

Этап №4. Попарное сравнение альтернатив 26

Этап №5. Формируются структурные критерии S и L, отображаемые соответствующими диагональными матрицами [S] и [L]. 27

Этап №6. 29

Этап №7. Оценка согласованности. 30

Эффективность применения метода 33

Литература 35


Классификация задач.

Участники процесса принятия решений

На практике индивидуальные задачи принятия решений весьма распространены в обществе. Возьмите фирмы, компании, банки. Несмотря на существование коллегий, правлений и советов, обычно есть центральная фигура - ЛПР, определяющая курс, тактику и стратегию действий на предстоящий период. В слабоструктурированных задачах сама проблема выбора тесно связана с человеком – ее владельцем. Но это далеко не означает, что владелец проблемы является также ЛПР, ведь бывают ситуации, когда владелец проблемы является одним из нескольких человек, принимающих участие в ее решении. Третий возможный случай появляется тогда, когда ЛПР и владелец проблемы – разные люди. Например руководители част о стремятся переложить на других принятие решений.

На принятие решений в той или иной степени влияют активные
группы - группы людей, имеющих общие интересы по отношению к проблеме, требующей решения.

Разумное ЛПР всегда принимает во внимание интересы активных групп, учитывая их позиции и их критерии при оценке альтернативных вариантов решений. При принятии решений важную роль играют эксперты – люди, которые профессионально знают отдельные аспекты проблемы. Если эксперт беспристрастен и является профессионалом в своем деле, то его оценки близки к объективным. При принятии сложных решений в их подготовке принимает консультант по принятию решений. Его роль сводится к разумной организации процесса принятия решений. Кроме того в принятии решений неявно участвует окружение ЛПР – сотрудники той организации, от имени которого ЛПР принимает решение. Именно этой группе ЛПР в первую очередь объясняет логичность, разумность, обоснованность принятого решения.

Итак, широкая распространенность задач индивидуального выбора, возможность учесть коллективные предпочтения, предпочтения различных групп людей при решении этих задач, возможность использования этих методов при работе с коллективным органом, принимающим решение, делает в настоящее время методы индивидуального выбора практически наиболее важным классом методов принятия решений.
Альтернативы

Варианты действий принято называть альтернативами. Альтернативы - неотъемлемая часть проблемы принятия решений: если не из чего выбирать, то нет и выбора. Следовательно, для постановки задачи принятия решений необходимо иметь хотя бы две альтернативы.

Альтернативы бывают независимыми и зависимыми. Независимыми являются те альтернативы, любые действия с которыми (удаление из рассмотрения, выделение в качестве единственно лучшей) не влияют на качество других альтернатив. При зависимых альтернативах оценки одних из них оказывают влияние на качество других. Имеются различные типы зависимости альтернатив. Наиболее простым и очевидным является непосредственная групповая зависимость: если решено рассматривать хотя бы одну альтернативу из группы, то надо рассматривать и всю группу. Так, при планировании развития города решение о сохранении исторического центра влечет за собой рассмотрение всех вариантов его реализации.

Другим типом зависимости альтернатив является зависимость от альтернатив, исключаемых из рассмотрения. Условие независимости выбора от суждения множества альтернатив в общей теории выбора получило название условие наследования.

Третьим типом зависимости назовем зависимость от несуществующих, «фантомных» альтернатив. Так, образ идеальной альтернативы, создаваемой человеком во время выбора, может оказывать влияние на выбор из реальных альтернатив, особенно если есть надежда на реализуемость идеального варианта.

Задачи принятия решений существенно различаются также в зависимости от наличия альтернатив на момент выработки политики и принятия решений. Встречаются задачи, когда все альтернативы уже заданы, уже определены, и необходимо лишь выбрать лучшие из этого множества. Например, мы можем искать наиболее эффективную фирму из уже имеющихся, определять лучший университет, лучшую из построенных яхт и т.д. Особенностью этих задач является замкнутое, нерасширяющееся множество альтернатив. Но существует множество задач другого типа, где все альтернативы или их значительная часть появляются после принятия основных решений. Например, необходимо разработать правило открытия кредитов в банке для организаций или частных лиц. Здесь альтернативы (конкретные организации или лица) принципиально появляются лишь после выработки и оглашения правил.

Когда альтернатив много (сотни и тысячи), внимание ЛПР не может сосредоточиться на каждой из них. В таких ситуациях возрастает необходимость в четких правилах выбора, в процедурах использования экспертов, в разработке совокупности правил, позволяющих проводить в жизнь непротиворечивую и последовательную политику.

Во всем этом существует потребность и тогда, когда число альтернатив невелико (до 20). В таких задачах, как, например, выбор плана политической кампании, выбор трассы газопровода, выбор плана развития города, основных альтернатив, с рассмотрения которых начинается выбор, сравнительно немного. Но они не являются единственно возможными. Часто на их основе в процессе выбора возникают новые альтернативы. Первичные, основные альтернативы не всегда удовлетворяют участников процесса выбора. Однако они помогают им понять, чего конкретно не хватает, что реализуемо при данной ситуации, а что нет. Этот класс задач можно назвать задачами с конструируемыми альтернативами. Итак, альтернативы присутствующие в задачах принятия решений, могут быть следующими: независимыми, зависимыми, заранее заданными, появляющимися после выработки правила принятия решения, конструируемыми в процессе принятия решений.

Критерии

Критерии – это способ описания альтернативных вариантов решений, способ выражения различий между ними с точки зрения предпочтений ЛПР. Количество критериев в различных теоретических построениях и в Современные методы принятия решений ориентированы на учет всех отличительных качеств альтернатив, всего богатства их описания, что существенно приближает формальные схемы к реальному миру. Поэтому в последнее десятилетие многокритериальное описание альтернатив становится все более принятым. В случаях, когда заданы все либо часть альтернатив, критерии выявляются при сопоставлении альтернатив.

В случае, когда альтернативы не определены, критерии определяются ЛПР на основе его политики, его требований к задаче выбора. При этом рассматриваются либо предыдущие ситуации принятия решений, либо ожидаемые альтернативы.

Критерии могут быть независимыми или зависимыми друг от друга.

Критерии называют зависимыми, когда оценка альтернативы по одному из них определяет (детерминированно либо с большой степенью вероятности) оценку по другому критерию. Так, мы можем ожидать, что высококачественная квартира является дорогой. Зависимость между рядом критериев приводит к появлению целостных образов альтернатив, которые имеют для ЛПР определенное смысловое содержание.

Задачи принятия решений и методы их решения зависят также от числа критериев. При небольшом (2—5) числе критериев задача сопоставления двух альтернатив достаточно проста для ЛПР, качества по критериям могут быть непосредственно сопоставлены и выработан компромисс.

При большом числе критериев задача становится малообозримой. К счастью, при большом количестве критериев они обычно могут быть объединены в группы зависимых критериев, имеющие определенное смысловое значение и свое название. Такие группы, как правило, независимы. Название такой труппы критериев можно рассматривать как название обобщенного критерия. Таким образом, появляется иерархия критериев. В ряде задач могут быть построены иерархии критериев с различным числом уровней. Основанием для естественного объединения критериев в группы является возможность выделить плюсы и минусы альтернативы, ее достоинства и недостатки (например, стоимость и эффективность) . Далее эти достоинства и недостатки также могут быть разделены на группы (например, критерии, важные для самого ЛПР, для активных групп). Большую роль в образовании групп играет зависимость критериев
Типы задач принятия решений

Задачи принятия решений существенно отличаются в зависимости от требований, которые предъявляются к результату решения.



Упорядочение альтернатив. Существуют задачи, в которых требуется определить порядок на множестве альтернатив. Так члены семьи упорядочивают по степени необходимости будущие покупки, руководители фирм – объекты капиталовложений и т.д. В общем случае требование упорядочивания альтернатив означает, что мы хотим определить относительную ценность каждой из альтернатив.

Часто для решения задачи не нужно иметь совершенный порядок, где все альтернативы «построены» одна за другой. Достаточно иметь квазипорядок, где не все альтернативы сравнимы. При этом часть альтернатив имеет «размытый» ранг, т.е. их положение в последовательности определено некоторым интервалом. Широко известным частным случаем квазипорядка является последовательное выявление паретных слоев альтернатив. Построение квазипорядка требует существенно меньшей информации от ЛПР и в то же время квазипорядок может быть удовлетворительным решением для ряда практических задач.



Разделение альтернатив на упорядоченные по качеству группы. Объединение объектов в группы – очень характерное занятие для людей. Это объясняется тем, что классификация является вполне удовлетворительным решением для многих практических задач, особенно в том случае, когда число объектов достаточно велико. Так, например, не имеет никакого смысла добиваться строгого ранжирования нескольких сотен объектов. В то же время разбиение на ряд групп может дать вполне удовлетворительный ответ на вопрос об их качестве. Но группировка имеет смысл также и при малом числе объектов, если она определяется содержательным смыслом задачи. Заметим также, что разделение объектов на группы является результатом работы многих экспертных систем.

Выбор лучшей альтернативы. Эта задача традиционно считалась одной из основных в принятии решений. Она часто встречается на практике. Выбор одного предмета при покупке, выбор места работы, выбор проекта сложного технического устройства—эти примеры хорошо знакомы. Кроме того, такие задачи распространены в сфере политических решений, где альтернатив сравнительно немного, но сами они достаточно сложны для изучения и сравнения. Например, необходим лучший вариант проведения обмена денег, лучший вариант проведения земельной реформы и т. п. Заметим, что особенностью многих задач принятия политических решений является конструирование новых альтернатив в процессе решения. Как правило, задача выбора лучшей альтернативы возникает, когда количество сравниваемых альтернатив невелико и вполне обозримо для ЛПР. На практике существенно различаются задачи, в которых альтернативы заранее заданы, и те, в которых количество альтернатив может изменяться в ходе решения (могут добавляться новые).
Предварительная структуризация задач принятия решений

Как уже отмечалось, вхождение в реальную проблему принятия решений в значительной мере является искусством, требующим опыта и умения квалифицированного аналитика. Этому искусству следует обучать на примерах, методами показа. Как всякие навыки, умение анализа приобретается лишь со временем.

Ниже представлена приблизительная вопросно-ответная схема для уяснения типа конкретной задачи.

1. Определите, кто отвечает за задачу и кто участвует в ее решении. Если имеется одно ЛПР или малая группа, в которой одно ЛПР играет доминирующую роль, то следует ожидать сравнительно небольшого количества критериев. Простота или сложность задачи зависят скорее от характера альтернатив, чем от их количества.

2. Определите, являются альтернативы заданными либо необходимо предусмотреть возможности создания новых альтернатив в ходе решения задачи.

3. Определите, являются альтернативы зависимыми или нет.

4. Определите, чего хочет ЛПР, т. е. какой тип решения требуется.

Если альтернатив много, то следует сначала попытаться сузить их путем введения дополнительных ограничений, а уже затем рассматривать другие задачи. Если альтернативы зависимы, то нужно выделить независимые группы.

5. Попытайтесь найти структуру на множестве критериев и использовать ее в процессе решения.

6. Если к виду решения предъявляются сильные требования (построить совершенный порядок либо выделить одну лучшую альтернативу), то постарайтесь сформулировать совокупность задач, где требуемые задачи появляются в конце.

Возможная последовательность задач, ведущая к выделению лучшей альтернативы, может быть представлена в следующем виде:

1) предварительное уменьшение количества альтернатив (если их много);

2) разбиение на упорядоченные группы;

3) выделение лучшей альтернативы из лучшей группы.

Последовательность задач при построении полного порядка на множестве альтернатив может быть представлена в следующем виде:

1) предварительное уменьшение количества альтернатив путем введения дополнительных ограничений;

2) построение квазипорядка;

3) анализ групп первоначально несравнимых альтернатив с целью исключения или уменьшения несравнимости;

4) построение полного (или более полного) порядка на множестве альтернатив.

Необходимый набор многокритериальных методов. Классификация задач, приведенная выше, позволяет определить набор методов, необходимых для решения широкого круга слабо структурированных и неструктурированных проблем с многими критериями:



  1. метод построения квазипорядка на множестве альтернатив;

  2. метод разделения альтернатив на упорядоченные по качеству группы;

  3. метод построения лучшей альтернативы.

Основная часть


Процессы принятия решений в различных сферах деятельности во многом аналогичны. Поэтому необходим универсальный метод поддержки принятия решений, соответствующий естественному ходу человеческого мышления.

Часто экономические, медицинские, политические, социальные, управленческие проблемы имеют несколько вариантов решений. Зачастую, выбирая одно решение из множества возможных, лицо, принимающее решение, руководствуется только интуитивными представлениями. Вследствие этого принятие решения имеет неопределенный характер, что сказывается на качестве принимаемых решений.

С целью придания ясности процесс подготовки принятия решения на всех этапах сопровождается количественным выражением качественных категорий таких как «предпочтительность», «важность», «желательность» и т.п.

Метод анализа иерархий – методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования.

Метод анализа иерархий создан американским ученым Т. Саати и вырос в настоящее время в обширный междисциплинарный раздел науки, имеющий строгие математические и психологические обоснования и многочисленные приложения. Иерархия – система, в которой уровни расположены и пронумерованы так, что:

1) нижний уровень содержит рейтингуемые альтернативы,

2) узлы уровней с большими номерами могут доминировать только над узлами уровней с меньшими номерами. Таким образом, в иерархии связи определяют пути одной направленности - от вершины к альтернативам через промежуточные уровни, которые состоят из узлов-факторов. Система представляет собой строгую иерархию, если допустимы связи только между соседними уровнями от верхнего уровня к нижнему.

Основное применение метода – поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, перечислим возможности метода.

1) Метод позволяет провести анализ проблемы. При этом проблема принятия решения представляется в виде иерархически упорядоченных:

а) главной цели (главного критерия) рейтингования возможных решений,

б) нескольких групп (уровней) однотипных факторов, так или иначе влияющих на рейтинг,

в) группы возможных решений,

г) системы связей, указывающих на взаимное влияние факторов и решений.

2) Метод позволяет провести сбор данных по проблеме.

В соответствие с результатами иерархической декомпозиции модель ситуации принятия решения имеет кластерную структуру (кластер – группа узлов одного уровня, подчиненных некоторому узлу другого уровня –вершине кластера, доминирующему узлу). Набор возможных решений и все факторы, влияющие на приоритеты решений, разбиваются на относительно небольшие группы – кластеры. Разработанная в методе анализа иерархий процедура парных сравнений позволяет определить приоритеты объектов, входящих в каждый кластер. Для этого используется метод собственного вектора. Итак, сложная проблема сбора данных разбивается на ряд более простых, решающихся для кластеров.

3) Метод позволяет оценить противоречивость данных и минимизировать ее.

С этой целью в методе анализа иерархий разработаны процедуры согласования. В частности, имеется возможность определять наиболее противоречивые данные, что позволяет выявить наименее ясные участки проблемы и организовать более тщательное выборочное обдумывание проблемы.

4) Метод позволяет провести синтез проблемы принятия решения.

После того, как проведен анализ проблемы и собраны данные по всем кластерам, по специальному алгоритму рассчитывается итоговый рейтинг - набор приоритетов альтернативных решений. Свойства этого рейтинга позволяют осуществлять поддержку принятия решений Например, принимается решение с наибольшим приоритетом. Кроме того, метод позволяет построить рейтинги для групп факторов, что позволяет оценивать важность каждого фактора.

5) Метод позволяет организовать обсуждение проблемы, способствует достижению консенсуса.

Мнения, возникающие при обсуждении проблемы принятия решения, сами могут в данной ситуации рассматриваться в качестве возможных решений. Поэтому метод анализа иерархии можно применить для определения важности учета мнения каждого участника обсуждения.

6) Метод позволяет оценить важность учета каждого решения и важность учета каждого фактора, влияющего на приоритеты решений.

В соответствии с формулировкой задачи принятия решения величина приоритета напрямую связана с оптимальностью решения. Поэтому решения с низкими приоритетами отвергаются как несущественные. Как отмечено выше, метод позволяет оценивать приоритеты факторов. Поэтому, если при исключении некоторого фактора приоритеты решений изменяются незначительно, такой фактор можно считать несущественным для рассматриваемой задачи.

7) Метод позволяет оценить устойчивость принимаемого решения.

Принимаемое решение можно считать обоснованным лишь при условии, что неточность данных или неточность структуры модели ситуации принятия решения не влияют существенно на рейтинг альтернативных решений.

Преимущества и недостатки метода

В рамках метода анализа иерархий нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации принятия решения, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов. Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений[3].

Формирование структуры модели принятия решения в методе анализа иерархий достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов. Процедуры расчетов рейтингов в методе анализа иерархий достаточно просты (он не похож на «черный ящик»), что выгодно отличает данный метод от других методов принятия решений.

Сбор данных для поддержки принятия решения осуществляется главным образом с помощью процедуры парных сравнений. Результаты парных сравнений могут быть противоречивыми. (Метод предоставляет большие возможности для выявления противоречий в данных.) При этом возникает необходимость пересмотра данных для минимизации противоречий. Процедура парных сравнений и процесс пересмотра результатов сравнений для минимизации противоречий часто являются трудоемкими. Однако в итоге лицо, принимающее решение, приобретает уверенность, что использующиеся данные являются вполне осмысленными.

В рамках метода анализа иерархий нет средств для проверки достоверности данных. Это важный недостаток, ограничивающий отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей. При этом процедура парных сравнений для сбора данных практически не имеет достойных альтернатив. Если сбор данных проведен с помощью опытных экспертов и в данных нет существенных противоречий, то качество таких данных признается удовлетворительным.

Схема применения метода совершенно не зависит от сферы деятельности, в которой принимается решение. Поэтому метод является универсальным, его применение позволяет организовать систему поддержки принятия решений.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Модель, составленная с помощью метода анализа иерархий, всегда имеет кластерную структуру. Применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами. Эксперты могут не знать ничего о характере принимаемого решения, что отчасти способствует сохранению. В частности, благодаря этому удается сохранить в тайне информацию о подготовке решения.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что человек, принимающий решение, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод.) Это следует признать недостатком метода.

Данный метод может служить надстройкой для других методов, призванных решать плохо формализованные задачи, где более адекватно подходят человеческие опыт и интуиция, нежели сложные математические расчеты. Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач.

Метод отражает естественный ход человеческого мышления и дает более общий подход, чем метод логических цепей. Он дает не только дает способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности посредством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений лица, принимающего решение. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Иерархическое представление

В зависимости от типа и условий задачи принятие решений в основе метода анализа иерархий могут лежать различные виды иерархий. Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень.

















Рис. 1. Иерархия с различным числом альтернатив под критериями.

На рис. 1 приведен пример иерархии, где Еij — элементы иерархии, Аi — альтернативы. Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс — их порядковый номер. Существует несколько альтернативных способов графического отображения иерархии.
Шкала отношений

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл. 1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.


Таблица 1

Шкала отношений (степени значимости действий)




Степень значимости


Определение


Объяснение


1


Одинаковая значимость


Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели


3


Некоторое преобладание значимости одного действия над другим (слабая значимость)

Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны

5


Существенная или сильная значимость


Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий


7


Очевидная или очень сильная значимость


Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим

9


Абсолютная значимость


Свидетельства в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительны


2,4,6,8


Промежуточные значения между двумя соседними суждениями


Ситуация, когда необходимо компромиссное решение


Обратные величины приведен-ных выше ненулевых величин


Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из определенных выше ненулевых чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение

Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объекта над другим.

Матрицы парных сравнений
После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (см. табл. 1).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент E1 доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу E2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Е1, то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n – 1)/2 суждений (здесь п — порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е1,E2, ..., Еп — множество из п элементов (альтернатив) и v1, v2, …, vn — соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.



,

где

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.


Собственные векторы и значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E] проводится на основании равенства:

EW=λmaxW, (1)

где λmax — максимальное собственное значение матрицы [Е].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению λmax, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле:



(2)

где е={1,1,1, ....l}Т – единичный вектор;

k = 1, 2, 3, ... — показатель степени;

С— константа;

Т — знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (2) производятся до достижения заданной точности:



(3)

где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2,


k = 2;

l = 3, k = 4 и т. д.;



— допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

λmax=eT[E]W

На практике для расчета собственного вектора W также применяется приближенный метод среднегеометрического, вычисляемое по следующему соотношению:

Wi= (4)

где aij — агрегированная оценка элемента, принадлежащего i-й строке и j-му столбцу матрицы парных сравнений;

n— число элементов.






Скачать файл (374.7 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации