Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекция - Формирование начальных математических понятий и представлений о числе и геометрических фигурах - файл 1.docx


Лекция - Формирование начальных математических понятий и представлений о числе и геометрических фигурах
скачать (42.1 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx43kb.19.11.2011 08:55скачать

Загрузка...

1.docx

Реклама MarketGid:
Загрузка...
Лекция 2

Тема: Формирование начальных математических понятий и представлений о числе и геометрических фигурах.
План:

  1. Возникновение счета.

  2. Возникновение числовых обозначений.

  3. Возникновение понятий о геометрических фигурах.


Возникновение счета.

Математические понятия – число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятие числа и геометрические фигуры, которые представляются нам очень простыми и привычными на самом деле являются абстрактными понятиями, которые могли образоваться только в результате длительной умственной работы. Понятие двух рук и пяти пальцев возникают на много раньше общих понятий двух и пяти.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет», доступный даже утке, чувствующей, весь ли ее выводок следует за ней к водоему, существовал задолго до появления счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление, как сейчас говорим, «взаимнооднозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее не известными; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически. Именно так описывает Дж. Морган обмен угрей на коренья у австралийских племен.

Затем появляются своего рода счеты – естественные, как пять пальцев на руке, или искусственные, как специально приспособленные для этой цели камешки или палочки.

Появление множества–эталона, символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к возникновению понятия числа.

Судя по этим графическим и лингвистическим данным, первые множества–эталоны были естественными. Любой человек знал, что на небе одна Луна, у человека два глаза и на руке пять пальцев. Не удивительно поэтому, что этими словами он стал обозначать число 1, 2 и 5. В таких случаях говорили, что параметров столько, сколько Лун, сколько глаз или сколько пальцев на руке. Пережиток этой системы мы встречаем в древней индийской словесной системе счисления, где единица называлась Луной, Землей, Брахмой, два – близнецами, глазами, руками, пять – чувствами, стрелами бога любви Камадевы, шесть – запахами, семь – горами, восемь – богами и т.д.



Наиболее пригодными для счета были пальцы рук, т.е. такая совокупность, которая состояла из более или менее однородных предметов. Если их не хватало, вход шли пальцы ног. Так, у индейцев племени абипонов число 5 называлась «рука», 10 – «две руки», 20 – «руки и ноги», в названии 4 – «пальцы страуса» - отражена более ранняя ступень счета. У зулусов каждый палец обозначал определенное число; например, слово «татизитуна» (буквально - взять большой палец руки) обозначало 6, «он указал», - 7 и.т.д.

Для такого счета было характерно осязаемое взаимно однозначное соответствие: у некоторых южноафриканских племен при счете дотрагивались до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки. У австралийцев и полинезийцев каждая часть тела имела свое название и точно соответствовала месту в своеобразной системе счисления: начиная с мизинца левой руки, шли пальцы, запястье, локоть, плечо и.т.д., кончая мизинцем правой руки, и обратно. Такой живой шкалой, которая всегда «при себе», пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, по прошествии которых следует выходить на охоту.

Прекрасный образец счета такого типа оставил нам русский исследователь Новой Гвинеи Н.Н. Миклухо-Маклай. Он попросил папуасов подсчитать число дней до возвращения корвета «Витязь»; нарезав для этого полоски бумаги.

«Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «наре, наре» (один); другой повторял слово «наре» - и загибал при этом палец прежде на одной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, опустил оба кулака на колени, проговорив:…«две руки», причем третий папуас загнул один палец руки. Со вторым десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка; оставшиеся бумажки не составляли четвертого десятка и были оставлены в стороне. Все кажется остались довольны» (Н.Н. Миклухо-Маклай. Путешествия. Собрание сочинений, том 1. М.-Л., 1950, стр. 141).

Здесь описан и действенный счет, сопровождаемый перекладыванием полосок, и живая шкала – пальцы рук, и групповой счет. Первый папуас занят инструментальным счетом, он перекладывает полоски, обозначающие дни, второй фиксирует единицы, третий десятки.

Сейчас пытаются установить время появления общего понятия числа у народов Европы и Азии. Сравнение названий чисел у народов с родственными языками позволяет установить сходство между русским числительным «один», и немецким eins, английским one (уан), французским un, латинским unus, или «три» drei, threi (фри), trois, tres на тех же языках.

Сходство числительных у индоевропейских народов показывает, что названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке.

Происхождение названий числительных большей частью трудно проследить, но например, тот факт, что арабское «саб» - 7 имеет один корень 

с глаголом «саб’а» - «растерзать на части», указывает на то, что число 7 предки арабов связывали с неопределенно большим числом частей, на которые дикий зверь может растерзать свою жертву; откуда видно, что слово «саб» первоначально обозначало неопределенно большое количество (с этим связано мистическое значение числа 7 в религиях, родственных религий предков арабов).

Название численных на языке народов Восточной Африки суахили для некоторых чисел, например, 1, 2, 4, 5, 8, и 10 представляют собственные названия (moja, mbili, tatu и.т.д.), то для 6, 7, 9 даны названия sita, saba, tisa, представляющих собой искажения арабских числительных «ситт», «саб», «тис», то же относится к названиям десятков от 20 до 90.

Отсюда видно, что к тому времени, когда у побережья Восточной Африки появились арабские купцы, у местных жителей еще не были созданы устойчивые собственные названия для этих чисел.

У большинства народов названия десятков образуются по схеме n·10, где n – число десятков (например, двадцать, тридцать, пятьдесят и.т.д.). Исключение составляет французский язык. Например, 70 это 60+10, 80-4·20, 90-4·20+10. Т.е. начиная с 70, французы считают не десятками, а двадцатками. Более последовательно счет двадцатками проведен в грузинском языке, где 10 – ати, 20 – оци, 30 – оцдаати (20+10), 40 – ормоци (2·20), 50 – ормоцдаати (2·20+10), 60 – самоци (3·20) и.т.д.

В большинстве современных языков названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10) , числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить еще слова А. Лебега: «Возможно, что если бы люди имели бы одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления» (А. Лебег. Об измерении величин. М., 1960, стр.22).

В отдельных случаях, когда после счета на пальцах считалась и вся рука, возникла одиннадцатиричная система счисления, которая, по-видимому, имелась у новозеландцев, имеющих специальные названия для 1, 2, 3-ей степеней одиннадцати и представляющих 12, 13, 22 в виде 11+1, 11+2, 2·11.

В некоторых языках числительные сохраняют следы пятиричной системы, в этих языках пальцы второй руки называются так же, как пальцы первой с прибавлением слова, обозначающего 5 пальцев или руку. Например, в языке шумеров – первоначального населения Междуречья, заложившего начала культуры древнего Вавилона – 7 - имин (=5(=иа)+2(=мин)), 9 – илимму (=5+4(=лимму)), а в языке ацтеков – первоначального населения Мексики – 6 – чикуасе (=5+1(=се)), 7 – чикоме (=5+2(=оме)), а 9 – чикунауи (=5+4(=науи)); число 5, которое некогда называлось у ацтеков «чику», впоследствии получило название «макуили».

Двадцатиричные названия у французов и грузин представляют собой пережитки счета двадцатками, при котором считались не только пальцы рук, 

но и пальцы ног. Двадцатиричные названия десятков встречаются в датском, осетинском, абхазском, чеченском, ацтекском и др.

На самых первоначальных ступенях развития человек пользовался и двоичной системой счисления. Например, на языке одного из племен островов Торресова пролива, существуют следующие наименования: 1 – урапун, 2 – окоза, 3 – оказа-урапун, 4 – окоза-окоза, 5 – окоза-окоза-урапун, 6 – окоза-окоза-окоза и тд.
Возникновение числовых обозначений.

Сведения о результатах счета первоначально хранили при помощи зарубок на дереве или на костях либо узелков на веревках. Старейшей известной в настоящее время записью числа является запись на лучевой кости молодого волка длиной 18 см в виде 55 зарубок, расположенных по 5, причем после 25 зарубок идет длинная черта. Такая кость была найдена в Чехословакии в 1937 г. и относится к XXX веку до н. э. О распространении записей при помощи зарубок свидетельствует известное выражение «заруби себе на носу».

Инки записывали свои долговые обязательства с помощью узелков на цветных веревках – перуанских квипу. Аналогичные квипу встречались у землевладельцев некоторых районов Китая и Японии еще в ХХ столетии.

Рассмотрим принцип изображения чисел при помощи цифр у разных народов. Такое обозначение, называемое нумерацией (от латинского numerus – число), первоначально было основано на так называемых аддитивном (от латинского addition – сложение), субстрактивном (от латинского substractio - вычитание) и мультипликативном (от латинского multiplication - умножение) принципах.

Аддитивный принцип состоит в том, что вводится несколько основных знаков, например для 1, 10, 100, а остальные числа вида n, 10n, 100n изображаются соответственным знаком, повторенным n раз.

Аддитивная нумерация отражает инструментальный счет с палочками, ракушками или другими предметами. Субстрактивный принцип состоит в том, что сочетание цифр mn, где m<n, означает разность n-m, а мультипликативный принцип - в том, что сочетание цифр mn означает произведение чисел m и n. Оба эти принципа применяются и в названиях чисел: на мультипликативном принципе основаны названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности, русские названия 20, 30, 50 – 80 и 200-900, с субстрактивным принципом связано слово «девяносто», возникшее в результате «скрещивания» первоначального названия этого числа «девятьдесять» (в современном чешском языке) и выражения «10 до 100».

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является применяемая и нами римская нумерация: римские цифры IIIIIVIVIIVIIIXXXXX и т.д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IVIXXL (40) – на субстрактивном принципе.


Возникновение понятий о геометрических фигурах.

С конкретными геометрическими фигурами человек столкнулся в своей трудовой деятельности при выделке орудий труда и сосудов, при обработке полей и постройке зданий. Уже в глубокой древности изготовлялись скребки и ножи в форме дисков, треугольников, ромбов и сегментов, круглые сосуды; поля обычно имели форму прямоугольника, а здания – форму конуса, цилиндра и параллелепипеда.

Большинство общепринятых в настоящее время в геометрии названий геометрических фигур являются греческими, обозначающими различные предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности: слово «центр» происходит от греческого слова centrum, обозначавшего палку с заостренным концом, которой погоняли быков (первоначально это слово было названием ножки циркуля, ставящейся в центр описываемой им окружности).

Слово «ромб» происходит от слова волчок, «трапеция» - от слова – столик (от того же корня происходит и «трапеза»). Слово «призма» происходит от слова опиленная, «сфера» - от слова мяч, «конус» - от слова сосновая шишка, «цилиндр» - от слова валик, каток. «Пирамида» происходит от древнеегипетского названия египетских пирамид «пурама». «Линия» происходит от латинского слова лен; первоначально под линией понимали натянутую льняную нить. «Точка» происходит от глагола ткнуть, так же как равнозначное слово «пункт» происходит от латинского глагола, укалываю, т.е. первоначально под точкой понимали укол (ср. медицинский термин «пункция» - иглоукалывание).

Эти примеры показывают, что и в геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч – для шарообразных предметов, сосновая шишка – для остроконечных и т.д., а впоследствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур.

Создание понятий о геометрических фигурах было связано с изображением различных плоских фигур на рисунках и орнаментах и с изготовлением моделей различных тел.
Итак, подведем итог. Рассматривая процесс формирования понятий о числе, фигуре отметим следующее.

1. Изначальные понятия людей не являются врожденными, они являются отражением свойств и отношений реальных предметов 

действительности. Приобретаются они (понятия) в ходе активной деятельности людей. После длительной эволюции мозг человека стал способным создавать абстракции, необходимые для счета и измерения.

2. В начале счет был чувственным, рассматриваемое множество сравнивается с другими, более или менее многочисленными, чем данное. Процесс выделения свойства количественности из совокупности свойств конкретных множеств, осознание его функциональной роли представляет собой длинный исторический период.

3. Переход людей не более высокий уровень интеллектуального развития показал недостаточность чувственного счета. Неравносильность множеств предметов приводит к выработке понятия «больше», «меньше», «равно».

4. Различные множества, играющие роль эталона при сопоставлениях: пальцы рук и ног, наборы камешков, раковин, счетных палочек и другие предметы способствовали выделению числовых характеристик множеств в объект самостоятельного рассмотрения.

5. Вводятся название чисел, сначала небольших. Постепенно число названий растет, складывается общее представление о числе (натуральном).

6. Натуральные числа сравниваются по величине, абстрагируясь постепенно от всех других свойств. Вначале короткий отрезок ряда натуральных чисел постепенно удлиняется.

7. Появляются записи, развивается символический аппарат, совершенствующийся в последующем.

8. Складываются разнообразные системы счисления (5-, 10-, 12-, 20-, 60- … ричные), для применения которых унифицируется символика.

Все источники примерно такой путь формирования понятия целого положительного числа. Более общие классы чисел складываются позднее.

Аналогичные этапы развития имели место и в процессе формирования начальных геометрических представлений, хотя и характеризуется своими особенностями. Исторические данные о материальной культурное показывают, что в эпоху, когда люди пользовались кремневыми орудиями для труда и охоты, они придавали им преднамеренно геометризированную форму: треугольников, ромбов, трапеций. Именно эти формы оказывались наиболее приспособленными к определенному виды труда, чтобы резать, рубить, скрести и т.п.

Дальнейший толчок к развитию геометрических представлений дали гончарное, строительное и другие ремесла и особенно земледелие со своими насущными задачами проведения границ участков, определения площадей, длин и др. наличие представлений о равенстве, подобии, симметрии фигур подтверждается соответствующими орнаментами на изделиях.

С возникновением понятия числа, геометрической фигуры появляется новый вид знаний – математическое, в котором счет и измерение сделались важным средством его развития и вычислительно-измерительной практики людей.

Исторически первые понятия математики «число» и «фигура» лежат в основе всех математических знаний.



Таков исторический процесс становления первых понятий математики.

Сходство логического строя оснований математики и исторического процесса становления ее начальных понятий особенно очевидно в последние 100 лет. Рассмотрим исторический ход уже с логических аспектов. Говоря о тех восьми пунктах, отметим, что в п.2 речь идет об идентификации элементов множеств, о задании множеств. В п.3 – об операции отображения множеств, п.4 – понятие отображения множеств и функциональной зависимости. В п.5 и п.6 вводится упорядоченность множеств, в п.7 и п.8 количественные характеристики начинают получать символические выражение. Такое соответствие между логической структурой оснований современной математики и историческим процессом формирования первичных математических понятий не случайно и свидетельствует о принципе единства исторического и логического. Логическое и историческое – это философские понятия, связанные с двумя способами рассмотрения исторически протекающего процесса.

Ф.Энгельс указывал, что логический способ рассмотрения является в сущности «тем же историческим методом, только освобожденным от исторической формы и от мешающих случайностей. С чего начинает история, с того же должен начинаться и ход мыслей, а его дальнейшее движение будет представлять собой не что иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и теоретически последовательной форме; отражение исправленное, но исправленное соответственно законам, которые дает сам действительный исторический процесс, причем каждый момент может рассматриваться в той точке его развития, где процесс достигает полной зрелости, своей классической формы» (Марс К., Энгельс Ф. Соч. –2-е изд. – Т.3. – С.497).

Показ исторически обусловленного места преподаваемого учебного материала в логически последовательной структуре математического знания в процессе обучения предмету позволяет сделать математические знания доступными и интересными.
Основная литература:

  1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

  2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

  3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

  4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

  5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.


Дополнительная литература:

  1. 

  2. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

  3. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

  4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.




Скачать файл (42.1 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации