Logo GenDocs.ru

Поиск по сайту:  

Загрузка...

Лекция - Математика России в XVII веке. Математика Петербургской академии наук - файл 1.docx


Лекция - Математика России в XVII веке. Математика Петербургской академии наук
скачать (88.4 kb.)

Доступные файлы (1):

1.docx89kb.19.11.2011 08:59скачать


1.docx

Лекция 14

Тема: Математика России в XVII веке. Математика Петербургской академии наук.
План:

  1. Древнерусская нумерация. Метрология.

  2. Первые системы дробей.

  3. Математические памятники Киевской Руси. Кирик Новгородец.

  4. Арифметика в рукописях 17 века. Инструментальный счет.


Первые сведения о развитии математики, именно арифметики, на Руси относятся к 9 – 10 вв., к эпохе процветания и упадка киевской «империи Рюриковичей».

Арифметических знаний требовала практическая деятельность людей: расчеты в торговле, выкладки, связанные с обложением податью, а также с нуждами строительства и военного дела. Без них невозможно было составление календаря. Без них, так же как без знакомства с некоторыми свойствами геометрических фигур, невозможно было понимание ряда основных фактов в астрономии.

Но, к сожалению, до наших дней дошло не так много сведений, которые в полном объеме позволили бы судить о развитии математики в Древней Руси, и главной тому причиной является монголо-татарское нашествие. Вообще, этот период в русской истории свидетельствует о торможении экономического, технического и духовного развития Руси.

Благотворное влияние на культуру Руси оказало тесное взаимодействие с византийской культурой, и вряд ли можно переоценить такой дар братьев Кирилла и Мефодия, как тот алфавит, которым мы теперь пользуемся, пусть и в модернизированном варианте. Именно буквы кириллицы выполняли у русичей функцию цифр.
1. Древнерусская нумерация

В то время как народы средневековой Западной Европы переняли римскую нумерацию, в России получила распространение десятичная алфавитная нумерация, сходная с той, которой пользовались вслед за древними греками византийцы. В Византии была в ходу так называемая теперь ионийская нумерация, восходящая примерно к 5 в. до н.э. и основанная на греческом алфавите из 24 букв, обозначавших по порядку числа от 1 до 9, десятки и сотни, с тремя исключениями из этого правила: 6, 90 и 900 обозначались с помощью особых знаков «вау», «коппа» и «сампи», которые в греческом письме не употреблялись. Возможно, что до создания специальной азбуки, приспособленной к фонетическим особенностям славянской речи, славяне, находившиеся в тесных связях с византийцами, пользовались при письме греческими алфавитом и нумерацией. Затем в южнославянских землях были разработаны два славянских алфавита – 

глаголица, буквы которой имели также числовое значение, и кириллица, в короткое время вытеснившая глаголицу.

На Руси кириллица получила распространение вскоре после ее введения у балканских славян, вероятно, при великом князе киевском Владимире Святославиче (978 –1015); ею написаны уже древнейшие рукописи 11 века. Создатели кириллицы использовали греческий алфавит, но в широкой мере учли потребности славянского языка. На этой азбуке основывалась и древнерусская нумерация, применявшаяся без существенных изменений до 17 в. включительно. Числа от 1 до9, десятки и сотни изображались с помощью последовательных букв. Из этого правила имелось несколько исключений. Так, число 2 обозначалось третьей буквой «веди», а не второй «буки», не получившей числового значения, ибо у византийцев это число выражалось буквой , которую на Руси передавали звуком В. «Фита», стоящая в славянском алфавите предпоследней, соответствовала 9, подобно греческой , а буква «живете», которой нет в греческом алфавите, числового значения не получила. Отступления от правила имеются также в обозначении десятков и сотен. Так, знаком 90 долго служила «коппа», а затем, не позднее 14 в., ее сменила похожая буква «червь», сначала лишенная числового значения. 900 вначале изображались «малым юсом», несколько сходным с «сампи», позднее же буквой «цы», быть может, под влиянием глаголицы, в которой графема «цы» изображала 900.

Для выделения чисел и записи над их знаками ставился еще особый значок  - титло. Титло, которому в греческой нумерации соответствовала черта, ставилось иногда над каждой буквой – цифрой, иногда только над первой или же над всем числом. В некоторых рукописях числа выделялись с обеих сторон точками.

Тысячи обозначались теми же буквами алфавита, у которых внизу слева ставился знак в виде дважды перечеркнутой черточки. Греки и византийцы применяли с той же целью значок в виде штриха. При помощи цифр и этого знака можно было непосредственно обозначить все целые числа от 1 до 1000 (иногда значок тысяч перечеркивали только один раз, а случалось, что и три раза).

При записи чисел больше десяти цифры писались слева направо в порядке убывания десятичных разрядов так, как теперь. Описанный порядок не всегда соблюдался только для чисел от 11 до 19. В согласии с произношением этих девяти чисел, при котором единицы называются ранее десяти (11 – один на десять и т.п.). Знак тысяч слева ставился при каждой цифре, означающей то или иное количество тысяч: пропуск этого знака повлек бы за собой изменение числового значения записи.

Для единиц более высоких десятичных разрядов имелись специальные названия и обозначения. Описание развитой системы таких числительных и знаков найдены в рукописях 17 в., но несомненно, что она возникла не позднее 15 века. Наиболее употребительный счет велся на тьмы (10000), легионы или легеоны (10 тем) и леодры (10 легеонов). Вот как именовалось при этом число 9 876 543 210: «девять тысящ леодров и восмьсот леодров и 

семьдесят леодров и шесть леодров и пять легионов и четыре тьмы и три тысящи и двесте и десять». Нередко в рукописях встречаются и более высокие разряды той же системы – враны, т.е. вороны (десять леодров), и колоды (десять вранов). Тьмы обозначали, обводя знаки единиц кружком, легионы с помощью кружков из точек, леодры – кружками с лучиками, а враны – кружками из крестиков, или же ставя по бокам знака единиц букву «како». Наиболее ранняя запись десятков тысяч с помощью кружков встречается в одной новгородской грамоте на бересте 14 века.

Наряду с такой системой, иногда называвшейся «малым числом», существовала и другая – «великое число», применявшаяся «коли прилучался великий счет и перечень» (перечень значит число). Здесь тьма означала тысячу тысяч, т.е. 10, легион – тьму тем, т.е. 10, леодр – легион легионов, т.е. 10, вран – леодр леодров, т.е. 10, и колода – десять вранов, т.е. 10.

О границе счета в рукописях нередко сказано: «И боле сего несть человеческому уму разумети, токмо един Бог весть», но не в том смысле, что больших чисел не существует, а в том, что «сего боле несть числа в словестнем языце».

Алфавитная славянская нумерация применялась несколько веков, и нынешняя десятичная система начала вытеснять ее лишь в 17 веке.
2. Метрология.

Большую роль во всей хозяйственной жизни имеют системы мер; они участвуют и в различных математических расчетах и измерениях.

Три основные древнерусские меры носят название частей тела. Меньшая – малая пядь – является расстоянием между раздвинутыми большим и указательным пальцами и соответствует примерно 19 см; большая пядь – расстояние между большим пальцем и мизинцем – около 22-23 см (отсюда название икон, имеющих в ширину 19 или 23 см, - «пядницы»). Большая часть кирпичей 12 века имеют ширину также пядь в 19 см. Локоть есть расстояние от локтевого сочленения до концов вытянутых пальцев и соответствует двум большим пядям; и эта единица измерения имела свой вариант – локоть со сжатыми пальцами, размером в малые пяди. Такова обычная ширина холста, чрезвычайно устойчивая и повсеместно, идущая из глубокой древности.

Единица сажень – расстояние от ступни до конца вытянутой вверх руки (примерно 215 см) при росте человека 170-172 см. Величина другого вида этой единицы измерения, так называемой простой сажени, определена историками при помощи надписи на Тмутараканском пролива. Результат этого интересного измерения «по леду от Тмутороканя до Корчева» (Керчи), произведенного в 1068 г., выразился в 14 000 сажен. Величину простой сажени определяют отсюда в 150-158 см. Она составляет расстояние между большими пальцами рук человека среднего роста, вытянутых в стороны. При последовательном делении ее на 4 и на 8 получаются малые локоть и пядь. По-видимому, простая сажень предшествовала обыкновенной, трехаршинной.



Для определения больших расстояний в Древней Руси существовала верста, или поприще. Все эти термины встречаются уже в 11-12 вв.

Меры поверхности находились в тесной связи с мерами сыпучих тел, прежде всего зерновых культур. В Киевском государстве и феодальных княжествах 13-15 вв. главными мерами сыпучих тел служили кадь (киевская кадь – примерно 14 пудов ржи, а московская – примерно 24 пуда) и ее подразделения: 1 кадь = 2 половникам = 4 четвертям = 8 осьминам. В 16-17 вв. В 16-17 вв. кадь и половник исчезают из обихода и основной мерой становится четверть (равная примерно 6 пудам ржи) и ее двоичные и троично-двоичные подразделения: 1 четверть = 2 осьминам = 4 полуосьминам = 8 четверикам = 16 получетверикам и т.д. = 3 третям = 6 полтретям = 12 пол-полтретям и т.д. Меры земельной поверхности определялись первоначально тем средним количеством ржи, которая на них высевалась. Четверть (или четь) представляла собой площадь, на которой высевалась четверть ржи, две четверти составляли десятину. Четверти – меры поверхности – делились на более мелкие меры совершенно так же, как четверти – меры сыпучих тел.

Весовой и одновременно денежной единицей в Киевском государстве была гривна. Происхождение ее не византийское, а скорее всего восточное – результат тесных торговых связей Руси с Востоком. Русские гривны по весу соответствуют почти в точности арабскому фунту – ротлю (409,5 г), заимствованному арабами в Ираке. Вес золотой монеты Владимира Святославича составляет 1/96 часть позднейшего русского фунта, или золотник, т.е. соответствует арабскому золотому динару. Следовательно, древнерусская гривна соответствует позднейшему фунту и представляет собой очень давнюю единицу русских мер веса. Слово золотник встречается в ряде документов Киевской эпохи, так же как пуд и берковец. Однако неясно, означал ли первоначально золотник специфическую весовую единицу или золотую монету. Точно так же неизвестен первоначальный вес пуда и берковца. Впоследствии установились соотношения: 1 берковец = 10 пудам, 1 пуд = 40 фунтам, т.е. 16,4 кг.

Более древними обозначениями понятия «деньги» в русском языке были слова «скот» и «куны», так как первыми мерилами ценности и платежными знаками при возникновении обмена у славянских племен явились домашний скот и меховые шкурки лесных зверей («куны» - куницы). Вплоть до 15 в., а кое-где и позднее, шкурки куниц и белок или только их мордочки – «мордки» и отрезки – «резаны» продолжали служить мелкой монетой. Вместе с тем уже в Киевской Руси денежная или кунная система существенно опиралась на систему металлических единиц, слитков и монет. Вначале, видимо, основная крупная единица – гривна подразделялась на 20 ногат (от арабского «нагд» - полноценная, хорошая монета), а также на 25 кун и 50 резан. Чеканка монет прекратилась в конце 11 в. и возобновилась два или три века спустя.

В 13-15 вв. основной единицей в Москве становится рубль – серебряный слиток, представлявший собой половинный обрубок прежней гривны, весом 

в полфунта или 48 золотников, т.е. 204,76 г. Более мелкими единицами являлись полтина (1/2 рубля) и деньга (сначала 1/100 рубля). В обращении были также алтыны, монета в 6 денег (слово деньга произошло от названия татарской монеты «данги» или «тенга», в свою очередь восходящего к наименованию весовой и денежной единицы «данг», бывшей в употреблении в Средней Азии и Иране). В начале царствования Ивана Грозного (1533-1584) была установлена единая для всего государства денежная система. Были введены серебряные копейки в 1/100 рубля (от татарского названия монеты «динарь - копеки» = 1/6 тенги), деньга получила значение полкопейки, гривна, гривенник – десяти копеек. Тем самым русская денежная система приобрела в главном десятичную структуру.
3.Первые системы дробей.

Простейшие из дробей, 1/2 и 1/3, были известны с незапамятных времен. Затем путем деления пополам этих основных в обиходе дробей возникли два ряда дробей – двоичный и троично-двоичный. Эти ряды были: а) 1/2, 1/4 (четь или четверть), 1/8 (полчети или полчетверти), 1/16 (пол-полчети), 1/32 (пол-пол-полчети, или малая четь) и т.д. и б) 1/3, 1/6 (полтрети), 1/12 (пол-полтрети), 1/24 (пол-пол-полтрети, или малая треть) и т.п.

При помощи сложения или вычитания таких основных дробей нередко выражали другие дроби, например: 11/24 есть треть и пол-трети и пол-пол-полтрети, т.е. , а 29/96 есть треть без пол-пол-полчетверти, т.е. =-. Эти два ряда дробей играли особенную роль при расчете податей и составляли важную часть сошного письма, как именовалась в 16-17 вв. совокупность приемов поземельного налогового обложения.

Для названия целого числа единиц без половины ставилась перед названием этого числа единиц приставка «пол». Полтретьи обозначало 2 ½, полчетверты - 3 ½ , полшесты – 5 ½ и т.п. До сих пор говорят: полтора (пол-втора) и при счете времени: полтретьего, полшестого.
4. Математические памятники киевской руси.

В 10-11 вв. Киевское государство достигло высокой степени могущества и культурного расцвета. Оно поддерживало связи с Византией и Западной Европой. При Владимире Святославиче в Киеве была основана для детей приближенных к нему людей школа, в которой обучение велось по образцам византийских школ. При княжеских дворах, в церквах и монастырях появляются библиотеки. Наряду с Киевом крупным культурным центром страны был Новгород с его высокоразвитыми ремеслами и торговлей, которую он в широких размерах вед и с заморскими странами. Летопись сообщает об открытии школы в Новгороде Ярославом Мудрым, который «прииде к Новугороду собра от старост и поповых детей триста учити книгам». Начальная арифметическая грамотность не была редкостью даже среди простых новгородцев 12-13 вв. Однако до нас почти не дошло 

сведений о математических знаниях того времени: в бесчисленных пожарах и разрушениях, которые принесли с собой нашествия татар, погибли почти все рукописи, за редчайшими исключениями.

Одним из исторических документов является «Правда Русская» - сборник юридических установлений, регламентирующий наказания, в частности, штрафы за всякого рода преступления. «Правда Русская» была составлена в 11-12 вв. и дошла до нас в нескольких редакциях, рукописи которых восходят к 13-15 вв. Сочинение служит драгоценным источником по метрологии. Наиболее интересные вычисления имеются в статьях, входящих в состав так называемой Софийской летописи, в которых идет речь о приплоде от скота и пчел и его стоимости, о прибытке от высева хлебных злаков и т.п.

Задачи на геометрические прогрессии привлекали математиков с древнейших времен. Как вычисляли авторы математических статей «Правды Русской» - неизвестно. Впрочем, им требовалось немногое: складывать, умножать на 2, 6 и 10, делить на 50. Более сложные вычисления нужны были в календарных и хронологических расчетах, результаты которых мы находим в древнейшем русском математическом сочинении, дошедшем до нас целиком и принадлежащем новгородскому ученому Кирику.
5. Кирик Новгородец.

В хозяйственной и гражданской жизни всех народов большое значение имеет календарь, являющийся основой и всякой хронологии. Свой календарь имели с древности и славянские народы; о нем почти ничего не известно. С принятием христианства в киевской Руси получил распространение юлианский календарь, введенный в Римской империи в 1 в. до н.э. и слегка модифицированный в Византии. Счет лет велся от «сотворения мира», именно с 5508 г. до н.э., а днем Нового года было, как и в Византии, 1 сентября. В народе, впрочем, широко принято было новый год начинать по старинному обычаю в марте, когда наступает весенняя погода. Современное летоисчисление ввел с 1 (11) января 1700 г. Петр Великий, а старый юлианский стиль был заменен новым григорианским с 14 (1) февраля 1918 г.

Календарь нужен был не только для регулирования земледельческих работ и свей гражданской жизни, но и для своевременного отправления церковных праздников.

Вычисление дня наступления Пасхи представляет собой довольно сложную математическую задачу. Согласно старинным правилам Пасха должна праздноваться в первое воскресенье вслед за весенним полнолуньем, наступающим не ранее дня весеннего равноденствия. Лунный месяц, длящийся чуть более 29,5 суток, почти целое число раз содержится в 19 солнечных годах, по 365, 25 суток. По истечении 19-летнего «лунного круга» в 235 месяцев фазы луны всякий раз пробегают одни и те же числа юлианского календаря. С другой стороны, в календарном году содержится 52 недели и 1 или 2 дня, в зависимости от того, простой год или високосный. Поэтому какой-либо день недели, например, первое мартовское воскресенье, перемещается по различным числам, совершая периодический цикл в 28 лет, так называемый «солнечный круг». В результате дни Пасхи перемещаются 

по числам календаря в определенной последовательности за период в 2819=532 года. По прошествии этого «великого круга» или «великого индиктиона» весь цикл передвижения дня Пасхи повторяется. При определении дней мартовских воскресений исходили из того, что в году, предшествовавшему началу христианского летоисчисления, воскресеньями были 7, 14, 21 и 28 марта.

С математической точки зрение вычисление дня Пасхи приводится к решению в целых числах линейных неопределенных уравнений. Пасхалии рассчитывали на много лет вперед, неоднократно проверяли уже сделанные таблицы. В народе производили вычисления по руке и пальцам. Составление простых и удобных формул, учитывающих различные обстоятельства, - дело, требующее немалого остроумия. Этой задачей не пренебрегали самые крупные ученые, такие как К. Гаусс, Н. Лобачевский, Г. Кинкелин.

Вопросам хронологии и календаря посвящено «Учение им же ведати человеку числа всех лет», т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» Кирика – первого русского математика, известного нам по имени.

О Кирике известно очень мало. Родился он в 1110 г., а в 1136 г., когда написал свое учение, состоял диаконом Новгородского Антониева монастыря. Он был близок ко двору новгородского епископа Нифонта, которому адресовано другое сохранившееся его сочинение, содержащее вопросы относительно церковных обрядов и допустимости некоторых обычаев. Кирик участвовал также в составлении первой Новгородской летописи. Из «Вопрошаний Нифонту» видно, что их автор был человеком болезненным.

Сочинение Кирика о счислении лет состоит из 27 пунктов. В начале указан год, в котором оно написано, именно 6644 год от «сотворения мира». Далее указано, что от этого момента до настоящего времени прошло 79 728 месяцев, или 346 673 недели, - тут разъясняется, что в году 52 недели и один с четвертью день, или 2 426 721 день или 29 120 652 дневных часа и столько же ночных, считая по 12 часов в дне и в ночи. 29 миллионов Кирик называет 290 несведиями. Этот термин для 100 000 встречается только в рассматриваемом сочинении, слово же легион здесь не употребляется. Такие выкладки в 12 веке были нелегким делом. Все приводимые результаты вычислены точно.

Затем сообщается, как находить солнечный и другие круги, что «от Адама» прошло 237 солнечных кругов и нового круга идет 8-й год, 349 – «полчетвертаста без одиного» - лунных кругов и нового круга идет 13-й год, а также 12 великих кругов и 13-го прошло 260 лет. В заключение приведены данные о пасхалии, рассчитанной самим Кириком на 6644 год. Очевидно, что пасхальные таблицы были вычислены по крайней мере на два с половиной века вперед. В последних строках автор сообщает свой возраст в годах, месяцах, неделях, днях и часах. Вычисления с большими числами доставляли ему несомненное удовольствие.

Любопытно применяемое Кириком деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». 

Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается. Это , кажется, единственная пятеричная система деления часа; мы находим ее затем лишь в некоторых русских рукописях 16-17 вв. уже наряду с делением на минуты и секунды.

Почему же Кирик остановился на седьмых дробных? В.П. Зубов объяснял это, предположив, что Кирик применил свои пятеричные «часцы» к измерению длины астрономического года, исходя из продолжительности девятнадцатилетнего цикла в 6940 суток. Деление 6940 на 19 дает в частном 365 суток и в остатке 524=120 часов. Деление 120 на 19 дает в частном 6 часов и в остатке 6. Остаток обращается в первые дробные часы и 65=30 делится на 19 и т.д. Получив при седьмых дробных в остатке 1, Кирик увидел, что умножение на 5 дает число, меньшее 19, и потому объявил, что «не ражаются от седьмых дробных». Астрономический год выразится при этом как 365 дней 6 часов 1 первый дробный час, 2 вторых дробных, 4 третьих, 2 четвертых, 1 пятый, 4 шестых и 1 седьмой. А.Е. Раик отметила еще, что от девятых дробных при делении 55=25 на 19 в остатке получается снова 6, как вначале, т.е. начинается новый период бесконечной пятеричной дроби, так что «седьмые дробные являются как бы естественным порогом, за пределами которого через два шага картина циклически повторяется». Не исключено, что Кирик обратил внимание на такую цикличность.
6. Подъем московского государства.

Еще до разгрома войск Золотой Орды Дмитрием Донским (1359-1389) в 1380 г. и окончательного свержения татарского ига в 1480 г., его пагубное влияние постепенно слабеет, хотя и продолжает тормозить развитие Русского государства. В 15 в. крепнет экономическое и политическое могущество Москвы и Новгорода. С укреплением и объединением русского государства в 15-16 вв., с постепенным экономическим подъемом страны и ростом городов были связаны новые запросы общества к математике. Большое государственное значение приобрели межевание и измерение земель и раскладка податей. Увеличивался торговый оборот внутри страны и с иноземными государствами, а вследствие этого рос интерес к практической арифметике и практической геометрии. Коммерческие и землемерные задачи оказывали длительное и плодотворное влияние на развитие средневековой математики во всех странах, в том числе и в России. Усиливается потребность в математических знаниях среди строителей и военных. Исследователи истории русской иконописи, а также гражданского, церковного и военного зодчества подчеркивают выдающееся значение для этих отраслей искусства навыков практической геометрии, соблюдения определенных пропорций. Организация войска и особенно артиллерии также требовали определенного минимума математических знаний. В военной литературе тех времен решен ряд задач на определение расстояний от далеких предметов или высоты недоступных построек и т.п. Предъявляла свои запросы к математике и церковь. Так, в конце 15 в. В Москве и 

Новгороде были продолжены на несколько десятков лет вперед пасхальные таблицы, ранее доведенные до 1492 г., а в 1538 г. священник новгородского Софийского собора Агафон рассчитал пасхальные даты до 7980 г., т.е. до 2472 г. Наконец, и в сочинениях «светского» натурфилософского и естественнонаучного содержания, которые имели довольно широкое распространение среди интеллигентных людей, встречаются сведения по математике.
7. Арифметика в рукописях 17 века.

Изложению арифметики предшествовало введение, в котором специально подчеркивалась общественная полезность и ценность этой науки. Арифметика рассматривается как одно из семи «свободных искусств», составлявших в средневековой Европе основу высшего образования: грамматики, риторики, диалектики, музыки, арифметики, геометрии и астрономии. При этом сказано, что арифметика – слово греческое, что по-немецки она называется алгоризма, а по-русски – цыфирная счетная мудрость.

Руководства по арифметике предназначались, впрочем, не столько для изучения для навигации и астрономии, хотя были люди, знавшие и любившие астрономию, сколько для торговцев, чиновников государственных учреждений, землемеров, управителей имений, ремесленников и др. Этим определялось и содержание учебников.

Весь материал распределен на «статьи», следующие в общем порядку возрастающей трудности вопросов и содержащие «строки» - правила, поясняемые затем многочисленными и обычно весьма хорошо подобранными задачами, опять-таки следующими в порядке усложнения. Во многих случаях задачи позволяли не только усвоить, но и понять механизм действия правила.

Однако никаких теоретических выводов или разъяснений не сообщалось. В те времена во всем мире был чрезвычайно широко распространен подобный метод обучения и изложения, обращенный более к памяти, чем к уму учащихся.

Прежде всего, разъясняется современная десятичная позиционная нумерация. В 17 в.в России новая нумерация употреблялась еще только узким кругом знатоков математики. Детей, вместе со славянской грамотой, обучали алфавитной нумерации, которая применялась почти во всех печатных книгах и в общежитии. К изучению арифметических рукописей приступали, уже владея алфавитной нумерацией. Об этом свидетельствует тот факт, что новые цифры поясняются в рукописях не только словами, но и надписанными сверху алфавитными знаками чисел.

В статье о нумерации читатель знакомится также с произношением чисел. Здесь приводились сведения о счете тьмами, легионами и леодрами, как в «малом» числе, так и в «большом».

Датой появления новых цифр в собственно русской печати был 1638 год. Затем эти цифры встречаются на многих чертежах и текстах к ним в «Учении 

и хитрости ратного строения пехотных людей». Таблицы произведений до 100100 в «Считании удобном, которым всякий человек купующий и продающий зело удобно изыскати может число всякие вещи» даны еще в славянской нумерации.

Вслед за нумерацией излагались четыре первых действия над целыми числами. Проверка вычитания производилась путем сложения разности с вычитаемым, проверка прочих действий посредством числа 9. Проверка девятью, известная еще древнегреческим и индийским ученым, основана на том, что остатки от деления на 9 любого натурального числа и значений его цифр одинакова. Если назвать такой остаток поверочным числом, то, например, поверочное число суммы должно быть равно сумме поверочных чисел слагаемых или, если эта вторая сумма более или равна 9, поверочному числу этой второй суммы. При неравенстве названных поверочных чисел сложение произведено, безусловно, неверно. Однако это необходимое условие правильности результата не является достаточным: поверочные числа могут оказаться равными и при неправильно произведенном сложении. В этом легко убедиться хотя бы на примере равенства 25+71=96 и 25+71=87, из которых первое верное, а второе – неверное. Впрочем, авторы рукописей формулировали равенство поверочных чисел как достаточное условие правильности выкладки; так оно и бывает чаще всего в практике вычислителей. Для умножения и деления правила проверки 9 формулируются сходно с правилом проверки сложения (и вычитания).

Свойства арифметических операций были в то время выделены только частично. В рукописях иногда упоминаются переместительное свойство сложения и умножения.
8. Инструментальный счет.

Производству арифметических действий в письменном виде или в уме всюду предшествовали простейшие формы инструментального счета: на пальцах, при помощи камешков или палочек, зарубок на палке или узелков на веревке и т.п. В рассматриваемых рукописях обычно кратко описываются

два приема инструментального счета. Один из них – «счет костьми», другой – «дощаной счет».

Счет костьми применялся во всей средневековой Европе, и в западноевропейских странах его называли счетом на линиях. Состоял этот прием в следующем. На доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных прямых линий – для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию полагалось класть до четырех костей или жетонов; кость, помещенная между двумя линиями, означала пять единиц того разряда, который откладывается на наиболее близкой к вычислителю 

линии. Далее доска расчерчивалась вертикальными прямыми на несколько столбцов, в которые клали кости, выражающие отдельные слагаемые или сомножители и т.д. Результат действия или составляющие результат числа отмечались в свободных отделениях доски. Здесь приводится схема умноже-























































































ния 6696=6336 (=36+540+360+5400).

Хотя счет костьми и был известен в России, но гораздо большей популярностью пользовался дощаной счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Старинные русские счеты отличались от позднейших менее совершенным устройством, но и в начальном виде позволяли быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.

Дощаной счет в первоначальной форме был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Обычно прибор состоял из четырех счетных полей, расположенных по два в двух ящиках, в каждом из которых было протянуто по 14 параллельных веревок или проволок. Иногда таких полей было два. На проволоках, предназначенных для счета целых чисел, нанизывалось по 9 (иногда по 10) костяшек; на прочих – меньшее количество костяшек. В одном из полей имелась проволока с четырьмя костяшками, а, кроме того, 3 проволоки с одной костью каждая: здесь велся счет четвертям (земли), полчетвертям, пол-полчетвертям; в соседнем поле, где имелась проволока с тремя костями, аналогично велся счет с третями, полтретями и т.д. В другом ящике, назначавшемся для денежных расчетов, имелись проволоки с пятью и шестью костями (1 алтын, как уже говорилось, содержит 6 денег) и ряд проволок с одной костью. Такие приборы уже в середине 17 века назывались просто счетами, и в рукописях более или менее объяснено, как ими пользоваться. Способ вычисления в дощаном счете такой же, как в нынешних русских счетах. Отметим только, что сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.



В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п.

Основная литература:

  1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

  2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

  3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

  4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

  5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

  6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности – М: Наука, 1968.

  7. Андронов И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР.-М.: Просвещение, 1977.

  8. История математического образования в СССР: Сб.-Киев, Наукова Думка, 1975.

  9. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. - М.: Наука, 1968.


Дополнительная литература:

  1. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

  2. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

  4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.



Скачать файл (88.4 kb.)

Поиск по сайту:  

© gendocs.ru
При копировании укажите ссылку.
обратиться к администрации